01.03.2022  група №6   геометрія  (повторення)

Тема уроку: Трикутники та їх елементи

1. Повторіть теоретичний матеріал і законспектуйте

Трикутник

Трикутник — це геометрична фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і відрізків, які з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки — його сторонами. На рис. 1 зображено трикутник із вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Цей трикутник позначається так: ∆АВС.

Кути CAB, ABC, АСВ називаються кутами трикутника. Найчастіше їх позначають однією буквою: ∠A, ∠B, ∠C. Сторону ВС і кут А трикутника ABC називають протилежними. Протилежними є також cтopона АC і кут В, сторона АВ і кут С. Кути А і С, В і С, А і В називаються прилеглими до сторін АС, ВС, АВ.

Периметром трикутника називають суму довжин трьох сторін трикутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, СА і АВ — відповідно, через а, b, с (рис. 2), то

Р = а + b + с.

Рис. 1

Рис. 2

Теорема. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто c < a + b, a < c + b, b < a + c (рис. 2).

Види трикутників

Залежно від довжин сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.

Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім (рис. 3).

Трикутник, який має дві рівні сторони, називають рівнобедреним (рис. 4). Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона — основою трикутника. На рис. 4 ∆ABC — рівнобедрений, у нього АВ = ВС, тобто АВ, ВС— бічні сторони, АС — основа.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильніш (рис. 5). У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.

Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.

Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі (рис. 6).

Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут (рис. 7). Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони — катетами. На рис. 7 сторона АС — гіпотенуза, сторони АВ і ВС— катети.

Тупокутним називаєтеся трикутник, у якого є тупий кут (рис. 8).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Висоти, бісектриси і медіани трикутника

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений із його вершини до прямої, яка має протилежну сторону. На рис. 9 відрізок BD — висота відповідно гострокутного (рис. 9, а), тупокутного (рис. 9, б) і прямокутного (рис. 9, в) трикутників.

Рис. 9

Рис. 10

Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці (рис. 10).

Медіаною трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Нарис. 11 ВМ—медіана трикутника АВС.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці (рис. 12), яка називаєтеся центрам мас трикутника.

Бісектрисою трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину кута і точку протилежної сторони й ділите кут навпіл. На рис. 13 BL — бісектриса трикутника ABC.

Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці (рис. 14). яка є центром кола вписаного в трикутник.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Середня лінія трикутника

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який з’єднує середини двох його сторін. На рис. 15 MN— середня лінія.

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

На рис. 15 MN ⊥ АС, MN =  АС.

Рис. 15

Поняття про рівність фігур

Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто будь-які дві точки А і В однієї фігури F переводяться в точки А₁ і В₁ другої фігури F₁ так, що

AВ = A₁В₁ (рис. 16).

Дві фігури F₁ і F₂ називаються рівними, якщо вони рухом переводяться одна в одну.

Запис F = F₁ означає, що фігура F дорівнює фігурі F₁.

Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої та поворот площини навколо точки є рухами.

Рис. 16

На рис. 17 зображено рівні трикутники ABC і А₁B₁С₁. Рівність трикутників позначається так: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого. На рис. 24 ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.

На рисунку рівні відрізки позначаються рівною кількістю рисок, а рівні кути — однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні куга, а проти рівних кутів — рівні сторони.

Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)  Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 18).

Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)

Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники — рівні (рис. 19).

Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 20).

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:

1) два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;

2) катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому кугу друг ого трикутника;

3) гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;

4) гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.

Властивості рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник має такі властивості.

1. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні. На рис. 21 АВ = ВС, тобто ∆АВС — рівнобедрений, отже, ∠A = ∠C.

2. У рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є і бісектрисою, і висотою.

Рис. 21

3. У рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є і бісектрисою, і медіаною.

4. У рівнобедреного трикутника бісектриса, проведена до основи, є і висотою, і медіаною.

На рис. 22 у ∆ABC (АВ = ВС) відрізок BD є і медіаною (AD = DC), і висотою (BD ⊥ АС), і бісектрисою (∠ABD = ∠CBD).

Рис. 22

Ознаки рівнобедреного трикутника

Якщо в трикутнику:

1) два кути рівні,

2) медіана і висота збігаються,

3) медіана і бісектриса збігаються,

4) висота і бісектриса збігаються, то він є рівнобедреним.

2. Розв'язти приклади ЗНО -2022

 28.02.2022 - 01.03.2022       група №6    алгебра (повторення)

Тема уроку: Рівняння та системи рівнянь

1. Повторити теоретичний матеріал та законспектувати

Рівняння з однією змінною

Рівнянням називають рівність, яка містить змінну (невідоме).

Наприклад: 2х + 3 = 0, х² - 5х + 6 = 0 — рівняння.

Розв'язком (коренем)рівняння називається значення змінної, при підстановці якого в рівняння одержують правильну числову рівність.

Наприклад: число 2— корінь рівняння х² - 2х = 0, бо 2² - 2 ∙ 2 = 4 - 4 = 0.

Розв’язати рівняння означає знайти його корені або довести, що їх немає.

Два рівняння є рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються.

Наприклад: рівняння х + 2 = 3 і х - 1 = 0 рівносильні, оскільки вони мають спільний корінь — число 1 й інших коренів не мають.

Розв’язування будь-якого рівняння, як правило, зводиться до заміни його рівносильним рівнянням.

Основні теореми про рівносильність рівнянь

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число або вираз зі змінною, що не втрачає змісту за жодного її значення, то отримаємо рівняння, що є рівносильним даному.

Наприклад: рівняння х + 1 = 3 є рівносильним рівнянню х = 2, оскільки друге рівняння можна отримати з першого додаванням до обох частин першого рівняння числа -1 (або перше рівняння можна отримані з другого додаванням до обох частин другого рівняння числа 1).

2. Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок із протилежним знаком, то отримаємо рівняння, що є рівносильним даному.

Наприклад: рівняння х - 3 = 7 є рівносильним рівнянню х = 7 + 3, тобто рівнянню х = 10.

3. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, що не дорівнює нулю, або на вираз зі змінною, який не перетворюється на нуль за жодного значення змінної і не втрачає змісту на множині допустимих значень змінної для даного рівняння, то отримаємо рівняння, що є рівносильним даному.

Наприклад: рівняння 5х = 20 є рівносильним рівнянню 5х : 5 = 20 : 5, тобто рівнянню х = 4; рівняння - х = 5 є рівносильним рівнянню -х(-2) = 5 ∙ (-2), тобто рівнянню х = -10.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5х + 3(3х + 7) = 35.

Розв'язання

Спростімо рівняння: розкриємо дужки в лівій частині рівняння:

5х + 9х + 21 = 35.

Перенесемо число 21 із лівої до правої частини рівняння, змінивши знак на протилежний: 5х + 9х = 35 - 21.

Зведемо подібні члени в лівій і правій частинах рівняння:

14x = 14.

Поділимо ліву і праву частини рівняння на 14. Отже, х = 1.

Відповідь: 1.

Рівняння із двома змінними

Рівність, яка містить дві змінні (невідомі), називається рівнянням із двома змінними (невідомими). Наприклад: x - у = 4, ху = 12 — рівняння із двома змінними.

Розв'язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, які перетворюють це рівняння на правильну числову рівність.

Наприклад: пара чисел x = 7 і у = 3 є розв’язком рівняння 2x - 4у = 2, оскільки 2 ∙ 7 - 4 ∙ 3 = 2.

Рівняння із двома змінними, які мають одні і ті самі розв’язки, є рівносильними. Рівняння із двома змінними, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

У рівнянні із двома змінними можна переносити доданки з однієї частини до другої, змінивши їх знаки. Обидві частини рівняння можна помножити на одне і те саме число або розділити на одне і те саме число, що не дорівнює нулю. При цьому отримуємо рівняння, що є рівносильним даному.

Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду ах + by = с, де х і у — змінні, я, b, с— числа.

Графікам рівняння із двома змінними називають множину точок координатної площини, координат яких є розв’язками цього рівняння.

Графіком лінійного рівняння із двома змінними, у якому хоча б один із коефіцієнтів при змінних не дорівнює нулю, є пряма (рис. 1).

Рис. 1

Числові нерівності та їх властивості

Означення. Число а більше числа b. якщо різниця а - b є числом додатним.

Число а менше числа b. якщо різниця а - b є числом від’ємним.

Якщо а більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а < b.

Отже, нерівність a > b означає, що різниця а - b є додатною, тобто а - b > 0; нерівність а < b означає, що різниця а - b є від’ємною, тобто а - b < 0.

Два вирази, які сполучені знаком > або <, називають строгими нерівностями.

Знаки > і < є знаками строгої нерівності, вони протилежні один одному: якщо а > b, то b < a, і навпаки.

Окрім знаків > і <, використовують також знаки:

≥ — більше або дорівнює (не менше),

≤ — менше або дорівнює (не більше).

Нерівність а ≤ b означає, що a < b або a = b, тобто я не більше b.

Наприклад: якщо число учнів Вашого класу 30, то число я учнів, які присутні на уроці, може бути меншим або дорівнювати 30. У цьому випадку можна записати: a < 30.

Аналогічно нерівність а ≥ b означає, що а > b або а = b, тобто а не менше b.

Два вирази, які сполучені знаком ≥ або ≤, називають нестрогими нерівностями. Знаки ≥ і ≤ є знаками нестрогої нерівності.

Наведемо приклади нерівностей:

1) 5 >6;

2) 7 < 9;

3) 4 ≤ 4;

4) 4 ≥ 1;

5) 2х + 3 > 2;

6) 3х - 1 > 2x- + 1;

7) х² + х > 3;

8)  ≤ 1.

Вираз, який стоїть ліворуч або праворуч відзнака нерівності, називають відповідно лівою чи правою частиною нерівності.

Наприклад: лівою частною нерівності х² + х > 3 є вираз х² + Х, а правою — число 3.

Якщо обидві частини нерівності — числа, то її називають числовою нерівністю.

Такі нерівності бувають правильні або неправильні.

Наприклад: нерівності 7 < 9; 4 ≥ 4; 4 ≥ 1 — правильні, а нерівності 5 > 6;  ≤ 1 — неправильні. Теореми 1. Якщо а < b, b < с, то а < с.

Геометрично ця властивість означає: якщо точка А (якій відповідає число а) лежить лівіше від точки В (якій відповідає число b), а точка В. у свою чергу, лежить лівіше від точки С (якій відповідає число с), тоді точка А тим більше буде лежати лівіше від точки С (рис. 2).

Аналогічно, якщо а > b, b > с, то а > с.

Рис. 2

Теорема 2. Якщо а < b і с — будь-яке число, то а + с < b + с.

Отже, якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність.

Аналогічно: якщо а > b, с — будь-яке число, то а + с > b + с.

Наслідок. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема 3. Якщо а < b і с > 0, то ас < bс. Якщо а < b і с < 0, то ас > bс.

Аналогічно: а) якщо а > b, с > 0, то ас > bс; б) якщо а > b i с <0. то ас < bс.

Оскільки ділення можна замінити множенням на число, обернене до дільника, то аналогічні властивості є справедливими й для ділення:

а) якщо а < b і с > 0, то  < ;

б) якщо а < b і с < 0, то  > .

Отже, якщо обидві частини правильної нерівності намножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від'ємне число і замінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

Теорема 4. Якщо а > b i с > d, то а + с > b + d.

Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, то одержимо правильну нерівність. Наприклад:

Теорема 5. Якщо a < b, c < d i a > 0, b > 0, c >0, d > 0, то ас < bd.

Якщо почленно перемножити правильні нерівності одного знака, ліві і праві частини яких є додатними числами, то отримаємо правильну нерівність.

Наприклад:

Слід зазначити, що теореми 4 і 5 справедливі для трьох і більше нерівностей.

Нерівності з однією змінною

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один зі знаків нерівності: > (більше), < (менше), ≥ (більше або дорівнює; не менше), ≤ (менше або дорівнює; не більше).

Наприклад: 3х + 2 > 6 і х² + х + 1 > 0 — нерівності з однією змінною.

Розв'язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює нерівність в правильну числову нерівність.

Наприклад: число 2 — розв’язок нерівності х + 3 > 4, а число -1 не є розв’язком даної нерівності.

Приклад 2. Доведіть, що при кожному дійсному значенні а нерівність а² + 2 > 2а є справедливою.

Доведення

Складемо різницю лівої і правої частин нерівності й перетворимо її: а² + 2 - 2а - а² - 2а + 1 + 1 = (а² - 2а + 1) + 1 = (а - 1)² + 1. При будь-якому значенні а утворена різниця а² + 2 - 2а — додатна, тому що значення виразу (а - 1)² є невід’ємним, а значення виразу (а - 1 )² + 1 — додатним. Отже, при будь-якому значенні а нерівність а² + 2 > 2а є справедливою.

Розв’язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язками нерівності є деяка множина чисел.

У таблиці наведено деякі числові множини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до заміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називаються рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважаються рівносильними.

Нерівності з однією змінною мають такі властивості:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу доданок із протилежним знаком, то одержимо рівносильну їй нерівність.

Наприклад: нерівність х + 2 > 3 рівносильна нерівності х + 2 - 2 > 3 - 2. тобто х > 1.

2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо рівносильну їй нерівність.

Наприклад:  х >3 рівносильна нерівності х ∙ 2 > 3 ∙ 2, тобто х > 6.

3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від'ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо рівносильну їй нерівність. Наприклад: нерівність -2х < 10 рівносильна нерівності -2х : (-2)> 10 : (-2), тобто х >-5.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність 2(х - 5)+ 6 ≥ 9х - 2(х - 3).

Розв'язання

Перетворімо ліву і праву частини нерівності, тобто розкриємо дужки: 2х - 10 + 6 ≥ 9х - 2х + 6. Перенесемо члени, що містять змінну до лівої частини нерівності, а члени, які не містять змінну, у праву частину нерівності, при цьому змінимо знаки членів на протилежні: 2х - 9х + 2х >10 - 6 + 6. Зведемо подібні в лівій і правій частинах нерівності: -5х ≥ 10. Поділимо обидві частини нерівності на -5, змінивши знак нерівності на протилежний: х ≤ -2. Отже, розв’язком нерівності є проміжок (-∞; -2].

Відповідь: (-∞; —2].

Системи рівнянь із двома змінними

Декілька рівнянь із двома змін ними, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою рівнянь із двома змінними. Систему рівнянь позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

Наприклад:

  — системи рівнянь із двома змінними.

Розв’язати систему рівнянь із двома змінними означає знайти всі її розв’язки або довести, що система розв’язків не має.

Розв'язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи на правильну рівність.

Наприклад: пара чисел х = 3, у = 2 (записують так (3; 2)) є розв’язком системи рівнянь 

Розв’язування системи рівнянь із двома змінними, як правило, зводитеся до заміни даної системи рівносильною їй системою.

Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Системи рівнянь, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

Системи рівнянь мають такі властивості:

1. Якщо замінити порядок рівнянь заданої системи, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад: системи  i  є рівносильними.

2. Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівносильне йому рівняння, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад: системи  i  є рівносильними.

3. Якщо в системі рівнянь з одного рівняння виразити одну змінну, наприклад у, через іншу змінну, і одержаний вираз підставити замість у в друге рівняння системи, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад: системи  є рівносильними.

4. Якщо перше рівняння системи замінити сумою першого рівняння, помноженого на число а ≠ 0, і другого рівняння, помноженого на число  ≠ 0, а друге рівняння залишити без змін, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад:   — є рівносильними системами.

Системи нерівнюстей з однією змінною

Декілька нерівностей з однією змінною, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою нерівностей з однією змінною. Систему нерівностей позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

Наприклад:   — системи нерівностей з однією змінною.

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому кожна нерівність перетворюється на правильну числову.

Наприклад: х = 3 є розв’язком системи нерівностей 

Розв'язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Розв'язування системи нерівностей з однією змінною, як правило, зводиться до заміни даної системи рівносильною їй системою.

Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною слід:

розв’язати кожну нерівність;

знайти спільні розв’язки даних нерівностей.

Приклад 4. Розв’яжіть систему нерівностей 

Розв'язання

Маємо   

Зобразимо на координаций прямій множини розв’язків кожної з нерівностей (рис. 3).

                     

Рис. 3

Обидві нерівності справедливі при х < -1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х < -1,5 або числового проміжку (-∞; -1,5].

Відповідь: (-∞; -1,5].

 28.02.2022   група №9       геометрія

Тема уроку: контрольна робота

1. Виконайте в зошитах

1. ( 0,5 бала ) Спростити вираз sin 4α cos α - cos 4α sin α. 
а) sin 3α    б) cos 3α   в) sin 5α      г) sin 4α        д) cos 5α

2. ( 0,5 бала ) Вибрати вірне твердження.
а) Через пряму і точку можна провести площину, і тільки одну
б) Ортогональною проекцією трапеції на площину може бути прямокутник
в) Кут між мимобіжними прямими це кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим
г) Кут між паралельними прямою і площиною дорівнює 180º
д) Через точку поза площиною можна провести безліч площин паралельних даній площині

3. ( 0,5 бала ) Чому дорівнює значення функції в точці x0=9?
а) 1 б) 2 в) 3 г) 4 д) -2

4. ( 0,5 бала ) ) Розв’язати рівняння : sin x=3.
а)  arcsin3 + πn, n Z      б) (-1)n3+πn, n  Z        в)  (-1)n arcsin3+πn, n  Z     г)       д) Коренів немає

5. (За кожну відповідність 0,5 бала) На рисунку зображено куб АВСDA1B1C1D1 , ребро якого дорівнює 5см. Установити відповідність між кутами ( 1-4) і їх градусними мірами ( А-Д).
1) Кут між прямими АВ1 і АD1.                          А) 0º
2) Кут нахилу прямої АВ1 до площини АВС.        Б) 
3) Кут між площинами АВСD і BВ1C1C.                В) 45º
4) Кут між прямими ВВ1 і DD1.                           Г) 60º
                                                                  Д) 90º

6. ( 1 бал ) Визначити знак виразу: sin 1570 cos 2190 .

7. ( 2 бали ) Розв’язати рівняння cos x- cos 3x =0 .

8. ( 2 бали ) Розв’язати рівняння: .

9. ( 3 бали ) З точки до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 13см, 14см і 15см, проведено перпендикуляр довжиною 16см. Основою цього перпендикуляра є вершина кута, що лежить проти сторони завдовжки 14см. Обчислити відстань від даної точки до цієї сторони