02.04.2021 група №4 геометрія (Повторення)
Тема уроку: Вектори та їх застосування
Мета уроку: Систематизувати та узагальнити знання з теми "Вектори"
Координати вектора в просторі
Якщо початком вектора є точка А(хA; уА; zA), а кінцем — точка В(хB; уB; zB), то 
(xB - xA; yB - yA; zB - zA)(рис. 1).
Рис. 1
Довжина вектора в просторі
Якщо є вектор 
(а1; а2; а3), то || = 
+ 
, де || — модуль вектора, a1, а2, а3 — його координати.
Одиничним називається вектор , у якого || = 1.
Нульовим називається вектор (або 0), у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.
Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів i 
, якщо А(2; -3; -1), В(-4; -8; 5), С (3; 1; -2).
Розв’язання
(- 4 - 2; -8 - (- 3); 5 - (- 1)) = (-6; -5; 6);
(3-2; 1- (- 3); - 2 - (- 1)) = (1; 4; - 1).
||= 
= 
; = 
= 
= 3
.
Відповідь: = (-6;-5;6), = (1;4;-1), = ; = 3.
Рівність векторів у просторі
Якщо (а1;а2;а3) = 
(b1;b2;b3), то 
Якщo то (a1; а2; а3) = (b1;b2;b3).
Протилежні вектори в просторі
Якщо маємо (a1; a2; а3), (b1;b2;b3) i = -, то 
Якщо маємо (а1;а2;а3), (b1;b2;b3) і то = -
Сума векторів
У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO1), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB1), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).
Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.
рис.2
Сума векторів у просторі
(а1; а2;a3) + (b1; b2; b3) = 
(а1 + b1; а2 + b2; a3 + b3).
Різниця векторів у просторі (а1; а2; а3) - (b1; b2; b3) = (а1 - b1; а2- b2; a3 - b3).
Множення вектори чи число в просторі
∙ (а1; а2; а3) = (а1; а2; а3).
Задача 2. Задано вектори (3; -2; -1); (1; 1; 2); (-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів 
= + , 
= - ,
= 2 + 3 - .
Розв’язання
= + = 
= 
; = = = 
= 
;
= 2 + 3 - = 2 ∙ 
+ 3
- 
=
= 
.
Відповідь: 
= ; = ; =
Колінеарність векторів у просторі
Якщо є вектори (а1; a2; а3), (b1, b2; b3) і вони колінеарні, то 
= 
= 
Якщо є вектори (а1; а2; а3), (b1; b2; b3) і = = 
, то і — колінеарні вектори.
Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори (3; m; 5) і (- 6; - 2; n) колінеарні.
Розв’язання
У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси 
= 
= 
.
Маємо два рівняння:
1) = , тоді m = 
= 1;
2) = , тоді n = 
= -10.
Відповідь: m = 1, n = -10.
Скалярний добуток двох векторів у просторі
Якщо є вектори (a1; а2; a3), (b1; b2; b3), то ∙ = a1b1+ a2b2 + a3b3.
Теорема
Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).
Отже, ∙ = || ∙ || ∙ cos
.
Задача 4. Знайдіть кут між векторами (1; 2; - 3) і (2; -1; - 4).
Розв'язання
Скористаємося формулою cos = 
= ∙ = 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.
||= 
, ||= 
= 
,
тоді cos = 
= 
= 
= 
.
Звідси = arcos .
Відповідь: arcos .
Рис. 3
Ознака перпендикулярності векторів
Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.
Задача 5. При якому значенні р вектори (3; р: -1) і (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?
Розв’язання
Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
∙ = 3 ∙ p + p ∙ (-2) + (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5, ∙ = 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.
Відповідь: р = 5.
Рис. 4
Розглянемо розв’язання деяких задач.
Задача 6. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).
Розв’язання
Оскільки (- 6; 14; 2), 
(- 2; - 6; 0), то = + , (- 8; 8; 2) (див. рисунок). 
Рис. 5
Тоді || = 
= 
= 2
.
Відповідь: 2.
Задача 7. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABC, якщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).
Розв’язання
Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту між векторами 
та 
(див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° - . Знайдемо координати точки М:
M (
; 
; 
) = M(0; -1; 1).
Тоді (-4; 0; -3), (-3; -4; 0);
cos = 
= 
== 
.
= arcos - гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arcos
Відповідь: arcos .
Рис. 6
Задача 8. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах (3; 0; -4) і (0; 5; 0).
Розв’язання
Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах і (див. рисунок).
Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: 5 = || ∙ || sin (див. рисунок).
|| = 
= 5; || = 
= 5; cos = 
= 
= 0.
Оскільки cos = 0, то = 90°. Тоді sin = 1 і S = 5 ∙ 5 ∙ 1 = 25.
Відповідь: 25.
Рис. 7
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.
1. Дано вектори (3;-2;-1), (1;1;2), 
(-3;2;4). Знайдіть координати вектора 
= 2 + 3 - .
А) 
(17; - 8; -1) Б) (17; - 8; -1) В) (17; - 8; -1) Г) (12; -3; 0)
Д) інша відповідь
2. Знайдіть ||, якщо А (2; - 3; - 1), С(3; 1; - 2).
А) 3 Б) 
В) 2
Г) 3 Д) 10
3. Дано вектори (4;-3;0), (-6; 0; 8). Знайдіть | + |.
А) 13 Б) 15 В) 
Г)
Д) 
4. Дано вектори (4;-3;0), (-6;0;8). Знайдіть || + ||.
Г)10 Д) інша відповідь (3; 1;5) і (-6; - 2; n) колінеарні?7. При якому значенні р вектори (3; р; -1) і (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?
і утворюють кут 120°, а одиничний вектор перпендикулярний до них. Знайдіть довжину вектора + + .
В) 
Г) 2 Д) 3Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Визначте величину кута(у градусах) між векторами - і , якщо відомо, що (3; 5;-4), (-2; 5; - 4) і (0;0;2).
11. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний добуток ∙ .
12. Паралелограм ABCD побудовано на векторах а і b як на сторонах. Відомо, що | | = 3, | | = 5, | + | = 7. Знайдіть величину кута (у градусах) між векторами і .
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.
