група   №7   геометрія    урок  №54

04.05.2023

 Тема уроку: Площі бічної та повної поверхонь призми та піраміди

1.Передивіться відеоуроки

https://www.youtube.com/watch?v=c6B62ITk9Dc

https://www.youtube.com/watch?v=vc61Okh1vTc

2. Законспектуйте і вивчіть

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра.

На рис. 1 S_біч =Р_∆АВС ∙ АА₁.

Площу бічної поверхні призми можна обчислити за формулою: S_біч = Р ∙ АА₁ (рис. 2), де Р— периметр перпендикулярного перерізу (перерізу призми площиною, яка перпендикулярна до бічних ребер і перетинає всі її бічні ребра), AA₁ — довжина бічного ребра.

Площа повної поверхні призми (S_пр)) дорівнює сумі площі бічної поверхні (S_біч) і площ двох основ (2S_осн.):

S_пр = S_біч +2S_осн.

Об’єм V призми дорівнює добутку площі основи на висоту: V = SоснH (рис. 1).

Об’єм V призми можна обчислити за формулою V = S_пер ∙ АА₁, де S_пер — площа перпендикулярного перерізу, АА₁ — довжина бічного ребра.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його вимірів: V = abc (рис. 3).

Об’єм V куба дорівнює кубу його ребра: V = а³.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Площею повної поверхні піраміди є сума площ усіх її граней (тобто основи і бічних граней), а площею бічної поверхні піраміди — сума площ її бічних граней:

S_пір = S_біч + S_осн; S_біч = S_∆АSB + S_∆BSC + S_∆CSD + S_∆ASD (рис. 4).

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:

S_біч =  P_осн ∙ SK =  P_осн ∙ 1 (рис. 5).

Рис. 4

де l — апофема, l = SK.

Якщо бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом , а площа основи дорівнює S_осн, то площа бічної поверхні піраміди

S_біч = .

Рис. 5

Об’єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

V_пір = S_осн ∙ Н (рис. 6).

Рис. 6

Площа повної поверхні зрізаної піраміди дорівнює сумі площ усіх її граней (тобто основ і бічних граней), а площа бічної поверхні зрізаної піраміди — сумі площі!' бічних граней (див. рис. 7).

S_зрпір. = S₁ + S_біч + S₂

де S_біч = SАBB₁А₁ + SAСС₁A₁ + SBСС₁B₁

Рис. 7

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему (див. рис. 8).

S_біч =  ∙ l.

де P₁ і Р₂ — периметри основ, l — апофема (рис. 8).

Об’єм V зрізаної піраміди, висота якої H, а площі основ дорівнюють S₁ і S₂, обчислюється за формулою:

V_зрпір = Н(S₁ +  + S₂).

Рис.8

3. Розв'яжіть задачі

1. Знайдіть площу поверхні куба, якщо площа його діагонального перерізу дорівнює Q.

2. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює а, а бічна поверхня вдвічі більша за площу основи.

3. Знайдіть висоту правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо сторони її основ дорівнюють а і b (а > b), а площа бічної поверхні дорівнює сумі площ основ.

4.  Знайдіть площу (у см²) повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, в якій висота дорівнює 12 см, а апофема — 13 см.

5. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо її бічної грані, дорівнює R.