математика МПТУ

вівторок, 1 листопада 2022 р.

02.11.2022 група №7 геометрія

Тема уроку: Двогранний кут. Вимірювання кутів між площинами.

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=BwTp_2CNq0E

2. Законспектуйте в зошитах

Двогранним кутом називають фігуру, утворену двома півплощинами тільною прямою, що їх обмежує.

На малюнку 418 двогранний кут, півплощини, що утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

Площина α, перпендикулярна ребру а двогранного кута, перетинає грані двогранного кута по променях АВ і АС (мал. 419). Кут ВАС називають лінійним кутом двогранного кута.

Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута.

Приклад. Двогранний кут дорівнює 60º. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані 6 см від ребра двогранного кута. Знайти відстань від цієї точки до другої грані.

Розв’язання. 1) Нехай точка А належить одній із граней двогранного кута з ребром а, АС а; АВ - перпендикуляр до другої грані двогранного кута (мал. 420).

2) За теоремою про три перпендикуляри ВС а.

3) Тому а АВС за ознакою перпендикулярності прямої і площини.

4) АСВ - лінійний кут двогранного кута, за умовою

ACB = 60°.

5) АС=6см. У трикутнику АВС:

Якщо дві площини паралельні, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює 0°. Якщо дві площини перетинаються, то воно утворюють чотири двогранні кути зі спільним ребром (мал. 440).

Величину меншого з утворених при перетині двох площин двогранного кута називають кутом між площинами.

Зрозуміло, що кут між площинами φ задовольняє умові 0° ≤ φ ≤ 90°. Якщо φ = 90°, то площини називають перпендикулярними.

Якщо згадати яким чином дається означення лінійного кута двогранного кута, то можна дати інше означення кута між площинами.

Кутом між площинами, що перетинаються, називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину.

На малюнку 441 площини α і β перетинаються по прямій m. В площині α проведено пряму а таку, що а m, а в площині

β пряму b таку, що b m; прямі а і b перетинаються. Якщо кут між прямими а і b дорівнює φ, то кут між площинами α і β також дорівнює φ.

Приклад. Квадрат ABCD, площа якого дорівнює 9 см², і прямокутник ABC₁D₁, площа якого дорівнює 24 см², мають спільну сторону, а кут між їх площинами дорівнює 60°. Знайти відстань між точками D і D₁. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язання. Оскільки AD АВ і AD₁ АВ₁, то за кут між площинами можна взяти менший із кутів, утворених при перетині прямих AD і AD₁ (мал. 442). Менший з цих кутів за умовою дорівнює 60°. Тому кут DAD₁ може дорівнювати 60° або 120°.

Звідси висновок: задача може мати два розв’язки.

4) Якщо DАD₁ = 60°, то в ∆АDD₁ за теоремою косинусів:

Якщо DАD₁ = 120°, то

Отже, відстань між точками D і D₁ дорівнює 7 см або см.

3. Розв'яжіть задачі

1) OD — перпендикуляр до площини прямокутника ABCD. Побудуйте лінійний кут двогранного кута між площинами

OBC і ABC і OAB і ABC.

2) На одній із граней двогранного кута позначено точку M, із якої проведено перпендикуляр MA до ребра кута і перпендикуляр MB до другої грані. Обчисліть градусну міру цього кута, якщо: а) MA = 8 см, MB = 4 см;

б) MA = √3 см, MB = 2 см.

3) Кут між площинами трикутників ABC і DBC дорівнює 60°. Знайдіть довжину відрізка AD, якщо AB = 15 см, BC = 14 см, AC = 13 см, DB = DC = 9 см.

Відповідь. √7 см.

02.11.2022 група №4 алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Розв'язання логарифмічних рівнянь

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=88qEfP3Xwf4

2.Виконайте тест

Запитання 1

Розв'язком якого з рівнянь є число 125?

варіанти відповідей

log5x=2

log5x=3

log3x=5

lgx=3

Запитання 2

Розв'яжіть рівняння log3x=2

варіанти відповідей

Запитання 3

Розв'яжіть рівняння lgx=-2

варіанти відповідей

-10

-100

0.01

Запитання 4

Розв'яжіть рівняння log3 (2x −1) = 2

варіанти відповідей

4,5

Запитання 5

Чому дорівнює 25?

варіанти відповідей

Запитання 6

Яким є ОДЗ (область допустимих значень) рівняння log6(2x-4)=7

варіанти відповідей

(-∞;2)

(2;∞)

(-2;∞)

(-∞;6)

Запитання 7

Розв'яжіть рівняння log32x - 5log3x= -6

варіанти відповідей

а)2; 3

б)-2; -3

в)9; 27

г)1/9; 1/27

Запитання 8

Розв'язати рівняння: lg(43x-1-3)=lg13

варіанти відповідей

1∕3

Запитання 9

Розв'язати рівняння (log2x)2+log2x2=8

варіанти відповідей

-4;2

1∕16;4

Запитання 10

Розв'яжіть рівняння lg (X - 1) lg (4 - X) lg (X + 5) = 0

варіанти відповідей

-5; 1; 4

1; 4

2; 3

-4; 2; 3

Запитання 11

Розв'яжіть рівняння log7log3log2x=0

варіанти відповідей

Запитання 12

Розв'яжіть рівняння log 2 (X2 - 3X) = 1 + log2 5

варіанти відповідей

0; 3

-3; 3

-5; 2

-2; 5

02.11.2022 група №9 геометрія

Тема уроку: Піраміда. Правильна піраміда.

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=pZ4fpG1Pw7E

2. Законспектуйте і вивчіть

Пірамідою називають многогранник, у якого одна з граней (яку називають основою) - довільний многокутник, інші грані - трикутники зі спільною вершиною.

На малюнку 463 зображено піраміду, основою якої є многокутник АВСDЕ. Грані зі спільною вершиною, про які йде мова в означені піраміди, - трикутники АВQ, ВСQ, СDQ, DЕQ, АЕQ. Ці грані називають бічними гранями піраміди. їх спільну вершину - точку Q називають вершиною піраміди. Піраміду, зображену на малюнку 463 називають пірамідою QАВСDЕ. Ребра піраміди, які з’єднують вершину піраміди з вершинами основи піраміди, називають бічними ребрами піраміди. На малюнку 463 відрізки QА, QВ, QС, QD і QЕ - бічні ребра піраміди.

Піраміду називають n -кутною, якщо її основою є n -кутник.

Трикутну піраміду називають також тетраедр. На малюнку 463 зображено п’ятикутну піраміду.

Перпендикуляр, проведений із вершини піраміди до площини основи, називають висотою піраміди.

На малюнку 463 відрізок Q)К є висотою піраміди, точка К - основою висоти.

При розв’язуванні задач важливою є наступна властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або довжини всіх бічних ребер рівні, то основою висоти піраміди є центр кола описаного навколо основи піраміди.

Приклад 1. Кожне з бічних ребер тетраедра дорівнює 65/8 см. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см. Знайти висоту піраміди.

Розв’язання (мал. 464). 1) Нехай QАВС - тетраедр, що задано в умові, ВС = 6 см; QК - висота тетраедра.

2) Оскільки всі бічні ребра тетраедра рівні, то точка К - центр кола, описаного навколо #8710;АВС; АК = R - радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

3) За відомою формулою де а, b, с - сторони трикутника; S - його площа.

4) Знайдемо площу трикутника за формулою Герона

Також при розв’язуванні задач важливою є властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні грані утворюють з площиною основи рівні кути або довжини висот всіх бічних граней рівні, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди.

Приклад 2. Основою піраміди є ромб з діагоналями 40 см і 30 см. Висота піраміди дорівнює 5 см. Всі висоти бічних граней рівні між собою. Знайти довжину висоти бічної грані.

Розв’язання. 1) Оскільки всі висоти бічних граней рівні між собою, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу. Оскільки основою є ромб, то точка К - основа висоти є точкою перетину діагоналей ромба. На малюнку 465 зображено піраміду QАВСD, що задано в умові.

2) АВСD - основа піраміди, АС = 30 см, ВD = 40 см, QК - висота піраміди, QК = 5 см.

3) QМ - висота бічної грані, QМ АD

4) КМ - проекція QМ на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри: КМ АD.

5) АD - висота прямокутного трикутника АКD.

7) Знайдемо двічі площу ∆АКD:

Піраміду називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основи висоти збігаються із центром цього многокутника.

Нагадаємо, що центром правильного многокутника називають центр описаного навколо нього (або вписаного в нього) кола. На малюнку 466 зображено правильну трикутну піраміду, а на малюнку 467 - правильну чотирикутну піраміду, висоти яких - відрізки QК; точка К - центр правильного многокутника, що лежить в основі піраміди.

Віссю правильної піраміди називають пряму, яка містить її висоту.

Властивості правильної піраміди:

1) Усі бічні ребра правильної піраміди рівні.

2) Усі бічні грані правильної піраміди - рівні рівнобедрені трикутники.

3) Усі апофеми правильної піраміди рівні між собою.

Приклад. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а висота - 2 см. Знайти довжину бічного ребра.

Розв’язання. 1) (мал. 466) Нехай QАВС - правильна піраміда, QК = 2 см - висота піраміди.

2) Оскільки точка К - центр описаного навколо трикутника АВС кола, то КВ = R - радіус цього кола. За відомою формулою R = a /3, де а = АВ = 6 см - сторона основи. Отже,

Діагональні перерізи піраміди - трикутники, однією з вершин яких є вершина піраміди, а протилежна їй сторона - діагональ основи.

Приклад 1. Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3 см, а бічне ребро - 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - правильна чотирикутна піраміда (мал. 467), QАС - її діагональний переріз.

2) За умовою

4) Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16 (см).

Часто у задачах розглядають перерізи піраміди, що проходять через сторону основи піраміди і перетинають бічні ребра піраміди.

Приклад 2. У правильній трикутній піраміді, сторона основи якої дорівнює 8 см, через сторону основи перпендикулярно До бічного ребра проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо він утворює кут 30° із площиною основи піраміди.

Розв’язання. 1) Проведемо у правильній піраміді QABC з основою ABC висоту ВМ бічної грані BQC (мал. 469).

2) ∆ВМС = ∆АМС (за двома сторонами і кутом між ними), тому АМС = BMC = 90°.

3) За ознакою перпендикулярності прямої і площини: АМВ QC. Тому АВМ - переріз, площу якого треба знайти.

4) CN - висота основи піраміди, CN АВ, тому за теоремою про три перпендикулярами MN АВ.

5) За ознакою перпендикулярності прямої і площини маємо MNC АВ, тому кут MNC - кут, що утворює переріз із площиною основи. За умовою MNC = 30°.

Площею повної поверхні піраміди називають суму площ всіх її граней, а площею бічної поверхні піраміди - суму площ її бічних граней.

Площа S_повн повної поверхні піраміди виражається через площу S_біч її бічної поверхні і площу S_осн основи піраміди формулою

Приклад 1. Всі плоскі кути при вершині тетраедра дорівнюють 30°. Знайти площу бічної поверхні цього тетраедра, якщо його бічні ребра дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см.

Розв’язання. 1) на малюнку 470 тетраедр QАВС. За умовою

Теорема про площу бічної поверхні правильної піраміди. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на анофему.

Приклад 2. Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а висота - 3 см.

Розв’язання. 1) На малюнку 471 зображено правильну чотирикутну піраміду QABCD, AD = 8 см - сторона основи, яка є квадратом, QK = 3 см - висота піраміди.

2) S_повн = S_біч + S_осн.

3) S_0CH = AD² = 8² = 64 (см²).

4) QM - висота, медіана ∆QDC. Оскільки М середина CD, а К – середина АС, то КМ - середня лінія ∆ACD. Тому КМ = AD/2 = 8/2 = 4 (см).

6) S_біч = pl, де р - півпериметр основи, l = QM - апофема.

3. Розв'яжіть задачі

1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 2 см, а апофема 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.

2. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5 см, а висота - 6 см. Знайти площу діагонального перерізу цієї піраміди.

3. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 4 см. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайти висоту піраміди (у см).

вівторок, 1 листопада 2022 р.

вівторок, 1 листопада 2022 р.