Група №7 факультатив
07.06.2023
Тема уроку: Тригонометричні нерівності. Тригонометричні нерівності, що зводяться до квадратних
1. Передивіться відеоурок за посиланням
https://www.youtube.com/watch?v=cxnwDaeCENo
2. Повторіть теорію, приклади запишіть у зошит
Рішення тригонометричних нерівностей.
Основна частина тригонометричних нерівностей вирішується зведенням їх до рішення простих
(sin x > а, sin x < а, cos x > а, cos x < а, tg x > 0 і так далі).
Це може бути метод розкладання на множники, заміна змінного
(u = sin x, t = cos x і так далі),
де спочатку вирішується звичайна нерівність, а потім нерівність виду
t1 ≤ sin x ≤ t2,
чи інші способи.
Нехай f(x) – одна з основних тригонометричних функцій. Для вирішення нерівності f(x) > a a досить знайти його рішення на одному періоді, тобто на будь-якому відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції f(x). Тоді рішенням початкової нерівності будуть усі знайдені х, а так само ті значення, які відрізняються від знайдених на будь-яке ціле число періодів функції.
Найпростіші тригонометричні нерівності.
До них належать нерівності вигляду
sin x ≷ m,
cos x ≷ m,
tg x ≷ m,
ctg x ≷ m.
1. Нерівність sin x ˃ m.
Якщо m < –1, то розв'язком нерівності є будь-яке дійсне число.
Якщо –1 < m < +1, то розв'язками нерівності є
2πk + arcsin m < x < π (2k + 1) – arcsin m, де k = 0; ±1; ±2; …
На рисунку
штриховою позначені значення х, що задовольняють нерівність
sin x ˃ m при –1 ≤ m < +1.
Якщо m ≥ –1, то нерівність розв'язків не має.
2. Нерівність sin x < m.
Якщо m ≤ –1, то нерівність розв'язків не має.
Якщо –1 < m < +1, то розв'язками нерівності є
π (2k + 1) – arcsin m < x < arcsin m + 2π (k + 1),
де k = 0; ±1; ±2; …
на рисунку
значення х, що задовольняють нерівність
sin x < m,
не заштриховані.
Якщо m ˃ +1, то нерівність справедлива при всіх дійсних значеннях х.
3. Нерівність cos x ˃ m.
Якщо m < –1, то розв'язком нерівності є будь-яке дійсне число.
Якщо –1 ≤ m < +1, то розв'язки нерівності знаходяться в проміжках
–arccos m + 2πk < x < 2πk + arccos m,
де k = 0; ±1; ±2; …
Якщо m ≤ –1, то нерівність розв'язків не має.
4. Нерівність cos x < m.
Якщо m ≤ –1, то нерівність розв'язків не має.
Якщо –1 < m ≤ +1, то розв'язки нерівності є значення х з проміжків
arccos m + 2πk < x < 2π (k + 1) – arcsin m,
де k = 0; ±1; ±2; …
Якщо m ˃ +1, то розв'язком нерівності є будь-яке дійсне число.
5. Нерівність tg x ˃ m має розв'язками значення х з проміжків
arctg m + πk < x < π/2 (2k + 1),
де k = 0; ±1; ±2; …
6. Нерівність tg x < m має розв'язками значення х з проміжків
π/2 (2k – 1) < x < arctg m + πk,
де k = 0; ±1; ±2; …
7. Нерівність сtg x ˃ m має розв'язками значення х з проміжків
πk < x < arcсtg m + πk < x < π (k + 1),
де k = 0; ±1; ±2; …
8. Нерівність сtg x < m має розв'язками значення х з проміжків
arcсtg m + πk < x < π (k + 1),
де k = 0; ±1; ±2; …
Розв'язання тригонометричних нерівностей.
Будемо розглядати нерівності вигляду
f (sin x, cos x, tg x, ctg x) ≷ m.
Якщо функція
f (sin x, cos x, tg x, ctg x)
Періодична, то досить знайти розв'язки на відрізку числової осі, що дорівнює за довжиною найменшому періоду функції f, а потім, користуючись періодичністю функції, записати нерівності на всій числовій осі.
Розглянемо кілька простих тригонометричних нерівностей.
ПРИКЛАД:
Розв'язати нерівність:
cos2 x – 3 cos x < 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Розкладемо ліву частину нерівності на множники
cos x (cos x – 3) < 0.
Враховуючи, що
cos x – 3 < 0
При всіх значеннях х, одержуємо
cos x > 0, звідки
– π/2 + 2πk < x < π/2 + 2πk,
де k = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати нерівність: 
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Дана нерівність еквівалентна до нерівностей
–1 < tg х/2 < 1
або
– π/4 + πk < х/2 < π/4 + πk,
Звідки
– π/2 + 2πk < x < π/2 + 2πk,
де k = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати нерівність:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Звільнившись від знака абсолютної величини, маємо
sin x ˃ + 1/2 або
sin x < – 1/2.
З першої одержаної нерівності знаходимо
π/6 + 2πk < x < π(2k + 1) – π/6,
а з другої –
π/6 + π(2k + 1) < x < 2π(k + 1) – π/6.
Розв'язки цих двох нерівностей можна об’єднати і остаточну відповідь записати у вигляді
π/6 + π/k < x < 2π(k + 1) – π/6.
де k = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати нерівність:
sin2 x + 2 sin x соs x – 3 соs 2 x < 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Поділивши обидві частини даної нерівності на
соs2 x ≠ 0 (при
соs2 x = 0
нерівність набуває вигляду
sin2 x < 0,
що неможливо), одержуємо
tg2 x + 2 tg x – 3 < 0, або
(tg x + 3) (tg x – 1) < 0.
Звідси знаходимо
–3 < tg x < +1
і, отже,
–arctg 3 + πk < x < π/4 + πk.
ВІДПОВІДЬ:
–arctg 3 + πk < x < π/4 + πk.
де k = 0; ±1; ±2; …
.
(-
; -3) 
(1; +
; б) 
; в) 4х – 2х+1 – 8 > 0; 
.
