03.10.2022   група  №14   геометрія

Тема уроку:  Об'єм призми

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=foXFNmmagws

2. Випишіть формулу і розгляньте приклади розв'язання задач

Об’єм призми V дорівнює добутку її основи на висоту:

де S _осн - площа основа призми; h - висота призми.

Приклад 1. Основою похилої призми є правильний трикутник зі стороною 6 см. Бічне ребро призми дорівнює 4 см і нахилене до площини основи під кутом 60º. Знайти об’єм призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - задана в умові призма; ∆АВС - правильний; АВ = 6 см; АА ₁ = 4 см; А ₁К - висота призми;  A₁AK - кут нахилу бічного ребра до площини основи;

 A₁AK = 60° (мал. 457).

2) Площа основи  де а = АВ - сторона основи.

Маємо 

Приклад 2. У прямій трикутній призмі сторони основ дорівнюють 4 см; 13 см і 15 см. Через бічне ребро призми і більшу за довжиною висоту основи проведено переріз, площа якого дорівнює 60 см². Знайти об’єм призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁ B ₁С₁ - задана в умові призма (мал. 458); АС = 4 см; АВ = 13 см; АВ = 15 см.

2) Оскільки АС - менша сторона основи, то більшою висотою є висота ВК, що проведена до цієї сторони.

3) За формулою Герона знайдемо площу основи призми - трикутника АВС.

4) 3 іншого боку S _осн = (AC ∙ BK)/2; маємо ВК = (2 ∙ 24) .4 = 12 (см).

5) Проведемо переріз через КВ і BB ₁. За умовою S_KK1B1B = 60 (см²). З іншого боку S_KK1B1B = ВК ∙ВВ₁. Маємо ВВ₁ = 60/12 = 5 (см).

6) Тоді об’єм призми V = S_och ∙ BB₁ = 24 ∙ 5 = 120 (см³).

Якщо у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз KLM на малюнку 456). Тоді об’єм призми V можна знайти за формулою:

де S _пер - площа перерізу; l - довжина бічного ребра.

Приклад 3. Дві бічні грані трикутної призми мають площі 30 см² і 40 см² і утворюють кут 60°. Знайти об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - задана в умові призма (мал. 456); S _AA1B1B = 30 см²; S_{BB 1 C 1 C} = 40 см²; ВВ ₁ = 5 см.

2) Виконавши побудови, аналогічні побудовам приклада 2 п. З цього параграфа. Матимемо: 

3. Виконайте тести

Запитання 1

Вказати формулу для знаходження об’єму призми.

варіанти відповідей

 

V = abc

 

 

V = SоснH

 

 

V = a6

 

 

V = PоснH

Запитання 2

Вказати формулу для знаходження об'єму куба

варіанти відповідей

 

V=3a

 

 

V=a3

 

 

V=6a2

 

 

V=PоснH

Запитання 3

Вказати формули для знаходження об'єму прямокутного паралелепіпеда (всі можливі)

варіанти відповідей

 

V=abc

 

 

V=a3

 

 

V=SоснH

 

 

V=6a2

Запитання 4

Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда виміри якого дорівнюють 5 см, 7 см, і 12 см.

варіанти відповідей

 

840 см3

 

 

240 см3

 

 

420 см3

 

 

576 см3

Запитання 5

Об'єм куба дорівнює 216 см3. Знайдіть довжину ребра цього куба.

варіанти відповідей

 

36 см

 

 

6 см

 

 

72 см

 

 

12 см

Запитання 6

В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник, катети якого дорінюють 14см і 5см. Висота призми дорівнює 8см. Знайдіть об'єм призми

варіанти відповідей

 

560 см3

 

 

296 см3

 

 

760 см3

 

 

280 см3

Запитання 7

Знайдіть об'єм прямої призми, в основі якої лежить рівнобічна трапеція, з основами 6см та 10см і висотою 5см, а довжина бічного ребра призми 13см.

варіанти відповідей

 

520 см3

 

 

1040 см3

 

 

260 см3

 

 

780 см3

Запитання 8

Ребро куба збільшили у 3 рази. У скільки разів збільшився його об'єм ?

варіанти відповідей

 

у 3 рази

 

 

у 6 разів

 

 

у 9 разів

 

 

у 27 разів

Запитання 9

Знайдіть висоту призми, об’єм якої дорівнює 36√3 см3, а у основі лежить правильний трикутник зі стороною 4см.

варіанти відповідей

 

9√3 см

 

 

3 см

 

 

9 см

 

 

3√3 см

Запитання 10

Основа прямої призми — ромб зі стороною 8 см і кутом 60°. Менша діагональ призми дорівнює 17 см. Знайдіть об’єм призми.

варіанти відповідей

 

64√3 см3

 

 

32√3 см3

 

 

480√3 см3

 

 

640√3 см3

Запитання 11

Для пакування подарунка, який має форму куба, використали лист кольорового паперу, площею 170 см2. Знайдіть об’єм цього куба, якщо на відходи пішло 20 см2 паперу.

варіанти відповідей

 

125 см3

 

 

25 см3

 

 

250 см3

 

 

75 см3

 03.10.2022    група №14   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми та добутку

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=eGQNyKU4j4E

2. Законспектуйте і вивчіть

Правило суми і правило добутку

Багато комбінаторних задач можуть бути розв’язані за допомогою двох важливих правил, які називають відповідно правило суми і правило добутку.

Спочатку розглянемо правило суми:

якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а елемент В — r способами (причому будь-який вибір елемента А відрізняється від вибору елемента В), то вибрати А або В можна m + r способами.

Приклад 1. В ящику знаходиться 7 білих і 4 чорних кульки. Тоді вибрати одну кульку: білу або чорну можна 7 + 4 = 11 способами.

Зрозуміло, що правило суми можна розповсюдити на три і більше елементів.

Сформулюємо правило добутку:

якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна вибрати (незалежно від вибору елемента А) — r способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати mr способами.

Приклад 2. У шкільній їдальні є вибір з 3 перших і 5 других блюд. Тоді обід з першого і другого блюда можна обрати 3 ∙ 5 = 15 способами.

Правило добутку розповсюджується на три і більше елементів.

Приклад 3. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1; 2; 3; 4; 5, якщо в числі: 1) цифри не повторюються; 2) цифри повторюються.

Розв’язання.

1) Маємо 5 способів для сотень числа (мал. 129). Після того, як місце сотень заповнене (наприклад, цифрою 1), для десятків залишається 4 способи. Міркуючи далі, для одиниць - 3 способи. Отже, маємо: «5 способів, і після кожного з них — 4, і після кожного з них — 3 способи». За правилом добутку маємо 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 чисел.

2) Якщо цифри у числі повторюються, то на кожне з трьох місць є по 5 варіантів заповнення (мал. 130), і тоді всіх чисел буде 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Приклад 4. Скільки парних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 6; 7; 8; 9, якщо в числі цифри не повторюються?

Розв’язання. Парне чотирицифрове число можна отримати, якщо останньою цифрою буде 6 або 8. Чисел, у яких остання цифра 6 буде З ∙ 2 ∙ 1 = 6 (мал. 131), чисел, у яких остання цифра 8 буде також 6. За правилом суми всього парних чисел, що задовольняють умові, буде 6 + 6 = 12.

 03.10.2022  група  №14    Алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ з теми "Ймовірність події"

1.  Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=U-3K_S9y2mw

2. Законспектуйте та вивчіть

Основні поняття

Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,... . Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).

Випробування — це умови, за яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Події розподіляються на випадкові, вірогідні та неможливі.

Випадковою називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час певного випробування.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться.

Неможливою називається подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися. Неможлива подія позначається символом .

Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових подій.

Попарно несумісні події— це події, кожні дві з яких не можуть відбутися одночасно.

Рівнoможливі події— події, кожна з яких не має ніяких переваг, щоб з’являтися частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Повною групою подій називається множина таких подій, коли в результаті кожного випробування обов’язково має відбутися хоча б одна з них.

Якщо події мають властивості: 1) утворювати повну групу подій; 2) бути несумісними; 3) бути рівноможливими, то такі події утворюють множину, яка називається просторам елементарних подій.

Класичне означений ймовірності

Відношення числа m елементарних подій, які сприяють події A, до загальної кількості n подій простору називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А), тобто

P(A) = ,

де m — число подій, які сприяють події A; n — число подій простору елементарних подій (0 ≤ m ≤ n).

Імовірність вірогідної події дорівнює 1, імовірність неможливої події дорівнює 0, а ймовірність Р(А) випадкової події A задовольняє умову 0 <Р(А) < 1.

Приклад 1. Імовірність того, що при киданні двох монет випаде два герби, дорівнює , бо простір елементарних подій такий: A₁ — випали два герби; A₂ — випали герб і число; A₃ — вішати число та герб; А₄ — випали два числа, а шуканій події сприяє лише одна подія —А₁.

Розглянемо приклади розв’язання задач.

Задача 1. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта — чорні. Виймають навмання 2 кульки. Яка ймовірність того, що вони будуть білі?

Розв'язання

Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято 2 кульки) дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 20, тобто числу комбінацій із 20 елементів по 2 (n = ). Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «вийнято 2 білих кульки». Ця кількість дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 12 білих, тобто числу комбінацій із 12 елементів по 2 (m = ).

Отже, якщо подія А — «вийнято 2 білі кульки», то

P(A) =  =  =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 2. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта—чорні. Виймають навмання 3 кульки. Яка ймовірність того, що серед вибраних 2 кульки будуть білі?

Розв'язання

Загальна кількість елементарних подій випробування («вийнято 3 кульки») дорівнює n = . Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «серед 3 вибраних кульок 2 білі». Дві білі кульки із 12 білих кульок можна вибрати способами   , а 1 чорну кульку — 8 способами, тоді події «серед 3 вибраних кульок 2 білі» сприяють m =  ∙ 8 елементарних подій.

Отже, якщо подія А — «серед 3 вибраних кульок 2 білі», то

P(A) =  =  =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 3. У скрині лежать 15 червоних, 9 синіх і 6 зелених кульок, однакових на дотик. Виймають навмання 6 кульок. Яка ймовірність того, що вийнято: 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки?

Розв'язання

У цій задачі випробування полягає в тому, що зі скрині виймають 6 кульок. Вийняти 6 кульок із 15 + 9 + 6 = 30 кульок можна n =  способами. Нас цікавить імовірність події A— «вийнято 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки». Одну зелену кульку можна вийняти  способами, 2 синіх кульки —  способами, 3 червоних кульки —  способами. Отже, події А сприяють m =  ∙  ∙  елементарних подій. 

Тоді P(A) =  =  =  = .

Відповідь: .

3. Розв'яжіть тести

Запитання 1

У коробці лежать 8 білих і 12 синіх кульок. Яка ймовірність того, що обрана навмання кулька виявиться білою?

варіанти відповідей

 

0,4

 

 

0,6

 

 

0,3

 

 

0,5

Запитання 2

Усього було випущено 1000 лоторейних білетів. Розігрувалось 10 телевізорів, 15 магнітофонів, 20 фотоапаратів. Яка ймовірність виграти магнітофон?

варіанти відповідей

 

0,15

 

 

0,015

 

 

1,5

 

 

0,0015

Запитання 3

Усього було випущено 1000 лоторейних білетів. Розігрувалось 10 телевізорів, 15 магнітофонів, 20 фотоапаратів. Яка ймовірність виграти який-небудь приз?

варіанти відповідей

 

4,5

 

 

0,45

 

 

0,045

 

 

0,0045

Запитання 4

У коробці лежать 9 червоних і 15 жовтих кульок. Яка ймовірність, що навмання вибрана кулька не червона?

варіанти відповідей

 

0,6

 

 

0,375

 

 

0,625

 

 

0,5

Запитання 5

У коробці лежать 10 рожевих і 15 чорних кульок. Яка ймовірність обрати не рожеву кульку. Обери всі правильні варіанти відповіді.

варіанти відповідей

 

3 : 5

 

 

0,6

 

 

60%

 

 

2 : 5

 

 

0,4

Запитання 6

У лотореї розігрувалося 5 автомобілів, 12 мотоциклів, 25 телевізорів. Усього було випущено 100 білетів. Яка ймовірність не виграти жодного призу? Обери всі варіанти запису відповіді.

варіанти відповідей

 

42%

 

 

21 : 50

 

 

0,42

 

 

0,25

 

 

0,12

Запитання 7

У лотореї розігрувалося 5 автомобілів, 12 мотоциклів, 25 телевізорів. Усього було випущено 100 білетів. Яка ймовірність виграти мотоцикл? Обери всі варіанти запису відповіді.

варіанти відповідей

 

0,12

 

 

12%

 

 

0,5

 

 

0,05