03.11.2022     група №7 факультатив

Тема уроку: Відстань між двома точками. Координати середини відрізка.

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=Z70BnfARpyA

2. Законспектуйте і вивчіть

Координати точки М — середини відрізка АВ, де А(x ₁; у ₁) і В(х₂; у₂) знаходимо за формулами:

Приклад 1. Знайдіть координати точка М середина відрізка з кінцями А(-3; 7), В(15; -9).

Розв’язання.

Приклад 2. Точки А(5; -2), В(3; 7), С(-1; 8) - вершини паралелограма ABCD. Знайдіть координати його четвертої вершини.

Розв’язання. 1) Нехай точка О - середина діагоналі АС.

Тоді  Отже, O(2; 3).

2) Точка О - також середина діагоналі BD. Тому 

Маємо 

Відстань між точками А(x ₁; у ₁) і В(х₂; у₂) знаходиться за формулою:

Приклад 1. Знайдіть довжину медіани ВN трикутника АВС, якщо А(3; 0), В(-8; 1), С(5; 12).

Розв’язання. 1) Точка N - середина відрізка АС. Маємо   Отже, N(4; 6).

Приклад 2. АВСD - квадрат, А(-1; 5), С(5; 11). Знайдіть периметр квадрата.

Розв’язання (мал. 298). 

2) Нехай сторони квадрата дорівнюють х. Тоді 

3) Периметр квадрата Р = 4 ∙ 6 = 24.

Приклад 3. Знайдіть на осі абсцис точку, рівновіддалену від точок А(1; 6) і В(5; 0).

Розв’язання. 1) Нехай С(х; 0) - шукана точка.

2) Оскільки АС = ВС, то АС² = ВС².

3) Маємо рівняння 37 - 2х + х² = 25 - 10х + х² ; 8х = -12; х = -1,5. Отже, шуканою є точка С( -1,5; 0).

3. Виконайте тест

Запитання 1

.Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо А(1;3), В(2;5)

варіанти відповідей

 

5

 

 

√13

 

 

√5

 

 

3

Запитання 2

Дано точки Р(7;0), С(-3;4), М(0;-8), К(5;8). Яка з точок належить осі абсцис?

варіанти відповідей

 

С

 

 

Р

 

 

К

 

 

М

Запитання 3

Дано точки Р(7;0), С(-3;4), М(0;-8), К(5;8). Яка з точок належить осі ординат?

варіанти відповідей

 

К

 

 

Р

 

 

М

 

 

С

Запитання 4

Дано точки А(2;6) і В(4;8). Точка С – середина відрізка АВ. Знайти координати точки С.

варіанти відповідей

 

(7;-3)

 

 

(7;3)

 

 

(-7;-3)

 

 

(-7;3)

Запитання 5

Знайдіть відстань між точками А(1; –1) і В(–2; 2).

варіанти відповідей

 

√15

 

 

√10

 

 

√18

 

 

3

Запитання 6

Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо A(1; 0) і В(0; 1)

варіанти відповідей

 

(0,5; 0,5)

 

 

(0; 0)

 

 

(0; 0,5)

 

 

(0,5; 0)

Запитання 7

М – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А,

 якщо М(–1; 2) та В(0; 3)

варіанти відповідей

 

(-0,5; 2,5)

 

 

(-2; 1)

 

 

(2; -1)

 

 

(-1; 0,5)

Запитання 8

Знайдіть відстань від початку координат до точки К(–4; 3)

варіанти відповідей

 

5

 

 

6

 

 

4

 

 

3

Запитання 9

М – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В,

якщо М(0; –2) та А(3; –3)

варіанти відповідей

 

(-3; -1)

 

 

(3; -7)

 

 

(3; -1)

 

 

(-3; -7)

Запитання 10

Знайдіть відстань між точками А(3; 0) і В(–5; 4).

варіанти відповідей

 

√20

 

 

10

 

 

√40

 

 

√80

 03.11.2022    група  №4    факультатив

Тема уроку: Рівняння, що розв'язуються розкладанням на множники

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=Km8ygE1HE7c

2. Законспектуйте і вивчіть

Нехай маємо рівняння f(х) = 0, ліву частину якого вдається розкласти на множники f ₁(х) ∙ f ₂(x) ∙...∙ f_n (x) = 0. Оскільки добуток кількох множників дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників, то далі необхідно розв’язати кожне з рівнянь f ₁(х) = 0; f ₂(x) = 0...f_n (x) = 0 і перевірити отримані корені на предмет входження їх в ОДЗ початкового рівняння.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin 2x – 3 cos х = 0.

Розв’язання. ОДЗ рівняння складається з усіх дійсних чисел. sin 2х — sin х cos х. Маємо 

Отже,  - множина розв’язків початкового рівняння.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння sin 7x – sin 3x = 0.

Розв’язання. ОДЗ: х  R. Застосовуємо формулу

Матимемо

3. Виконайте тест

Запитання 1

Розв'яжіть рівняння 2cos2x=√3cosx

варіанти відповідей

 

+-π/3+2πn, n∈Z

 

 

+-π/6+2πn, n∈Z

 

 

+-π/6+2πn, n∈Z, π/2+πn n∈Z

 

 

+-π/3+2πn, n∈Z; πn n∈Z

Запитання 2

Розв'яжіть рівняння sin3x-sin11x=0

варіанти відповідей

 

πn/7; π/8+πn/4, n∈Z

 

 

πn/4; π/14+πn/7, n∈Z

 

 

πn/4; πn/7, n∈Z

 

 

π/14+πn/7, n∈Z π/8+πn/4, n∈Z

Запитання 3

Розв'яжіть рівняння sin2x+6sinx=0

варіанти відповідей

 

π/2+πn, +-arccos(-3)+2πn n∈Z

 

 

πn, +-arccos(-3)+2πn n∈Z

 

 

π/2+πn n∈Z

 

 

πn n∈Z

Запитання 4

Розв'яжіть рівняння cosx-cos9x=sin5x

варіанти відповідей

 

π/8+πn/4 ; (-1)n+1π/24+πn/4, n∈Z

 

 

π/8+πn/4 ; (-1)nπ/24+πn/4, n∈Z

 

 

πn/5 ; (-1)n+1π/24+πn/4, n∈Z

 

 

πn/5 ; (-1)nπ/24+πn/4, n∈Z

Запитання 5

Укажіть кількість коренів рівняння cos7x+sinxsin6x=0, що належать проміжку ⌈0;π/2⌉

варіанти відповідей

 

Один

 

 

Два

 

 

Три

 

 

Чотири

Запитання 6

Знайдіть суму коренів рівняння 2cos2х/2+sin3x=1, що належать проміжку ⌈0;π/2⌉

варіанти відповідей

 

3π/8

 

 

π/2

 

 

5π/8

 

 

3π/4

 03.11.2022   група  №9 алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Контрольна робота

1. Виконайте контрольну роботу ( фотозвіт прислати у вайбер)

Запитання 1

Знайдіть похідну функції

f(x) = 3х4 - 7х + 8

варіанти відповідей

 

f '(x)= 12х3 -15

 

 

f '(x)= 4х3 -7

 

 

f '(x)= 12х4 -7х

 

 

f '(x)=12х3 -7

Запитання 2

Знайдіть похідну функції:

f(x)= sin x - √ x

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 3

Знайдіть похідну функції

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 4

Обчисліть значення похідної функції у= 7х3 - 3х +0,25 у точці х= - √5

варіанти відповідей

 

-108

 

 

102,25

 

 

102

 

 

-107,75

Запитання 5

Для функції у = 3х3 - 3 точка х=0

варіанти відповідей

 

є критичною точкою, але не є точкою екстремуму

 

 

є точкою мінімуму

 

 

є точкою максимуму

 

 

не є критичною точкою

Запитання 6

Знайдіть проміжки зростання функції у=х2 -4х

варіанти відповідей

 

(- ∞; 2)

 

 

(- ∞; -2)

 

 

(2; +∞)

 

 

(-2; +∞)

Запитання 7

Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у =3х4 -2х3 у точці х= -1

варіанти відповідей

 

у= -18х -13

 

 

у= -18х-17

 

 

у= -6х-1

 

 

у= -6х+11

Запитання 8

Тіло рухається прямолінійно за законом

х(t)= -4x3+2x2+7.

Знайдіть його прискорення в момент часу t=2c

варіанти відповідей

 

-44 м/с2

 

 

-20 м/с2

 

 

-10 м/с2

 

 

52 м/с2

Запитання 9

Знайдіть найбільше значення функції на проміжку [-1; 5]

варіанти відповідей

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 03.11.2022   група   №9     алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=-yxOR17J9l8

2. Законспектуйте та вивчіть

У курсі математичного аналізу доводиться теорема Вейєритрасса: неперервна на відрізку [a;b] функція має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.

Цю теорему слід розуміти так, що для неперервної на [a;b] функції існують точки відрізка [a;b] у яких f(x) набуває найбільшого та найменшого на [a;b] значення. Якщо функція у= = f(x) неперервна на відрізку [а;b] і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Виходячи з наведеного, можна запропонувати наступну схему знаходження найбільшого і найменшого значення функції у = f(x) на проміжку [a;b]:

1) Перевіряємо входження заданого проміжку в область визначення функції.

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення f(x), в яких f '(x) не існує та розв’язати рівняння f ‘(x) = 0.

4) Вибираємо критичні точки, що належать проміжку [a;b].

5) Обчислюємо значення функції в вибраних критичних точках та в точках а і b.

6) Порівнюємо одержані значення та знаходимо найбільше та найменше значення функції у = f(x) на проміжку [a;b].

7) Відповідь.

Приклад. Знайдіть найбільше та найменше значення функції  на проміжку [0;3].

Розв’язання.

1) D(f) = R, розглядуваний проміжок належить області визначення.

3) Похідна існує в усіх точках; розв’язки рівняння х² + х - 2 = 0, тобто х ₁ = 1; х ₂ = -2 - критичні точки.

6) Отже, найбільше значення функції f(x) на заданому проміжку f(3) = 46, а найменше - f(1) = -6.

7) Це записують наступним чином:

При розв’язуванні прикладних задач на знаходження найбільшого або (і) найменшого значення деякої величини можна використовувати наступну схему:

1) Одну з величин позначаємо за х та за змістом задачі накладаємо обмеження на х.

2) Величину найбільше або (і) найменше значення якої потрібно знайти виражаємо через х;

3) Знаходимо найбільше або (і) найменше значення отриманої функції при накладених обмеженнях на х;

4) Виясняємо який практичний зміст має отриманий результат.

Зауважимо, що при розв’язуванні деяких практичних задач необхідно знайти найбільше або (і) найменше значення неперервної функції не на проміжку [а;b], а на інтервалі (а;b) . Як правило, в таких випадках на інтервалі (а;b) функція має лише одну критичну точку. Якщо ця точка максимуму, то саме в цій точці на інтервалі (а;b) функція має найбільше значення (мал. 107), а якщо це точка мінімуму, то найменше (мал. 108).

Приклад 1. Парканом, довжина якого 120 м, треба огородити город найбільшої площі (мал. 109). Знайдіть розміри городу.

Розв’язання.

1) Позначимо через х м одну з двох паралельних сторін паркану (мал. 110), тоді інша сторона буде дорівнювати 120 - 2х (м), де 0 < х < 60.

2) Площа городу: S(x) = х(120 - 2х).

S(x) = 120х – 2x².

3) Знайдемо найбільше значення функції:

S(x) = 120х - 2х² при умові х  (0;60).

S'(x)= 120 – 2 ∙ 2x = 120 – 4x; S'(x) = 0, коли х = 30. Маємо х _m ах = 30 (мал. 111).

4) Оскільки S(x) = 120 - 2х² неперервна на (0;60) і має точку максимуму х _m ах = 30, то саме в цій точці S(x) досягає найбільшого значення. Отже, розмір городу 30 м і

120 – 2 ∙ 30 = 60 (м).

Приклад 2. Необхідно виготовити відкритий резервуар циліндричної форми, об’єм якого дорівнює 64π дм³. При яких розмірах резервуару (радіуса основи та висоті) на його виготовлення витрачається найменша кількість металу?

Розв’язання.

1) Розглянемо через r (дм) — радіус основи резервуара. Оскільки об’єм циліндра V = πr² h, де h - висота, то маємо

2) На виготовлення резервуару витрачається така кількість металу  πr² - площа основи резервуара, 2πrh - площа бічної поверхні. Оскільки  то маємо

3) Знайдемо найменше значення функції  при умові r > 0.

 коли r = 4. Маємо r_min = 4 (мал. 112).

4) Оскільки  неперервна для r > 0 і має точку мінімуму r_min = 4, то саме в цій точці і у(r), а тому і S(r) досягає найменшого значення. Отже, радіус основи циліндра дорівнює 4 дм, його висота