група №2 алгебра і початки аналізу (повторення)
07.03.2023
Тема уроку: Розв'язування задач
1. Повторіть теорію з теми "Поняття первісної. Основна властивість первісної"
Функцію F(х) називають первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку F'(х) = f(х).
Приклад. Для функції f(х) = 2х на інтервалі (-∞;+∞) первісною є функція F(х) = х2, оскільки кожного х з цього інтервалу виконується рівність 
Повертаючись до прикладу попереднього пункта, можна зауважити, що наприклад функція F 1(х) = х2 + 1 має ту саму похідну, що й функція F(х) = х2, дійсно (х2 + 1)’= 2х. Тому функція F 1(х) = х2 + 1 є також первісною для функції f(х) = 2х. Зрозуміло, що замість числа 1 можна поставити будь-яке інше число С, та матимемо (х2 + C)’= 2х.
Приходимо до основної властивості первісної: кожна з первісних для функції f(x) на заданому проміжку має вигляд F(х) + С, де F(х) - одна з цих первісних, а С - довжина стала.
Правила знаходження первісних:
1) Якщо F - первісна для f, a G - первісна для g, то F + G - первісна
для f + g.
2) Якщо F - первісна для f, а k - стала, то kF - первісна для kf.
3) Нехай F(x) - первісна для f(х), a k і b - деякі сталі, причому k ≠ 0. Тоді 1/k ∙ F(kx + b) - первісна для функції f(kx + b).
Розглянемо приклади використання цих правил.
Приклад 1. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:
Розв’язання.
1) Оскільки х5 /5 первісна для х4, a tg x - первісна для 1/cos2 x, то використовуючи правило 1, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:
2) Оскільки ех - первісна для ех, то використовуючи правило 2, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції F(х) = 7ех + С.
Приклад 2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції 
Розв’язання. Для соsх однією з первісних є sin х. Використовуючи правило 3, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:
Приклад 3. Для функції 
знайдіть первісну F(x) таку, що F(12) = 3.
Розв’язання. Використовуючи правило 3 та той факт, що однією з первісних для функції х5 є x6 /6 матимемо:
Оскільки F(12) = 3, то матимемо 
Отже, 
- шукана первісна.
2.Виконайте тест
Первісною для функції f(х) = х2 є ...
Первісною для функції f(х)=соsx є
Визнач, чи є функція F(x) первісною для функції f(x):
F(x)=x12; f(x)=12x13
Знайдіть первісну для функції f(x) = 3х2 + sin x
Знайдіть первісну для функції f(x) = 2х3 - 5х4
Знайти для функції f(х) первісну, графік якої проходить через дану точку
f(х) = х3 + 2, М(0;0)
Для заданої функції знайти первісну, графік якої проходить через дану точку:
y= 3x2 - 4x + 5, A (0;1).
Знайдіть первісну для функції f (x) = -2sinx + 5ex - 8
Первісною для функції у = 5/х є
Знайти загальний вигляд первісної для функції: у = 3х2 - 4х3 + 3х + 1.
Знайти загальний вигляд первісної для функції f(x) = 4x3 + 2x - 6x2 - 2
Записати первісну для функції f(x)= 4x3-9x2+1
Графік якої з первісних функції f (x) =4 x3 проходить через точку А (1; 2) ?
Якщо F(x)=2+cosx - первісна функції f(x), то f(x)=
Функція f(x) | Загальний вигляд первісних F(х)+С , де С - довільна стала |
0 | С |
1 | х + С |
xα , α ≠ -1 |
|
1/x | ln|х| + С |
sin x | -соsх + С |
cos x | sіnх + С |
1/cos2 x | tg х + С |
1/sin2 x | -сtgx + С |
ex | ех + С |
ax (a > 0; a ≠ 1) |
|
Немає коментарів:
Дописати коментар