група №2    алгебра і початки аналізу       (повторення)

07.03.2023

Тема уроку: Розв'язування задач

1. Повторіть теорію з теми "Поняття первісної. Основна властивість первісної"

Функцію F(х) називають первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку F'(х) = f(х).

Приклад. Для функції f(х) = 2х на інтервалі (-∞;+∞) первісною є функція F(х) = х², оскільки кожного х з цього інтервалу виконується рівність 

Повертаючись до прикладу попереднього пункта, можна зауважити, що наприклад функція F ₁(х) = х² + 1 має ту саму похідну, що й функція F(х) = х², дійсно (х² + 1)’= 2х. Тому функція F ₁(х) = х² + 1 є також первісною для функції f(х) = 2х. Зрозуміло, що замість числа 1 можна поставити будь-яке інше число С, та матимемо (х² + C)’= 2х.

Приходимо до основної властивості первісної: кожна з первісних для функції f(x) на заданому проміжку має вигляд F(х) + С, де F(х) - одна з цих первісних, а С - довжина стала.

Правила знаходження первісних:

1) Якщо F - первісна для f, a G - первісна для g, то F + G - первісна

 для f + g.

2) Якщо F - первісна для f, а k - стала, то kF - первісна для kf.

3) Нехай F(x) - первісна для f(х), a k і b - деякі сталі, причому k ≠ 0. Тоді 1/k ∙ F(kx + b) - первісна для функції f(kx + b).

Розглянемо приклади використання цих правил.

Приклад 1. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

Розв’язання.

1) Оскільки х⁵ /5 первісна для х⁴, a tg x - первісна для 1/cos² x, то використовуючи правило 1, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:

2) Оскільки е^х - первісна для е^х, то використовуючи правило 2, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції F(х) = 7е^х + С.

Приклад 2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції 

Розв’язання. Для соsх однією з первісних є sin х. Використовуючи правило 3, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:

Приклад 3. Для функції  знайдіть первісну F(x) таку, що F(12) = 3.

Розв’язання. Використовуючи правило 3 та той факт, що однією з первісних для функції х⁵ є x⁶ /6 матимемо:

Оскільки F(12) = 3, то матимемо 

Отже,  - шукана первісна.

2.Виконайте тест

Запитання 1

Первісною для функції f(х) = х2 є ...

варіанти відповідей

 

х3/3

 

 

х4

 

 

х3/3 + С

 

 

2х

Запитання 2

Первісною для функції f(х)=соsx є

варіанти відповідей

 

sinx + 2

 

 

-cosx + C

 

 

sinx + C

 

 

1

Запитання 3

Визнач, чи є функція F(x) первісною для функції f(x):

F(x)=x12; f(x)=12x13

варіанти відповідей

 

так

 

 

ні

Запитання 4

Знайдіть первісну для функції f(x) = 3х2 + sin x

варіанти відповідей

 

x3 + cosx

 

 

x3 - cosx +C

 

 

6x - cosx + C

 

 

6х+С

Запитання 5

Знайдіть первісну для функції f(x) = 2х3 - 5х4

варіанти відповідей

 

x2/2 - x5 +C

 

 

x2 - 5x3 +C

 

 

x2 + x5 + C

Запитання 6

Знайти для функції f(х) первісну, графік якої проходить через дану точку

f(х) = х3 + 2, М(0;0)

варіанти відповідей

 

1/4 х4 + 2х + С

 

 

х4 + 2х - 1

 

 

х4 + 2х + 1

 

 

1/4 х4 + 2х

Запитання 7

Для заданої функції знайти первісну, графік якої проходить через дану точку:

y= 3x2 - 4x + 5, A (0;1).

варіанти відповідей

 

F(x) = 6x - 2x2 + 2

 

 

 F(x) = x3 - 2x2 + 5x + 1

 

 

F(x )= x3 - 2x2 + 5x - 1

 

 

 F(x) = 6x - 4

Запитання 8

Знайдіть первісну для функції f (x) = -2sinx + 5ex - 8

варіанти відповідей

 

 2cosx + 5ex - 8х + С

 

 

 2cosx + 5ex+ С

 

 

 2cosx + 5ex - 8+ С

 

 

 -2cosx + 5ex - 8x + С

Запитання 9

Первісною для функції у = 5/х є

варіанти відповідей

 

у = 1/5ln|x| + C

 

 

у = 5х + С

 

 

 y = 5ln|x| + C

 

 

y = ln|x| + C

Запитання 10

Знайти загальний вигляд первісної для функції: у = 3х2 - 4х3 + 3х + 1.

варіанти відповідей

 

х3 - х4 +3х + С

 

 

3х3 - 4х4 + 3х2 + С

 

 

6х - 12х2 + 3 + С

 

 

 х3 - х4 + 1,5х2 + х + С

Запитання 11

Знайти загальний вигляд первісної для функції f(x) = 4x3 + 2x - 6x2 - 2

варіанти відповідей

 

F (x) = x4 + x2 - 2x3 - 2x

 

 

F(x) = x4 + x2 - 2x3 - 2x + C

 

 

F(x) = 8x2 + 2 - 12x + C

 

 

F(x) = 8x2 + 2 - 12x - 2 + C

Запитання 12

    Записати первісну для функції f(x)= 4x3-9x2+1

варіанти відповідей

 

12х2 - 18х+С

 

 

х4 - 3х3 +С

 

 

х4 - 3х3 +х+С

 

 

4х4 - 18х3 +1+С

Запитання 13

Графік якої  з  первісних функції f (x) =4 x3   проходить через точку А (1; 2) ?

варіанти відповідей

 

F (x) = x4 - 2

 

 

 F (x) = x4 - 3

 

 

F (x) = x4 +1

 

 

F (x) = x4 +3

 

 

F (x) = x4 + 2

Запитання 14

Якщо F(x)=2+cosx - первісна функції f(x), то f(x)=

варіанти відповідей

 

-sinx

 

 

sinx

 

 

2x-sinx

 

 

2x+sinx

 

 

2-sinx

Для знаходження первісних деяких функцій, корисною є таблиця первісних.

Функція f(x)	Загальний вигляд первісних F(х)+С , де С - довільна стала
0	С
1	х + С
xα , α ≠ -1
1/x	ln|х| + С
sin x	-соsх + С
cos x	sіnх + С
1/cos2 x	tg х + С
1/sin2 x	-сtgx + С
ex	ех + С
ax (a > 0; a ≠ 1)

 група  №9             факультатив

07.03.2023

Тема уроку: Розв'язування задач з теми " Рівняння і нерівності, що містять знак абсолютної величини"

1. Проаналізуйте розв'язки і запишіть у зошит

Приклад 1.

 Розв’язати нерівність |х - 2| > 3.

Розв’язання. Нерівність рівносильна сукупності нерівностей

Далі маємо  Отже, 

Приклад 2.

 Розв’язати нерівність |х + 3| ≤ 5.

Розв’язання: Маємо -5 ≤ x + 3 ≤ 5. Далі -5 – 3 ≤ х ≤ 5 - 3; -8 ≤ х ≤ 2.

Зауважимо, що у випадку коли f(x) не є лінійною функцією, від подвійної нерівності -а < f(x) < a (aбо –a ≤ (х) ≤ a) доцільно перейти до системи

Приклад 3.

 Розв’яжіть нерівність 

Розв’язання: 1) ОДЗ: х  R.

2) х + 1 = 0, коли х = -1; 2х - 4 = 0, коли х = 2. Отже, х₁= -1; х₂ = 2 - нулі підмодульних виразів (мал. 36).

3) Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій «жирними» точками (оскільки вони входять в ОДЗ) і маємо три проміжки 

4) Якщо х  (-∞;-1], тобто х ≤ -1, маємо  Отже, на проміжку (-∞;-1] маємо систему

Якщо х  (-1;2], тобто -1 < х ≤ 2, маємо  

Отже, на проміжку (-1;2] маємо систему  

Якщо х  (2;+∞), тобто х > 2, маємо  

Отже, на проміжку (2;+∞) маємо систему

5) Об’єднуючи відповіді, отримані на кожному з розглянутих проміжків, маємо  Отже, 

2. Розв'яжіть самостійно

1) Розв’язати рівняння: 

2) Скільки коренів має рівняння 

3) Знайти суму цілих розв’язків нерівності: 

4) Знайти добуток цілих розв’язків нерівності: 

 група   №7       алгебра і початки аналізу

02.03.2023 

Тема уроку: Показникові нерівності

1.  Перегляньте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=zGseyNwy6KA

2. Законспектуйте та вивчіть

Нерівності виду a^x ≥ b, a^x > b, a^x ≤ b, a^x < b, де a > 0, a ≠ 1.

Оскільки а^x > 0 для всіх значень х при а > 0, а ≠ 1,

то у випадку b ≤ 0 множиною розв’язків нерівностей а^х ≥ b, а^х > b є множина R, а нерівності а^х ≤ b, а^х < b не будуть мати розв’язків.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівності:

 1) 2^x ≥ -5; 2) 3^x < -1.

Розв’язання. 

2) 3^x < -1, нерівність не має розв’язків.

Розглянемо нерівність а^х ≥ b при а > 0, а ≠ 1, b > 0. Схему розв’язання цієї нерівності подамо у вигляді таблиці.

а^х ≥ b; а > 0, а ≠ 1, b > 0

0 < а < 1	а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний х ≤ loga b	Знак нерівності не змінюється х ≥ loga b

Зауважимо, що нерівності  розв’язуються аналогічними методами. Якщо и = а^с, де с - деяке число, то відповідно матимемо:

для 

для 

Приклад 2. Розв’яжіть нерівності:

Розв’язання.

Аналогічно розв’язуються нерівності у випадку, коли замість x маємо f(x).

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання. 

 (мал. 47).

Нерівності виду a^f(x) ≥ a^g(x), a^f(x) > a^g(x) , де a > 0, a ≠ 1.

Метод розв’язування нерівності а^х ≥ b можна узагальнити для нерівностей виду a^f(x) ≥ a^g(x), a^f(x) > a^g(x) , де a > 0, a ≠ 1. Подамо метод розв’язування нерівності у вигляді таблиці.

a^f(x) ≥ a^g(x)

0 < а < 1	а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний f(х) ≤ g(x)	Знак нерівності не змінюється f(х) ≥ g(x)

Аналогічно розв’язується нерівність виду a^f (x) > a^g (x).

Приклад. Розв’яжіть нерівності: 

Розв’язання.

2) Оскільки 0 < ½ < 1, то маємо  Розв’язавши цю нерівність, маємо х ≤ -1 або х ≥ 4 (мал. 48).

3.  Виконайте тест

Запитання 1

Розв'яжіть нерівність 7х < 1/49

варіанти відповідей

 

(−∞; −2)

 

 

(−2; +∞)

 

 

(−∞; −2]

 

 

[−2; +∞)

 

 

(−∞; 2)

 

 

(2; +∞)

Запитання 2

Розв'яжіть нерівність ( 0,1)х ≥ 0,0001

варіанти відповідей

 

( −∞; 4)

 

 

( −∞; 4]

 

 

( −∞; 3)

 

 

(3; +∞)

 

 

(4; +∞)

 

 

[4; +∞)

Запитання 3

Розв'яжіть нерівність ( π/3)x ≥ (3/π)3

варіанти відповідей

 

[3; +∞)

 

 

[−3; +∞)

 

 

(−∞; 3]

 

 

(−∞; −3]

 

 

немає розв′язку

Запитання 4

Розв'яжіть нерівність (0,3) (х² −8)/ х ≥ 11+1/9

варіанти відповідей

 

( −∞; −4] ∪(0; 2]

 

 

( −∞; −4) ∪(0; 2)

 

 

( −∞; −2] ∪[0; 4]

 

 

( −∞; −2] ∪[ 4; +∞)

 

 

[−4; 2]

 

 

[−2; 0) ∪(0; 4]

Запитання 5

Котра з нерівностей має розв′язок інтервал ( −∞; +∞)

варіанти відповідей

 

2sin x > 1

 

 

2sin x ≥1

 

 

2sin x <1

 

 

2sin x ≥ −1

 

 

2sin x ≤ −1

 

 

2sin x ≤1

Запитання 6

Розв′яжіть нерівність 2х ≥ 3х

варіанти відповідей

 

(−∞; 0]

 

 

(−∞; 0)

 

 

[0; + ∞)

 

 

(0; + ∞)

 

 

немає розв′язку

Запитання 7

Розвязки нерівності (0,5)х²−х−20 > 1 це інтервал

варіанти відповідей

 

( −1/4; 1/5)

 

 

( −1/5; 1/4)

 

 

( −4; 5)

 

 

( −5; 4)

 

 

(4; 5)

Запитання 8

Знайдіть найбільший цілий розв′язок нерівності 2х+1 + 2х < 24

варіанти відповідей

 

3

 

 

−3

 

 

4

 

 

−4

 

 

2

 

 

−2

Запитання 9

Вкажіть найменший розв′язок нерівності ( √2/2)х+2 ≤ √2

варіанти відповідей

 

3

 

 

2

 

 

−2

 

 

−3

 

 

4

 

 

−4

Запитання 10

Скільки цілих розв′язків має нерівність 1≤ (1/3)х ≤ 27 ?

варіанти відповідей

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

6

Запитання 11

Якщо 92х > 3, то х ∈

варіанти відповідей

 

(0,75; +∞)

 

 

(0,5; +∞)

 

 

(0,25; +∞)

 

 

(0; +∞)

 

 

інша відповідь

Запитання 12

Оберіть УСІ показникові нерівності із наведеного переліку

варіанти відповідей

 

х2 > 0

 

 

2x <7

 

 

2/x >4

 

 

πx < 6

 

 

4x = 16

 

 

(sin( π/4))x ≥ cos (π)