група №2    алгебра і початки аналізу       (повторення)

07.03.2023

Тема уроку: Розв'язування задач

1. Повторіть теорію з теми "Поняття первісної. Основна властивість первісної"

Функцію F(х) називають первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку F'(х) = f(х).

Приклад. Для функції f(х) = 2х на інтервалі (-∞;+∞) первісною є функція F(х) = х², оскільки кожного х з цього інтервалу виконується рівність 

Повертаючись до прикладу попереднього пункта, можна зауважити, що наприклад функція F ₁(х) = х² + 1 має ту саму похідну, що й функція F(х) = х², дійсно (х² + 1)’= 2х. Тому функція F ₁(х) = х² + 1 є також первісною для функції f(х) = 2х. Зрозуміло, що замість числа 1 можна поставити будь-яке інше число С, та матимемо (х² + C)’= 2х.

Приходимо до основної властивості первісної: кожна з первісних для функції f(x) на заданому проміжку має вигляд F(х) + С, де F(х) - одна з цих первісних, а С - довжина стала.

Правила знаходження первісних:

1) Якщо F - первісна для f, a G - первісна для g, то F + G - первісна

 для f + g.

2) Якщо F - первісна для f, а k - стала, то kF - первісна для kf.

3) Нехай F(x) - первісна для f(х), a k і b - деякі сталі, причому k ≠ 0. Тоді 1/k ∙ F(kx + b) - первісна для функції f(kx + b).

Розглянемо приклади використання цих правил.

Приклад 1. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

Розв’язання.

1) Оскільки х⁵ /5 первісна для х⁴, a tg x - первісна для 1/cos² x, то використовуючи правило 1, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:

2) Оскільки е^х - первісна для е^х, то використовуючи правило 2, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції F(х) = 7е^х + С.

Приклад 2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції 

Розв’язання. Для соsх однією з первісних є sin х. Використовуючи правило 3, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:

Приклад 3. Для функції  знайдіть первісну F(x) таку, що F(12) = 3.

Розв’язання. Використовуючи правило 3 та той факт, що однією з первісних для функції х⁵ є x⁶ /6 матимемо:

Оскільки F(12) = 3, то матимемо 

Отже,  - шукана первісна.

2.Виконайте тест

Запитання 1

Первісною для функції f(х) = х2 є ...

варіанти відповідей

 

х3/3

 

 

х4

 

 

х3/3 + С

 

 

2х

Запитання 2

Первісною для функції f(х)=соsx є

варіанти відповідей

 

sinx + 2

 

 

-cosx + C

 

 

sinx + C

 

 

1

Запитання 3

Визнач, чи є функція F(x) первісною для функції f(x):

F(x)=x12; f(x)=12x13

варіанти відповідей

 

так

 

 

ні

Запитання 4

Знайдіть первісну для функції f(x) = 3х2 + sin x

варіанти відповідей

 

x3 + cosx

 

 

x3 - cosx +C

 

 

6x - cosx + C

 

 

6х+С

Запитання 5

Знайдіть первісну для функції f(x) = 2х3 - 5х4

варіанти відповідей

 

x2/2 - x5 +C

 

 

x2 - 5x3 +C

 

 

x2 + x5 + C

Запитання 6

Знайти для функції f(х) первісну, графік якої проходить через дану точку

f(х) = х3 + 2, М(0;0)

варіанти відповідей

 

1/4 х4 + 2х + С

 

 

х4 + 2х - 1

 

 

х4 + 2х + 1

 

 

1/4 х4 + 2х

Запитання 7

Для заданої функції знайти первісну, графік якої проходить через дану точку:

y= 3x2 - 4x + 5, A (0;1).

варіанти відповідей

 

F(x) = 6x - 2x2 + 2

 

 

 F(x) = x3 - 2x2 + 5x + 1

 

 

F(x )= x3 - 2x2 + 5x - 1

 

 

 F(x) = 6x - 4

Запитання 8

Знайдіть первісну для функції f (x) = -2sinx + 5ex - 8

варіанти відповідей

 

 2cosx + 5ex - 8х + С

 

 

 2cosx + 5ex+ С

 

 

 2cosx + 5ex - 8+ С

 

 

 -2cosx + 5ex - 8x + С

Запитання 9

Первісною для функції у = 5/х є

варіанти відповідей

 

у = 1/5ln|x| + C

 

 

у = 5х + С

 

 

 y = 5ln|x| + C

 

 

y = ln|x| + C

Запитання 10

Знайти загальний вигляд первісної для функції: у = 3х2 - 4х3 + 3х + 1.

варіанти відповідей

 

х3 - х4 +3х + С

 

 

3х3 - 4х4 + 3х2 + С

 

 

6х - 12х2 + 3 + С

 

 

 х3 - х4 + 1,5х2 + х + С

Запитання 11

Знайти загальний вигляд первісної для функції f(x) = 4x3 + 2x - 6x2 - 2

варіанти відповідей

 

F (x) = x4 + x2 - 2x3 - 2x

 

 

F(x) = x4 + x2 - 2x3 - 2x + C

 

 

F(x) = 8x2 + 2 - 12x + C

 

 

F(x) = 8x2 + 2 - 12x - 2 + C

Запитання 12

    Записати первісну для функції f(x)= 4x3-9x2+1

варіанти відповідей

 

12х2 - 18х+С

 

 

х4 - 3х3 +С

 

 

х4 - 3х3 +х+С

 

 

4х4 - 18х3 +1+С

Запитання 13

Графік якої  з  первісних функції f (x) =4 x3   проходить через точку А (1; 2) ?

варіанти відповідей

 

F (x) = x4 - 2

 

 

 F (x) = x4 - 3

 

 

F (x) = x4 +1

 

 

F (x) = x4 +3

 

 

F (x) = x4 + 2

Запитання 14

Якщо F(x)=2+cosx - первісна функції f(x), то f(x)=

варіанти відповідей

 

-sinx

 

 

sinx

 

 

2x-sinx

 

 

2x+sinx

 

 

2-sinx

Для знаходження первісних деяких функцій, корисною є таблиця первісних.

Функція f(x)	Загальний вигляд первісних F(х)+С , де С - довільна стала
0	С
1	х + С
xα , α ≠ -1
1/x	ln|х| + С
sin x	-соsх + С
cos x	sіnх + С
1/cos2 x	tg х + С
1/sin2 x	-сtgx + С
ex	ех + С
ax (a > 0; a ≠ 1)

 група  №7     геометрія

23.02.2023

Тема уроку:  Піраміда. Правильна піраміда.

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=pZ4fpG1Pw7E

2. Законспектуйте і вивчіть

Пірамідою називають многогранник, у якого одна з граней (яку називають основою) - довільний многокутник, інші грані - трикутники зі спільною вершиною.

На малюнку 463 зображено піраміду, основою якої є многокутник АВСDЕ. Грані зі спільною вершиною, про які йде мова в означені піраміди, - трикутники АВQ, ВСQ, СDQ, DЕQ, АЕQ. Ці грані називають бічними гранями піраміди. їх спільну вершину - точку Q називають вершиною піраміди. Піраміду, зображену на малюнку 463 називають пірамідою QАВСDЕ. Ребра піраміди, які з’єднують вершину піраміди з вершинами основи піраміди, називають бічними ребрами піраміди. На малюнку 463 відрізки QА, QВ, QС, QD і QЕ - бічні ребра піраміди.

Піраміду називають n -кутною, якщо її основою є n -кутник.

Трикутну піраміду називають також тетраедр. На малюнку 463 зображено п’ятикутну піраміду.

Перпендикуляр, проведений із вершини піраміди до площини основи, називають висотою піраміди.

На малюнку 463 відрізок Q)К є висотою піраміди, точка К - основою висоти.

При розв’язуванні задач важливою є наступна властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або довжини всіх бічних ребер рівні, то основою висоти піраміди є центр кола описаного навколо основи піраміди.

Приклад 1. Кожне з бічних ребер тетраедра дорівнює 65/8 см. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см. Знайти висоту піраміди.

Розв’язання (мал. 464). 1) Нехай QАВС - тетраедр, що задано в умові,  ВС = 6 см; QК - висота тетраедра.

2) Оскільки всі бічні ребра тетраедра рівні, то точка К - центр кола, описаного навколо #8710;АВС; АК = R - радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

3) За відомою формулою  де а, b, с - сторони трикутника; S - його площа.

4) Знайдемо площу трикутника за формулою Герона 

Також при розв’язуванні задач важливою є властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні грані утворюють з площиною основи рівні кути або довжини висот всіх бічних граней рівні, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди.

Приклад 2. Основою піраміди є ромб з діагоналями 40 см і 30 см. Висота піраміди дорівнює 5 см. Всі висоти бічних граней рівні між собою. Знайти довжину висоти бічної грані.

Розв’язання. 1) Оскільки всі висоти бічних граней рівні між собою, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу. Оскільки основою є ромб, то точка К - основа висоти є точкою перетину діагоналей ромба. На малюнку 465 зображено піраміду QАВСD, що задано в умові.

2) АВСD - основа піраміди, АС = 30 см, ВD = 40 см, QК - висота піраміди, QК = 5 см.

3) QМ - висота бічної грані, QМ  АD

4) КМ - проекція QМ на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри: КМ  АD.

5) АD - висота прямокутного трикутника АКD.

7) Знайдемо двічі площу ∆АКD: 

Піраміду називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основи висоти збігаються із центром цього многокутника.

Нагадаємо, що центром правильного многокутника називають центр описаного навколо нього (або вписаного в нього) кола. На малюнку 466 зображено правильну трикутну піраміду, а на малюнку 467 - правильну чотирикутну піраміду, висоти яких - відрізки QК; точка К - центр правильного многокутника, що лежить в основі піраміди.

Віссю правильної піраміди називають пряму, яка містить її висоту.

Властивості правильної піраміди:

1) Усі бічні ребра правильної піраміди рівні.

2) Усі бічні грані правильної піраміди - рівні рівнобедрені трикутники.

3) Усі апофеми правильної піраміди рівні між собою.

Приклад. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а висота - 2 см. Знайти довжину бічного ребра.

Розв’язання. 1) (мал. 466) Нехай QАВС - правильна піраміда, QК = 2 см - висота піраміди.

2) Оскільки точка К - центр описаного навколо трикутника АВС кола, то КВ = R - радіус цього кола. За відомою формулою R = a  /3, де а = АВ = 6 см - сторона основи. Отже,

2) Оскільки точка К - центр описаного навколо трикутника АВС кола, то КВ = R - радіус цього кола. За відомою формулою R = a  /3, де а = АВ = 6 см - сторона основи. Отже,

Діагональні перерізи піраміди - трикутники, однією з вершин яких є вершина піраміди, а протилежна їй сторона - діагональ основи.

Приклад 1. Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3  см, а бічне ребро - 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - правильна чотирикутна піраміда (мал. 467), QАС - її діагональний переріз.

2) За умовою 

4) Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16 (см).

Часто у задачах розглядають перерізи піраміди, що проходять через сторону основи піраміди і перетинають бічні ребра піраміди.

Приклад 2. У правильній трикутній піраміді, сторона основи якої дорівнює 8 см, через сторону основи перпендикулярно До бічного ребра проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо він утворює кут 30° із площиною основи піраміди.

Розв’язання. 1) Проведемо у правильній піраміді QABC з основою ABC висоту ВМ бічної грані BQC (мал. 469).

2) ∆ВМС = ∆АМС (за двома сторонами і кутом між ними), тому  АМС =  BMC = 90°.

3) За ознакою перпендикулярності прямої і площини: АМВ  QC. Тому АВМ - переріз, площу якого треба знайти.

4) CN - висота основи піраміди, CN  АВ, тому за теоремою про три перпендикулярами MN  АВ.

5) За ознакою перпендикулярності прямої і площини маємо MNC  АВ, тому кут MNC - кут, що утворює переріз із площиною основи. За умовою  MNC = 30°.

Площею повної поверхні піраміди називають суму площ всіх її граней, а площею бічної поверхні піраміди - суму площ її бічних граней.

Площа S _повн повної поверхні піраміди виражається через площу S _біч її бічної поверхні і площу S _осн основи піраміди формулою

Приклад 1. Всі плоскі кути при вершині тетраедра дорівнюють 30°. Знайти площу бічної поверхні цього тетраедра, якщо його бічні ребра дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см.

Розв’язання. 1) на малюнку 470 тетраедр QАВС. За умовою 

Теорема про площу бічної поверхні правильної піраміди. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на анофему.

Приклад 2. Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а висота - 3 см.

Розв’язання. 1) На малюнку 471 зображено правильну чотирикутну піраміду QABCD, AD = 8 см - сторона основи, яка є квадратом, QK = 3 см - висота піраміди.

2) S _повн = S _біч + S _осн.

3) S_0CH = AD² = 8² = 64 (см²).

4) QM - висота, медіана ∆QDC. Оскільки М середина CD, а К – середина АС, то КМ - середня лінія ∆ACD. Тому КМ = AD/2 = 8/2 = 4 (см).

6) S _біч = pl, де р - півпериметр основи, l = QM - апофема.

3. Розв'яжіть задачі

1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 2 см, а апофема 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.

2. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5 см, а висота - 6 см. Знайти площу діагонального перерізу цієї піраміди.

3. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 4 см. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайти висоту піраміди (у см).