група  №2   геометрія  (повторення)

22.02.2023

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=NgWpPTy2FbU&t=53s

2. Повторіть теорію

Нами вже розглянуто прості геометричні тіла: призма, піраміда, циліндр, конус, куля. Але у природі, техніці та геометрії також розглядають і комбінації вказаних геометричних тіл.

1. Призма, вписана у циліндр.

Призму називають вписаною у циліндр, якщо її основи вписані в основи циліндра, а бічні ребра є твірними циліндра (мал. 505).

При цьому циліндр називають описаним навколо призми. Зрозуміло, що оскільки твірні циліндра перпендикулярні до площини основи, то призма, вписана у циліндр, є прямою.

З означення призми, вписаної у циліндр, випливають її властивості:

1) Циліндр можна описати навколо прямої призми, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло. При цьому радіус циліндра R дорівнює радіусу цього кола.

2) Висота Н призми, яка сполучає центри кіл, описаних навколо основ, належить осі циліндра.

Приклад. Чи можна описати циліндр навколо прямої призми, в основі якої лежить: 1) трикутник, 2) ромб, який не є квадратом?

Розв’язання. 1) Так, оскільки навколо будь-якого трикутника можна описати коло.

2) Ні, оскільки навколо ромба, який не є квадратом, не можна описати коло.

2. Призма, описана навколо циліндра.

Дотичною площиною до циліндра називають площину, що проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, який містить твірну циліндра (мал. 506).

Призму називають описаною навколо циліндра, якщо її основи описані навколо основ циліндра, а бічні грані належать площинам, дотичним до циліндра (мал. 507).

При цьому циліндр називають вписаним у призму, оскільки твірні циліндра перпендикулярні до площини основ, то бічні грані призми, які містять твірні, також перпендикулярні до площин основ, тобто призма, описана навколо циліндра, є прямою.

З означення призми, описаної навколо циліндра, маємо її властивості:

1) Циліндр можна вписати в пряму призму, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло. При цьому радіус циліндра r дорівнює радіусу цього кола.

2) Висота Н призми, яка сполучає центри кіл, вписаних в основи, належить осі циліндра.

Приклад. Навколо циліндра, висота якого дорівнює 5 см, описано чотирикутну призму, три сторони основи якої в порядку слідування дорівнюють 3 см, 4 см і 7 см. Знайти площу бічної поверхні призми.

Розв’язання. 1) Позначимо невідому сторону чотирикутника основи х. Оскільки цей чотирикутник описано навколо кола (мал. 507), то 3 + 7 = 4 + х, звідси х = 6 см.

2) Площа бічної поверхні призми S _біч = Р ∙ l, де Р - периметр основи, l - бічне ребро, яке дорівнює висоті циліндра. Маємо: Р = 3 + 7 + 4 + 6 = 20 (см).

3) S _біч = 20 ∙ 5 = 100 (см²).

3. Піраміда, вписана у конус.

Піраміду називають вписану у конус, якщо її основа вписана в основу конуса, а вершиною є вершина конуса (мал. 508).

При цьому конус називають описаним навколо піраміди.

Зрозуміло, що бічні ребра піраміди, вписаної у конус, є твірними конуса.

Властивості піраміди, вписаної у конус, такі:

1) Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола.

2) Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола R, описаного навколо основи піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

Приклад. Навколо піраміди, сторони основи якої дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см, а висота 8 см, описано конус. Знайти площу осьового перерізу конуса.

Розв’язання. 1) Нехай радіус основи дорівнює R, а висота - Н (мал. 508). Тоді площа осьового перерізу конуса 

2) Висота конуса дорівнює дорівнює висоті піраміди, тому Н = 8 см.

3) Радіус конуса знайдемо як радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 10 см, 10 см і 12 см. Використаємо формулу R = abc/4S, де а, b, с - сторони трикутника, S - його площа.

4) За формулою Герона  - півпериметр трикутника.

Маємо 

5) Тоді 

6) Тоді 

4. Піраміда, описана навколо конуса.

Дотичною площиною до конуса називають площину, що проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, який містить цю твірну (мал. 509).

Піраміду називають описаною навколо конуса, якщо її основа описана навколо основи конуса, а вершиною є вершина конуса (мал. 510).

При цьому конус називають вписаним у піраміду. Зауважимо, що бічні грані піраміди належать площинам, дотичним до конуса.

Виходячи з означення, маємо властивості піраміди, описаної навколо конуса.

1) Конус можна вписати в піраміду, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола.

2) Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола r, вписаного в основу піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

Приклад. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 60º. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

Розв’язання. 1) Нехай у трикутну піраміду з основою АВС і вершиною Q вписано конус (мал. 510). Основа висоти конуса точка О - центр кола, вписаного в ∆АВС.

2) Нехай точка К - точка дотику кола, вписаного в ∆АВС, до сторони АВ. Позначимо ОК = R - радіус кола, вписаного в ∆АВС, і також радіус основи конуса.

3) ОК  АВ, за теоремою про три перпендикуляри QК  АВ, тому  QКО - лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. За умовою  QКО = 60°.

4) За відомою формулою радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, знаходиться за формулою  де а, b - катети, с - гіпотенуза.

5) За умовою АС = 6 см, ВС = 8 см - катети.

Тоді гіпотенуза 

6) Маємо 

7) QO - висота піраміди і конуса. В  тоді 

5. Многогранник, вписаний в кулю.

Многогранник називають вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі.

При цьому кулю називають описаною навколо многогранника.

Основні властивості призми, вписаної в кулю, такі (мал. 511):

1) Кулю можна описати навколо прямої призми, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло.

2) Центр кулі є серединою висоти призми, що сполучає центри кіл, описаних навколо многокутників основ призми.

3) Основи призми вписані в рівні паралельні перерізи кулі.

Приклад 1. Навколо правильної трикутної призми, сторона основи якої дорівнює 5 см, описано кулю. Радіус кулі дорівнює 13 см. Знайти висоту призми.

Розв’язання. 1) Нехай навколо правильної трикутної призми АВСА_ІВ₁С₁ описано кулю (мал. 511).

2) QB = R_ABC - радіус кола, описаного навколо ∆АВС.  де а = 5 см - сторона основи правильного трикутника АВС.

Тоді 

3) У ∆OQB: ОВ = R = 13 см - радіус кулі,  OQB = 90°.

Маємо 

4) Оскільки точка О - середина висоти призми QQ₁ то QQ₁ = 2 ∙ 12 = 24 (см).

Основні властивості піраміди, що вписана у кулю, наступні (мал. 512).

1) Кулю можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло. Центр кулі, описаної навколо піраміди, лежить на перпендикулярі до площини основи, проведеному через центр кола, описаного навколо основи.

2) Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, лежить на прямій, що містить висоту піраміди.

3) Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, збігається з центром кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, бічною стороною якого є бічне ребро піраміди, а висотою - висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

Зазначимо, що центр описаної кулі може належати висоті піраміди, або лежати на її продовженні (тобто знаходиться або всередині піраміди, або за її межами). Розв’язуючи задачі способом, запропонованим нижче, немає потреби розглядати два випадки. При обраному способі розв’язування місце розташування центра кулі (усередині чи поза пірамідою) не враховується.

Приклад 2. Доведіть, що радіус кулі R, описаної навколо правильної піраміди, можна знайти за формулою  де Н - висота піраміди, r - радіус кола, описаного навколо основи піраміди.

Розв’язання. 1) Нехай точка О - центр кулі, описаної навколо правильно: піраміди з висотою QК (мал. 512). За умовою QК = Я, КА = r - радіус кола описаного навколо основи.

2) Продовжимо QК до другого перетину з кулею в точці Q ₁. Тоді QQ ₁ = 2R - діаметр кола, а тому  QАQ ₁ = 90° і QQ ₁ - гіпотенуза прямокутного трикутника QАQ ₁.

4) За властивістю катета прямокутного трикутника у ∆QАQ ₁ матимемо АQ² = QQ ₁ ∙ QК, тобто АQ² = 2R ∙ Н.

5) Отже, АQ² = Н² + г² і АQ² = 2RН. Звідси Н² + r² = 2RН; R = (r² + H²)/2H, що й треба було довести.

6. Многогранник, описаний навколо кулі.

Многогранник називають описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються до поверхні кулі.

При цьому кулю називають вписаною у многогранник.

Основні властивості призми, описаної навколо кулі, такі (мал. 513):

1) Кулю можна вписати у пряму призму, якщо її основою є многокутник, у який можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

2) Центр кулі є серединою висоти призми, яка сполучає центри кіл, вписаних у многокутники основ призми.

Приклад 1. Відомо, що в трикутну призму, сторони основ якої дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см, можна вписати   кулю. Знайти радіус цієї кулі.

Розв’язання. 1) Діаметр вписаної кулі дорівнює висоті призми і в той самий час дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Отже, радіус кола, вписаного в основу призми дорівнює радіусу кулі.

2) Радіус кола r, вписаного в основу призми, знайдемо за формулою r = S/p, де S - площа трикутника основи, р - його півпериметр.

4) За формулою Герона

6) Отже, радіус кулі також дорівнює 4 см.

Сформулюємо основні властивості піраміди, описаної навколо кулі (мал. 514).

1) Якщо в піраміді всі двогранні кути при основі рівні між собою, то в цю піраміду можна вписати сферу. Центр сфери належить висоті піраміди, точка дотику з основою піраміди збігається з центром вписаного в основу кола, а точки дотику з бічними гранями належать висотам цих граней.

2) У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю. Центр кулі належить висоті піраміди.

3) Центр кулі, вписаної у правильну піраміду, збігається з центром кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, бічною стороною якого є апофема правильної піраміди, а висотою — висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

Приклад 2. Відомо, що в трикутну піраміду, висота якої дорівнює 20 см, а висота однієї з бічних граней 25 см, можна вписати кулю. Знайти її радіус.

Розв’язання. 1) Нехай QK - висота трикутної піраміди QABC, а QM - висота бічної грані (мал. 514). За умовою QK = 20 см, QM = 25 см.

2) За умовою в піраміду можна вписати кулю. Нехай центр цієї кулі – точка О, а точка L - точка дотику кулі до бічної грані QAC, L  QM.

3) Позначимо OK = OL = r - радіус вписаної кулі.

4) Прямокутні трикутники ОКМ і OLM рівні (за катетом і гіпотенузою). Тому  OMK =  OML, а отже, МО - бісектриса кута QMK, а тому й трикутника QMK.

5) За властивістю бісектриси трикутника маємо 

7) Врахуємо, що OQ = QЯК - ОК, та підставимо у рівність (1):  звідси r = 8 ∙ 4/7 (см).

Зауважимо, що в геометрії розглядають також інші комбінації геометричних тіл (наприклад, циліндра і піраміди, кулі і циліндра тощо).

3. Розв'яжіть задачі

1.  Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, бічне ребро нахилено до площини основи під кутом 60\ Знайти площу основи конуса, описаного навколо цієї піраміди.

2. У куб вписано кулю, радіус якої дорівнює 2 см. Знайти площу повної поверхні кулі.

3. Навколо циліндра, радіус основи якого дорівнює 2см,  а висота - 10 см, описано правильну трикутну призму. Знайти площу бічної поверхні цієї призми.

4. В основі трикутної піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Знайти (у см²) площу осьового перерізу конуса, описаного навколо піраміди.