11.05.2022   група №9       факультатив

Тема уроку: Розв'язування рівнянь, що містять модуль під знаком модуля

1. Передивіться відеоурок за посиланням

http://mail.yandex.ua/?win=422&clid=2100778-003

2. Повторити теоретичний матеріал

Рівняння виду  та інші містять два і більше виразів зі змінними, що стоять під знаком модуля. Такі рівняння доцільно розв’язувати за наступною схемою:

1) Знаходимо ОДЗ рівняння.

2) Знаходимо значення змінної, при яких дорівнює нулю хоча б один із виразів, що стоїть під знаком модуля (їх називають нулі під модульних виразів).

3) Розглянемо нулі підмодульних виразів на ОДЗ і розбиваємо ОДЗ на проміжки.

4) Знаходимо розв’язок рівняння - наслідку на кожному з проміжків і перевіряємо, чи входить цей розв’язок у розглядуваний проміжок.

5) Даємо відповідь

Приклад. Розв’язати рівняння 

Розв’язання.

1) ОДЗ: х  R.

2) х — 1 = 0; х = 1; Зх - 12 = 0, х = 4. Отже, х = 1 і х = 4 — нулі підмодульних виразів.

3) Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій «жирними» точками (оскільки вони входять в ОДЗ) і маємо три проміжки (-∞;1], (1;4], (4;+∞) (мал. 33).

4) Якщо х ( -∞;1], тобто х ≤ 1, то х - 1≤ 0 і |х -1| = -(х - 1); Зх - 12 < 0 і |3х-12| = -(Зх - 12). Маємо -(х - 1) - (3х - 12)= 7; х = 1,5. Число 1,5 в розглядуваний проміжок (-∞;1], а тому не є коренем рівняння.

Якщо х  (1;4], тобто  Маємо х -1 - (Зх - 12) = 7; х = 2.

Число 2 входить у розглядуваний проміжок (1;4], тому є коренем початкового рівняння.

Якщо х  (4;+∞), тобто  Маємо х - 1 + 3х - 12 = 7; х = 5. Число 5 входить у розглядуваний проміжок (4;+∞), тому є коренями початкового рівняння.

5) Отже, х ₁ = 2; х₂ = 5 - корені початкового рівняння.

3. Законспектуйте

Рівняння типу модуль в модулі. Графічний метод

Поширеними прикладами з модулями є рівняння типу модуль в модулі. Подвійний модуль можна записати у вигляді формули
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Якщо k=0 то таке рівняння з модулем легше розв'язувати графічним методом. Класичне розкриття модулів в таких ситуаціях громіздке і не дає бажаного ефекту на контрольних та тестах. Графічний метод дозволяє за швидкий час виконати побудову модульних функцій і знайти кількість коренів рівняння.

Алгоритм побудови подвійного, потрійного модуля досить простий і з наведених нижче прикладів сподобається багатьом. Для закріплення методики внизу наведені приклади для самостійного обчислення.

Приклад 1. Розв'язати рівняння модуль в модулі ||x-3|-5|=3.
Розв'язання: Розв'яжемо рівняння з модулями класичним методом та графічно. Знайдемо нуль внутрішнього модуля
x-3=0 x=3.
В точці x=3 рівняння з модулем розділяється на 2. Крім цього, нуль внутрішнього модуля є точкою симетрії графіка модулів і якщо права сторона рівняння рівна сталій, то корені лежать на однаковій відстані від цієї точки. Тобто можна розв'язати одне рівняння з двох, а решту коренів обчислити з цієї умови.
Розкриємо внутрішній модуль для x>3
|x-3-5|=3; |x-8|=3.

Отримане рівняння при розкритті модуля ділиться на 2

Підмодульна функція >0
x-8=3; x=3+8=11;
і для х< 0 матимемо
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Обидва корені рівняння задовольняють умову x>3, тобто є розв'язками.
Враховуючи записане вище правило симетрії розв'язків рівняння з модулями, можна не шукати корені рівняння для x< 3, яке має вигляд
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3,
а обчислити їх.
Значення симетричне відносно x=3 для x=11 рівне
x=3-(11-3)=6-11=-5.
За тією ж формулою знаходимо другий розв'язок
x=3-(5-3)=6-5=1.
Задане рівняння модуля в модулі має 4 розв'язки
x=-5; x=1; x=5; x=11.