02.11.2022.   група  №14  факультатив

Тема уроку:  Обчислення інтегралів

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=_1Dr1teT2y8

2. Законспектуйте в зошиті

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Площам криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку (а; b] функції f(х), віссю Ох та прямими х = а, х = b) обчислюється за формулою S =  (рис. 1).

Рис. 1

Фізичний зміст визначеного інтеграла

Фізичний зміст визначеного інтеграла

Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює

,

де v (t) — швидкість руху (рис. 2).

Рис. 2

Площа фігури

Якщо на заданому проміжку [а; b] неперервні функції у = f(х) і у = g (x) мають властивість f(x) ≥ g(x) для всіх х є [а; b], то S =  - g(x))dx (рис. 3).

Рис. 3

Обчислення площ

Приклад 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х² і у = -х + 2.

Розв’язання

Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти (див. рис. 8). Для

знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:

x² = -х + 2; x² + х - 2 = 0; х = -2 або х = 1.

Тоді S =  — x²)dx =  = - -  + 2 — ( — 2 - 4) = - + 1,5 + 6 = 7,5 — 3 = 4,5.

Відповідь: 4,5.

Рис. 8

Об’єм тіла обертання

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [а; b] функції y = f(x) та прямими х = а і х = b (рис. 9), дорівнює

V = .

    

Рис. 9

Приклад 2. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури. обмеженої синусоїдою у = sin x та прямими x = 0 і х =  (рис. 10).

Розв’язання

Рис. 10

Відповідь: 

 02.11.2022  група  №2    алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=OnfgaHQUVLE

2. Розв'язати задачі в зошиті

                                      варіант 1

1. Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася на перекладині. Резуль­тати підтягування були такі: 12, 14, 9, 10, 10, 12, 11, 8, 9, 7, 10, 10, 13, 15, 10, 9, 14, 10, 11,13. Знайти моду, медіану, середнє значення та побудувати полігон.
2. У класі 10 дівчат та 7 хлопців. Скількома способами можна вибрати пару (хлопчика та дівчинку) для танців?
3. Скільки парних трицифрових чисел можна скласти з цифр  1, 2, 3, 4, 5, 6,7, якщо: а) цифри можуть повторюватись; б) цифри не можуть повторюватись.
4. У коробці лежать 4 сині кулі та кілька червоних. Скільки червоних куль у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана навмання куля виявиться синьою, дорівнює   ?
5. У коробці було 23 картки, пронумерованих від 1 до 23. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записано число:

1) 11;

2) кратне 6;

3) одноцифрове;

4) у записі якого є цифра 7;

5) у записі якого відсутня цифра 4.

                              варіант 2

1. Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася на перекладині. Резуль­тати підтягування були такі: 11, 12, 8, 11, 17, 21, 13, 14, 14, 6, 5, 5, 13, 15, 10, 9, 11, 10, 11,5. Знайти моду, медіану, середнє значення та побудувати полігон.
2. Кафе пропонує меню з 3 перших страв, 6 других страв та 5 третіх страв. Скількома способами можна вибрати обід з трьох страв?
3. Скільки непарних трицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо: а) цифри можуть повторюватись; б) цифри не можуть повторюватись.
4. У коробці лежать 8 синіх кульок та кілька червоних. Скільки червоних куль у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана навмання куля виявиться синьою, дорівнює   ?
5. У коробці було 23 картки, пронумерованих від 1 до 23. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записано число:

1) 24;

2) кратне 5;

3) складене;

4) у записі якого є цифра 2;

5) сума цифр якого ділиться націло на 3.

 01.11.2022   група   №7      геометрія

Тема уроку: Вимірювання кутів між прямою і площиною

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=vOSsTwjFuL0

2. Законспектуйте в зошиті

Якщо пряма паралельна площині або їй належить, то вважають, що кут між такими прямою і площиною дорівнює 0°. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними, природно, вважаємо рівним 90°.

Нехай дано пряму а, що перетинає площину а у точці М і не є перпендикулярною до цієї площини (мал. 439). Основи перпендикулярів, опущених з точок прямої а на площину αb належать прямій b (мал. 439). Цю пряму b називають проекцією прямої а на площину α.

Кутом між площиною і прямою, яка перетинає площину і не є перпендикулярною до площини, називають кут між прямою і її проекцією на площину.

На малюнку 439 кут АМВ є кутом між прямою а і площиною а. Очевидно, що кут φ між прямою і площиною задовольняє умову 0° ≤ φ ≤ 90°.

Аналогічно до кута між прямою і площиною визначається кут між похилою і площиною.

Приклад. З точки до площини проведено похилу завдовжки 12 см. Знайти кут, який утворює похила з площиною, якщо проекція похилої дорівнює 6 см.

Розв’язання. 1) На малюнку 439 похила АМ = 12 см, проекція похилої на площину ВМ = 6 см. Необхідно знайти величину кута АМВ.

3. Розв'яжіть задачі

1)  Точка M віддалена від площини квадрата ABCD на 4 см, а від усіх його сторін на 2√6 см. Знайдіть кут між прямою AM і площиною квадрата.

2)     На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Скориставшись рисунком, назвіть:

1) кут між прямою D₁B і площиною ABC;

2) кут між прямою D₁C і площиною ADD₁;

3) кут між прямими D₁B і AD;

4) кут між прямими D₁C і AB;

5) кут між площинами A₁BC і ABC;

6) кут між площинами ADD₁ і DCC₁.

3)    Катети прямокутного трикутника ABC мають довжину 60 см і 80 см. Із вершини C прямого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр CD завдовжки 36 см. Знайдіть тангенс кута між відрізком DF і площиною трикутника, де DF — перпендикуляр, проведений із точки D до прямої AB.

4) Менша сторона прямокутника, що дорівнює 6 см, лежить у площині α, а протилежна їй сторона віддалена від площини α на 4√3 см. Кут між площиною прямокутника і площиною α дорівнює 60°. Обчисліть кут, що утворює діагональ прямокутника з площиною α.

 01.11.2022     група   №7    алгебра і початки аналізу

Тема уроку:  Найпростіші тригонометричні рівняння

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=veTWz-lvU1w

2. Законспектуйте і вивчіть

cos t = а, а - число

а < -1 або а > 1      Рівняння не має розв’язків

_____________________________________________

а = -1        

_____________________________________________________________________

а = 0       

____________________________________________________________________

а = 1         

___________________________________________________________________________

         -1< а < 1, а ≠ 0                     

____________________________________________________________________________

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання.

 оскільки  то рівняння не має розв’язків.

 Маємо  Значення arccos ¼ не можна знайти точно, а лише наближено (наприклад, за допомогою калькулятора). Розв’язуючи прикладні задачі, значення arccos ¼ ≈ 1,3181 і записують розв’язок наближено:

У математиці ж залишають такий розв’язок:

 Рівняння tg t = а.

Множину розв’язків рівняння tgt = а, де а — будь-яке число записують у вигляді: 

Приклад. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. 

 Поділимо ліву і праву частину рівняння на 2, маємо  Цю відповідь прийнято записувати у вигляді:

Рівняння сtgt = а.

Множину розв’язків рівняння сtgt = а, де а — будь-яке число записують у вигляді: 

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання.

 

Оскільки необхідно знайти кут х такий, що котангенс кута

 х + 20° дорівнює 1, то х — кут у градусах. Тому формулою для запису множини розв’язків треба користуватися в іншому вигляді:  

Отже, 

3. Розв'яжіть самостійно

1.   Розв’язати рівняння: 

 2.   Установіть відповідність між рівнянням (1-3) та його розв’язками (А-Г).

3. Установіть відповідність між рівнянням (1-3) та його розв’язками (А-Г).