18.10.2021          ГРУПА №7                     АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Тема уроку: Ймовірнісь події

1.Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=_zvXQguDNo4

2. Прочитайте та дайте відповіді на запитання

 Випадковою подією називається подія, яка за певних обставин може відбутися або не відбутися.

Приклад 1

Кидання кубика – випадкова подія. Вона може відбутися або не відбутися.

Приклад 2

Виставлення мною оцінки котромусь учневі – теж випадкова подія.

Поняття вірогідної та неможливої подій

Якщо  подія обов’язково відбудеться – вона називається вірогідною (достовірною).

Якщо  подія ніколи не зможе відбутися – вона називається неможливою.

Приклад 1

Цей урок рано чи пізно закінчиться – вірогідна подія.

Приклад 2

Випадання на цьому кубику числа  7 – неймовірна подія.

Поняття несумісних та однаково можливих подій

Підкидання кубика може привести до 6 різних подій:

1 очко, 2 очка, 3, 4, 5 і 6 очок.

Всі вони попарно несумісні, бо не можуть відбутися обидва разом.

Випадкові  події називаються несумісними, якщо вони не можуть відбутися разом.

І всі ці 6 подій є однаково можливі. Жодна з них не має переваги над іншими.

Поняття сприятливої події

Нехай подія А – випадання на кубику парного числа. Які події є сприятливими для події А?

(Випадання числа 2, 4 або 6.)

Подія Е називається  сприятливою для події А, якщо її настання приводить до настання події А.

Приклад 1

Дзвінок – сприятлива подія для настання кінця уроку.

Приклад 2

Правильна відповідь котрогось учня – сприятлива подія для отримання ним високої оцінки.

І зараз ми підходимо до центральної теми нашого уроку:

Класичне означення ймовірності

Ймовірністю випадкової події А називають відношення числа m сприятливих для А подій до числа n всіх можливих подій.

Зауваження

Всі можливі події мають бути однаково ймовірними і попарно несумісними.

Це – класичне означення ймовірності.

1. Чи може ймовірність випадкової події А дорівнювати 10?
2. Чи може ймовірність випадкової події А дорівнювати 2?
3. Чи може ймовірність випадкової події А дорівнювати 1? В якому випадку?
4. Чи може ймовірність випадкової події А дорівнювати 0? В якому випадку?  

3.  Розв'яжіть тести
          1. З колоди, яка містить 36 карт, навмання витягують одну карту. Яка                      ймовірність того, що вибраною картою є туз?

1. варіанти відповідей
    

   1/36

    

    

   1/4

    

    

   1/9

    

    

   1

2. В урні є 5 синіх, 7 червоних і 10 білих кульок однакового розміру та маси. Кульки перемішують і навмання виймають одну.Яка ймовірність того, що вийнята кулька буде білого кольору?

   варіанти відповідей
    

   5/11

    

    

   5/17

    

    

   10/12

    

    

   7/10

3. З п'яти букв, написаних на картках, складене слово "пісня". Хлопчик перемішав картки і потім навмання їх склав. Яка ймовірність того, що він знову складе слово "пісня"?

   варіанти відповідей

    

   1

    

    

   0

    

    

   1/120

    

    

   5/120

4. В учня є 20 зошитів. Серед них - 5 у лінійку, решта - у клітинку. Яка ймовірність того, що серед 6 випадково вибраних зошитів усі зошити будуть у клітинку?

   варіанти відповідей

    

   6/15

    

    

   6/20

    

    

   1

    

    

   ≈0,13

   5. Набираючи номер телефону, двічинка забула дві останні цифри і, памятаючи тільки те, що ці цифри різні, набрала їх навмання. Яка ймовітність того, що номер набраний правильно?

   варіанти відповідей

    

   1/9

    

    

   1/45

    

    

   2/9

    

    

   1/5

   6. Ймовірність того, що перший баскетболіст зробив влучний кидок, становить 0,8, а другий - 0,85. Яка ймовірність того, що, виконавши по одному кидку, обидва спортсмени влучать у кошик?

   варіанти відповідей

    

   0,68

    

    

   0,3

    

    

   0,2

    

    

   0,15

   7. У коробці є 30 курчат: 17 білих, 9 рябих та 4 чорних. Яка ймовітність того, що навмання вибране курча не чорне?

   варіанти відповідей

    

   13/15

    

    

   4/26

    

    

   4/9

    

    

   4/17

   8.  Мисливець стріляє у мішень, поділену на 4 області. Імовірність влучення у першу область дорівнює 0,29, у другу - 0,23, у третю - 0,4. Знайти ймовірність того, що мисливець влучить у першу або в другу, або у третю область.

   варіанти відповідей

    

   0,5

    

    

   1

    

    

   0,92

    

    

   0,25

   9.  Імовірність того, що Оленка розвяже задачу 0,8, а ймовірність того, що її розвяже Остап - 0,7. Знайти імовірність того, що задачу не розвяже жоден учень.

   варіанти відповідей

    

   0,2

    

    

   0,3

    

    

   0,06

    

    

   0,5

   10.  У ворота одночасно кидають два м′ячі. Імовірність влучення першого м′яча дорівнює 0,4, а другого - 0,7. Яка ймовірність влучення у ворота хоча б одного з двох м′ячів?

   варіанти відповідей

    

   0,28

    

    

   0,11

    

    

   0,82

    

    

   0,89

 18.10.2021         ГРУПА №7         ФАКУЛЬТАТИВ

Тема уроку:      Механічний зміст інтеграла

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=vI9shgOLeBY

2. Розв'яжіть задачі 

Задача1: Знайти площу області, обмеженої віссю Ох та кривою

у=х³-6х²+11х-6.

Розв’язання:
Знайдемо точки перетину заданої кривої з віссю Ох. Легко бачити, що одним з коренів рівняння у=х³-6х²+11х-6 є х₁=1. Два інші корені знайдемо так: поділивши ліву частину рівняння на х-1, використовуючи правило ділення многочленів, або схему Горнера, отримаємо х²-5х+6. Прирівнюючи цей вираз нулю:

х²-5х+6=0, маємо: х₂=2, х₃=3.

Побудуємо графік даної функції:



З графіка даної функції (див. рис.) видно, що на відрізку [2;3]область знаходиться під віссю Ох, тому

S=S₁ - S₂==.

Відповідь: .

Задача2: Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси m підняти з поверхні Землі вертикально вверх на висоту h, якщо радіус Землі дорівнює R.

Розв’язання:

За законом Ньютона сила F притягання тіла Землею дорівнює:

,

де М – маса Землі, ᵧ=6,67·10^-11 - гравітаційна сила, х – відстань від центра тіла до центра Землі.

Нехай стала ᵧmM=k, тоді F(x)=, . При x=R сила F(R)дорівнює вазі тіла P=mg, тобто , звідси .

За формулою , маємо:

.

Відповідь: .

3.  Розв'язати тести

Запитання 1

Для функції f(x)=sinx знайти первісну F(x), графік якої проходить через точку О(0;0)

варіанти відповідей

 

F(x)=cosx-1

 

 

F(x)=1-cosx

 

 

F(x)= cosx+1

 

 

F(x)=cosx

 

 

F(x)=sinx

Запитання 2

Відомо, що функція F(x) є первісною функції f(x), а функція G(x) є первісною функції g(x). Які з наведених тверджень є правильними?

І. Функція F(x)+G(x) є первісною функції f(x)+g(x).

ІІ. Функція F(x)*G(x) є первісною функції f(x)*g(x).

ІІІ. Функція F(x)/G(x) є первісною функції f(x)/g(x).

варіанти відповідей

 

Тільки І

 

 

Тільки ІІ

 

 

Тільки ІІІ

 

 

Тільки І і ІІ

 

 

Усі твердження

Запитання 3

Укажіть інтеграл, значення якого є додатним числом.

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 4

Укажіть інтеграл, значення якого є від'ємним числом.

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 5

Обчисліть площу S заштрихованої криволінійної трапеції (рис.26)

варіанти відповідей

 

S=-ln3

 

 

S=3ln3

 

 

S=3

 

 

S=-3ln3

 

 

S=ln3

Запитання 6

Обчисліть площу S заштрихованої криволінійної трапеції (рис.27)

варіанти відповідей

 

S=(a√3)/2

 

 

 

S=(√2)/2

 

 

S=1/2

 

 

S=π/4

 

 

S=1

Запитання 7

Обчисліть інтеграл

варіанти відповідей

 

1

 

 

33

 

 

-3

 

 

2π/3

 

 

1/3

 18.10.2021          ГРУПА №6         ФАКУЛЬТАТИВ

Тема уроку: Квадратні рівняння

1. Повторити теоретичний матеріал

Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax²+bx+c=0, де x - змінна, а a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .
Якщо коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним (неповне квадратне рівняння - pure quadratic). Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax²=0;
2) ax²=bx=0;
3) ax²+c=0.

Рівняння ax²=0 має один корінь x=0.
Рівняння виду ax²=bx=0 рівносильне рівнянню x(ax+b)=0 і завжди має два корені: x=0 i x=-b/a.
Квадратне рівняння виду ax²+c=0 рівносильне рівнянню x²=-c/a.

Якщо -c/a>0, воно має два розв'язки

, якщо -c/a<0 - рівняння не має жодного розв'язку.

Приклад 1
Знайти корені рівняння 2x²-18=0.
Розв'язання
2x²-18=0;
2x²=18;
x²=9;

x12=±

x₁=3, x₂=-3;
Відповідь: x₁=3, x₂=-3.

Дискримінантом (дискримінант - discriminant) рівняння ax²+bx+c=0 називають вираз D=b²-4ac.
Якщо D>0 рівняння ax²+bx+c=0 має два розв'язки, які знаходяться за формулами

Якщо D=0 рівняння ax²+bx+c=0 має один розв'язок, який знаходиться за формулою

Якщо D<0 рівняння ax²+bx+c=0 не має жодного розв'язку.

Приклад 2
Знайти корені рівняння x²+4x-21=0.
Розв'язання
D=4²-4·1·(-21)=16+84=100>0.

x₁=3, x₂=-7.
Відповідь: x₁=3, x₂=-7.

Квадратне рівняння називають зведеним (зведене квадратне рів-няння - reduced quadratic), якщо коефіцієнт a дорівнює одиниці: x²+px+q=0.

Якщо зведене квадратне рівняння x²+px+q=0 має два корені, то їх сума дорівнює коефіцієнту p рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену q:
x₁+x₂=-p;
x₁x₂=q,
де x₁,x₂ - розв'язки рівняння x²+px+q=0.

2. Виконати вправи

1. Розв'язати рівняння:

2. Розв'язати рівняння введенням нової змінної:

3. Скласти рівняння за заданими коренями:

4. Розкласти на множники такі тричлени:
а) x²-4x+3;
б) a²-29a+198;
в) 5y²-2by-35b².

5. Скоротити дроби:

6. Розв'язати рівняння:

7. Розкласти на множники многочлени:
а) x⁴-5x²+4;
б) x⁴-8x²+7;
в) x⁴-(1+ab)x²+ab.

8. Знайти два числа, сума яких дорівнює 61, а добуток 900.

9. Добуток двох послідовних цілих чисел більший від їх суми на 239. Знайти ці числа.

10. Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел більший від суми їх квадратів на 264. Знайти ці числа.

11. Знайти три послідовні цілі числа, сума квадратів яких дорівнює 434.

 18.10.2021 р.       ГРУПА №4          ГЕОМЕТРІЯ

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань з теми                 " Паралельність прямих і площин у просторі"

1. Повторити теоретичний матеріал

1. Які основні поняття стереометрії ви знаєте? Чому ці поняття називають основними? Наведіть приклад якого-небудь твердження, де використовуються основні поняття стереометрії. Укажіть вид цього твердження (означення, аксіома, теорема).

2. Чи є справедливими в стереометрії аксіоми планіметрії? Які аксіоми стереометрії та наслідки з них ви знаєте?

3. Які випадки взаємного розміщення прямих у просторі ви знаєте?

4. Як називають прямі, що:

1) лежать в одній площині і не перетинаються;

2) не лежать в одній площині?

5. Які випадки взаємного розміщення прямої і площини ви знаєте? Визначте розміщення прямої відносно площини, якщо пряма:

1) не має з площиною спільних точок;

2) має одну спільну точку з площиною;

3) має дві спільні точки з площиною;

4) паралельна якій-небудь прямій цієї площини.

6. Які випадки взаємного розміщення площин ви знаєте? Визначте розміщення двох площин, якщо:

1) вони не мають спільних точок;

2) мають одну спільну точку.

2. Розв'язати в зошиті задачі

1) Точка A лежить поза площиною трикутника BDF. Точки N, M, C i K — середини відрізків BD, DF, FA і AB відповідно. Обчисліть периметр чотирикутника NMCK, якщо BF = 24 см, AD = 18 см.

2) Площина α перетинає відрізки OA і OB у точках K і M так, що пряма AB паралельна площині α.

а) Визначте взаємне розміщення прямих KM і AB.

б) Обчисліть довжину відрізка AB, якщо OK:KA = 2:3, а KM = 7 см.

3) Пряма l перетинає площину трикутника ABC у точці B. Назвіть пряму, що мимобіжна з l і містить сторону трикутника.

А. AB. Б. AC. В. BC. Г. Такої прямої не існує.

4) Скільки прямих, паралельних поданій, можна провести через точку простору, що не належить поданій прямій?

А. Одну. Б. Дві. В. Жодної. Г. Безліч.

5) Сторона AC трикутника ABC лежить у площині α. Через середину BA — точку M, проведено площину β, паралельну площині α, що перетинає BC у точці K. Знайдіть MK, якщо AC = 10 см.

6) ABCD — паралелограм. Площина α проходить через його вершини A, B і не проходить через вершину C. Доведіть, що CD || α.