06.05.2021     група №14             математика (факультатив)

                          група №2

Тема уроку: Графіки та основні властивості кубічної параболи

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=ciRr1XRoB5U

Кубічна парабола – це парабола, що задається рівнянням виду y = ax3, де a ≠ 0. Також в літературі можна зустріти і інші формули для кубічної параболи, всі вони еквівалентні.

Властивості функції кубічної параболи

Графік кубічної параболи визначений на всьому просторі дійсних чисел.

Функція, що задається графіком кубічної параболи, є непарною, тобто: 

f (-x) = (- x)3 = -x3 = - f (x).

З цього випливає, що зворотна функція кубічної параболи, задана рівнянням y = -x3 розташовуватиметься II і IV чвертях графіка, тоді як для y = x3 графік розташовується в I і III чвертях.

Графік кубічної параболи центрально-симетричний відносно початку координат або точки перегину, якщо він зміщений відносно початку координат. Тобто форма кривої праворуч до точки перегину повністю ідентична формі кривої зліва. Графік кубічної параболи хоча б 1 раз перетинає вісь абсцис.

Графік кубічної параболи зростає на всій області визначення.

 06.05.2021       група №14      Алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Нйбільше та найменше значення функції на відрізку

1. Виконати в зошитах:

№ 1. Дослідіть функцію f(х) = 2/3х³ - 2х² та побудуйте її графік.

№ 2. Дослідіть функцію f(х) = х³ - 3х + 2 та побудуйте її графік.

№ 3. Дослідіть функцію f(х) = 2х³ - 6х² + 4 та побудуйте її графік.

№ 4. Дослідіть функцію f(х) = х⁴ - 2х² + 1 та побудуйте її графік.

2. Актуалізація опорних знань (виконати в зошитах)

1. Знайдіть критичні точки функції:

1) f(х) = х⁴ - 4х³ - 8х² + 1; 2) f(х) = 4х⁴ - 2х² + 3.

2. Порівняйте значення функції:

1) f(x) = x² - 2x + 3 у точках x = 1 і x = 2; 2) f(x) = 4x³ - 3x² + 5 у точках x = -1 і x = -2.

3. Чи належить:

1) точка x = -3 проміжку [-2;0]; 2) точка x = -2 проміжку [-3;2]; 3) точка x = 1 проміжку [0;1]?

3. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=2OK_1pcRmqA

4. Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку:  (законспектувати)

1) знайти критичні точки функції;

2) з’ясувати, які критичні точки належать заданому відрізку;

3) знайти значення функції на кінцях відрізка та в критичних точках, які належать цьому відрізку;

4) порівняти знайдені числа . Найбільше (найменше) із цих чисел і є найбільшим (найменшим) значенням функції на відрізку.

5. Виконати самостійно в зошитах

1) Функцію f(х) задано формулою  

Знайдіть:

а) екстремуми функції f(х);

б) найбільше та найменше значення функції f(x) на відрізку [-1;2];

в) найбільше та найменше значення функції f(х) на відрізку [-2;0]. Зробіть відповідні висновки.

 05.05.2021   група № 14        математика (факультатив)

Тема уроку: Графіки та основні властивості параболи

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=pOm23W-uT3w

2. Законспектуйте

Функція виду у = ax2 + bx + c, де а  0, називається квадратичною.

Наприклад:  — квадратичні функції.

Графік квадратичної функції — парабола, вітки якої напрямлені вгору, якщо а > 0, і вниз — якщо а < 0.

Координати вершини (х0; у0) параболи графіка у = ах2 + bх + с обчислюються за формулами:

;  або 

Наприклад: у функції у = х2 + 2х – 3, яка є квадратичною, графік — парабола. Вітки параболи напрямлені вгору (а = 1 > 0), а координати вершини:

     ;               

або y0 = f (-1) = (-1)2 + 2 ∙ (-1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -5 + 1 = -4.

Тобто вершина параболи (-1; - 4).

3.Виконайте вправу:

На рисунку зображено графік функції у = ах2 + bх + с. Використавши подані на рисунку умови, укажіть:

1)      знак числа а в рівнянні у = ах2+Ьх + с;

2)      координати вершини параболи;

3)      вісь параболи.

                                         

 05.05.2021 група №14             Алгебра і початки аналізу

Тема уроку:  Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків функцій

1. Повторити теоретичний матеріал :

Алгоритм дослідження функцій:

1) Знаходимо область визначення функції у = f(x).

2) Досліджуємо функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знаходимо точки перетину функції у = f(x) з осями координат (якщо їх можна знайти).

4) Знаходимо похідну f '(x) та критичні точки.

5) Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму, екстремуми функцій.

6) Досліджуємо поведінку функції на кінцях проміжків області визначення (якщо можна дослідити).

7) Використовуючи отримані результати, будуємо графік функцій або його ескіз.

Приклад 1. Дослідити функцію  та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Область визначення: D(f) = R.

 функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Точка перетину з віссю Оу: 

Точки перетину з віссю Оу:  (розв’яжіть рівняння самостійно).

Отже, маємо точки перетину з осями координат: (0;-4), (2;0), ( -2;0).

 критичні точки х₁ = 0; х₂= 1; х₃ = -1.

5) Складаємо таблицю у якій позначаємо проміжки зростання, проміжки спадання та критичні точки:

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		-4,5		-4		-4,5
Висновок	Функція спадає	min	Функція зростає	mах	Функція спадає	mіn	Функція зростає

В таблиці наведено також висновки про критичні точки (чи є вони точками максимуму чи точками мінімуму).

6) Оскільки D(f) = R, то немає кінців області визначення.

7) Будуємо графік функції використовуючи результати дослідження - малюнок 105.

Побудова графіка функцій (або його ескізу) допомагає при розв’язуванні деяких задач, пов’язаних із знаходженням коренів рівняння (їхньої кількості, найближчих значень тощо).

Приклад 2. 1) Дослідіть функцію f(х) = (х - 3 ) та побудуйте ескіз її графіка. 

2) Скільки коренів має рівняння (х - 3) = а залежно від значення параметра а?

Розв’язання завдання 1.

1) D(f) = [0;+∞).

2) Функція ні парна, ні непарна, оскільки її область визначення не симетрична відносно нуля.

3) Точка перетину з віссю Оу: х = 0; у = 0. Точки перетину з віссю Ох: у = 0; (х – 3)  = 0 ; х₁ = 3; х₂ = 0.

х = 1 - критична точка.

5) Складаємо таблицю:

X	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	не існує	-	+	+
f(x)	0		-2
Висновок	Точка належить графіку	Функція спадає	mіn	Функція зростає

6) Точка (0;0) належить графіку функції.

7) Ескіз графіка показано на малюнку 106.

2. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://uroky.com.ua/zastos

uvannja-pohidnoi-do-doslidzhennja-funkcij/

3. Виконайте завдання:

Запитання 1

Для функції у=х3+ х2 знайти точку максимуму

варіанти відповідей

 

 -3/2

 

 

 -2/3

 

 

0

 

 

 2/3

Запитання 2

Знайти критичні точки функції у=х4/4 - x3/3, дослідити та побудувати графік функції

варіанти відповідей

 

0

 

 

1

 

 

2

 

 

3

Запитання 3

Скільки точок екстремуму має функція, графік похідної якої зображено на малюнку?

варіанти відповідей

 

неможливо визначити

 

 

3

 

 

жодної

 

 

2

Запитання 4

Скільки проміжків спадання містить функція, графік похідної якої зображено на малюнку?

варіанти відповідей

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

неможливо визначити

 30.04.2021    група №14 математика (факультатив)

  Тема уроку:  Розв'язування задач з теми "Координати на площині"

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=nRzrWHhErsQ

2. Виконати в зошитах:

1. Знайдіть координати центра кола з діаметром АВ, якщо А(1; 5), В(3; 1). Складіть рівняння кола.
2. Знайдіть периметр і діагоналі чотирикутника ABCD, якщо A(-3; 1), B(-1; 3), C(1; 1), D(-1; -1).
3. Знайдіть координати точок перетину кола (x – 1)2 + (у – 3)2 = 2 з прямою х = 2.
4. Складіть загальне рівняння прямої, що проходить через точки А(1; -2) і В(3; 2).
5. Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо А(-1; 3), В(1; 5), С(3; 3), D(1; 1). 
6.  Знайдіть координати центра кола, діаметр якого  АВ і А(1;6), В(5; 4). Складіть рівняння кола. 
7. Обчисліть периметр і діагоналі чотирикутника ABCD, якщо А(-2; 2), В(0; 4), С(2; 2), D(0; 0).
8. Знайдіть координати точок перетину кола (x – 1)2 + (у – 3)2 =2 з прямою y = 4.
9. Складіть загальне рівняння прямої, що проходить через точки А(-1; 3) і В(3; 2).
10. Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо А(-3; 1), В(-1; 3), C(1; 1), D(-1; -1).

_______________________________________________________

30.04.2021    група №14      математика (факультатив)

1. Законспектуйте:

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою виду у = kх + b, де х – незалежна змінна, k і b – деякі числа.

Графіком лінійної функції є пряма, тому для побудови графіка досить побудувати таблицю для двох значень аргументу і функції.

Якщо числа k і b не дорівнюють нулю, то пряма перетинає вісь абсцис і вісь ординат.

Якщо k ≠ 0, аb = 0, то пряма проходить через початок координат.

Якщо k = 0, аb ≠ 0, то пряма проходить паралельно осі абсцис і перетинає вісь ординат у точці b.

Область визначення лінійної функції – вся числова пряма.

Область значень лінійної функції – вся числова пряма.

При k, більшому за нуль, функція є зростаючою.

При k, меншому від нуля, функція є спадною

2. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=kPKJNE6FDCs

3. Розв'яжіть задачі

1.   Лілійну функцію задано формулою у = 2х – 6. Знайдіть: 1) значення функції, що відповідає значенню аргументу -6; 0; 9; 2) при якому значенні аргументу значення функції дорівнює -3; 0; 7?

Результати обчислень запишіть у таблицю:

X

Y

2.   Побудуйте графік функції за даною формулою:
1) у = х – 2; 2) у = -2х + 0,5; 3) у = 2х – 1.

Перевірте, чи відповідають ваті побудови властивостям графіка, які випливають із значень k та b.

3.   Чи проходить графік функції у = 1,8х + 9 через точку: А(10; 27),

В(50; 89), С(-20; -27)?

4.   Побудуйте   графік   функції   у = -1,5х + 1.   Користуючись   графіком, знайдіть:

1)  значення у при х = -4; х = 0; х = 2;

2)  значення х, при якому у = -1; у = 4;

3)  усі значення х, при яких у > 1, у < 4;

4)  усі значення у, які відповідають значенням х >0.

 30.04.2021  група №14    Геометрія

Тема уроку: Паралельність прямих і площин у просторі                                      (повторення)

1. Передивіться відеоуроки за посиланнями:

https://www.youtube.com/watch?v=AnBHsjZaQWI

https://www.youtube.com/watch?v=DWpqW9k_UG0

2. Виконайте тестові завдання в зошиті

Запитання 1

1) Як називаються прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині?

варіанти відповідей

 

перпендикулярні;

 

 

вертикальні;

 

 

паралельні;

 

 

мимобіжні.

Запитання 2

2) Які прямі у просторі називаються мимобіжними?

варіанти відповідей

 

які лежать у різних площинах;

 

 

які лежать в одній площині і не перетинаються;

 

 

які перетинаються;

 

 

які лежать у різних площинах і не перетинаються.

Запитання 3

3) Через будь-яку точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести:

варіанти відповідей

 

тільки одну пряму паралельну даній;

 

 

пряму,мимобіжну даній, і тільки одну;

 

 

площину й тільки одну;

 

 

безліч різних площин.

Запитання 4

4) Дві прямі, паралельні третій:

варіанти відповідей

 

перетинаються;

 

 

мимобіжні між собою;

 

 

паралельні між собою;

 

 

перпендикулярні між собою.

Запитання 5

5) Дві площини називаються паралельними, якщо вони:

варіанти відповідей

 

не перетинаються;

 

 

мають спільну точку;

 

 

перетинаються;

 

 

дотикаються.

Запитання 6

6) Пряма площина називаються паралельними, якщо вони:

варіанти відповідей

 

перетинаються;

 

 

мають спільні точки;

 

 

не мають спільних точок;

 

 

є дотичними одна до одної.

Запитання 7

7) Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину:

варіанти відповідей

 

мимобіжні;

 

 

перетинаються;

 

 

паралельні;

 

 

співпадають;

Запитання 8

8) Які з указаних фігур можуть бути паралельною проекцією трапеції?

варіанти відповідей

 

квадрат;

 

 

паралелограм;

 

 

трапеція;

 

 

ромб.

Запитання 9

9) У просторі дано дві мимобіжних прямих а і в і точку А, що не належить їм. Скільки існує площин, які проходять через точку А і паралельні прямим а і в?

варіанти відповідей

 

одна;

 

 

дві;

 

 

безліч;

 

 

жодної.

Запитання 10

10) Дано площину α і точку А поза нею. Скільки існує різних прямих, які проходять через точку А і паралельні α?

варіанти відповідей

 

одна;

 

 

жодної;

 

 

не можливо визначити;

 

 

безліч.