27.04.2022    Група №9    факультатив

Темауроку: Розв'язування задач з теми "Геометричний зміст модуля числа"

1.Передивіться відеоурок 

https://www.youtube.com/watch?v=3nqT5dcOn7s

2. Розгляньте приклади розв'язування рівнянь

1)   Обчислити: а) |5|-2; б) |-12| : 6; в) |-24| + |13|; г) |65|-|-45|.

Розв'язок а) |5|-2=5-2=3;

б) |-12| : 6=12 : 6=2;

в) |-24|+|13|=24+13=37;

г) |65|-|-45|=65-45=20.

3.Розв'яжіть самостійно

1) Знайдіть значення

а) |-8| - |-5|;

б) |-10| · |-15|;

в) |240| : |-80|;

г) |-7100| + |-290|;

д) |-2,3| + |3,7|; 

е) |-4,7| - |-1,9|;

ж) |28,52| : |-2,3|;

з) |0,1| · |-10|;

к) ;

л) ;

м) ;

н) ;

о) 3 · |1,5| + 4;

п) 24 : |16| + 3,5.

2) Знайдіть:

а) від'ємне число, модуль якого дорівнює 25; ; 7,4;

б) додатне число, модуль якого дорівнює 12; 1; ; 3,2;

в) додатні і від'ємні числа, модуль яких дорівнює 8; 5; 19,2; 0.

3) Розв'яжіть рівняння: а) | х | = 6; б) | х | = 8; в) | х | = 0.

27.04.2022, 03.05.2022  і 04.05.2022   група № 6 факультатив  

Тема уроку: Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей 

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=F-OWeYp5fFo

2. Виконайте тести

Запитання 1

Скількома способами можна вибрати 4 яблука із 10?

варіанти відповідей

 

210

 

 

240

 

 

219

 

 

310

Запитання 2

Скількома способами можна розподілити 3 різних путівки між 25 учнями?

варіанти відповідей

 

2300

 

 

13800

 

 

2400

 

 

12500

Запитання 3

Скількома способами можна сформувати потяг з 8 вагонів?

варіанти відповідей

 

720

 

 

6840

 

 

40320

 

 

3628800

Запитання 4

Обчисліть

варіанти відповідей

 

16

 

 

18

 

 

20

 

 

22

Запитання 5

Гральний кубик кидається один раз. Знайти ймовірність такої події: А- "поява непарного числа очок"

варіанти відповідей

 

0,3

 

 

0,5

 

 

1

 

 

0

Запитання 6

Є п'ять відрізків довжиною 1, 3, 4, 7 і 9 см. Визначити ймовірність того, що із трьох навмання взятих відрізків (з даних п'яти) можна побудувати трикутник.

варіанти відповідей

 

0,5

 

 

0,2

 

 

0,3

 

 

0,4

Запитання 7

В скриньці лежать 12 білих і 8 червоних однакових на дотик кульок. Вийнято навмання одну кульку. Яка ймовірність того, що вона біла?

варіанти відповідей

 

0,6

 

 

0,2

 

 

0,5

 

 

0,8

Запитання 8

Для вибірки заданої варіаційним рядом 12, 17, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 13, 13 знайдіть моду, медіану, середнє значення

варіанти відповідей

 

15; 14,5; 14

 

 

13; 14; 13,9

 

 

13; 13,5; 13,9

 

 

14; 13,5; 13,9

 21.04.2022    група  №6   факультатив

Тема уроку: Побудова перерізів

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=5SHx0Nfhshg

2. Законспектуйте 

Розглянемо деякі найпростіші перерізи призми.

Переріз призми, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній основі, називають діагональним перерізом.

На малюнку 452 АА ₁С ₁С — діагональний переріз прямої призми. Цей переріз є прямокутником, одна із його сторін - діагональ основи АС, а інша - бічне ребро АА ₁. У похилій призмі діагональним перерізом є паралелограм.

Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз, а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Знайти площу діагонального перерізу призми, однією із сторін якого є більша діагональ ромба, якщо бічне ребро призми дорівнює 2 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ - призма, в основі якої лежить ромб ABCD, АВ = 8 см,  A = 60°, АС - більша діагональ ромба (мал. 452). Тоді АСС ₁А₁ - діагональний переріз, площу якого необхідно знайти. CC ₁ = 2 см (за умовою).

3) У ∆ADC за теоремою косинусів:  

4) Тоді 

Часто у задачах розглядають перерізи призми, що проходять через сторону основи призми і які перетинають бічні ребра призми.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить рівносторонній трикутник, сторона якого дорівнює 2 см. Через сторону цього трикутника проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро у його середині. Знайти довжину бічного ребра призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С ₁ - трикутна призма, основа якої - рівнобедрений трикутник АВС, АВ = 2 см (мал. 453).

2) Через сторону АВ основу трикутника проведено переріз АВК, де К - середина СС ₁.

3) Проведемо в трикутнику АВС медіану СМ, яка є також висотою цього трикутника: 

4) Оскільки CM  AB і CM є проекцією КМ на площину АВС, то за теоремою про три перпендикуляри: КМ  АВ.

Тоді  КМС - кут, що утворює переріз з площиною основи. За умовою  КМС = 30°.

6) Оскільки К - середина СС ₁, то СС ₁ = 2КС = 1 ∙ 2 = 2 (см).

Розглянемо найпростіший переріз піраміди.

Переріз піраміди, що проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані, називають діагональним перерізом.

На малюнку 468: QВD - діагональний переріз чотирикутної піраміди QАВСD.

Діагональні перерізи піраміди - трикутники, однією з вершин яких є вершина піраміди, а протилежна їй сторона - діагональ основи.

Приклад 1. Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3  см, а бічне ребро - 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - правильна чотирикутна піраміда (мал. 467), QАС - її діагональний переріз.

2) За умовою 

4) Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16 (см).

Часто у задачах розглядають перерізи піраміди, що проходять через сторону основи піраміди і перетинають бічні ребра піраміди.

Приклад 2. У правильній трикутній піраміді, сторона основи якої дорівнює 8 см, через сторону основи перпендикулярно До бічного ребра проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо він утворює кут 30° із площиною основи піраміди.

Розв’язання. 1) Проведемо у правильній піраміді QABC з основою ABC висоту ВМ бічної грані BQC (мал. 469).

2) ∆ВМС = ∆АМС (за двома сторонами і кутом між ними), тому  АМС =  BMC = 90°.

3) За ознакою перпендикулярності прямої і площини: АМВ  QC. Тому АВМ - переріз, площу якого треба знайти.

4) CN - висота основи піраміди, CN  АВ, тому за теоремою про три перпендикулярами MN  АВ.

5) За ознакою перпендикулярності прямої і площини маємо MNC  АВ, тому кут MNC - кут, що утворює переріз із площиною основи. За умовою  MNC = 30°.

Переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь, називають осьовим перерізом циліндра (мал. 484). Осьовий переріз циліндра — прямокутник, одна із сторін якого дорівнює діаметру циліндра, а інша - його висоті. На малюнку 484 прямокутник АВВ₁А₁ - осьовий переріз циліндра; АВ - діаметр циліндра; АА₁ - твірна, що дорівнює висоті циліндра. Якщо осьовим перерізом циліндра є квадрат, його інколи називають рівнобічним (або рівнобедреним або рівностороннім).

Приклад 1. Довжина кола основи циліндра дорівнює 12 π см, а діагональ осьового перерізу - 13 см. Знайти твірну циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай А ₁В - діагональ осьового перерізу циліндра (мал. 484); А ₁В = 13 см.

2) Позначимо радіус циліндра - r. Тоді за умовою 2πr = 12π, звідси 2r = 12 (см). Тому АВ = 2r = 12 см.

Приклад 2. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи дорівнює 4 см і утворює з площиною основи кут 45°. Знайти площу осьового перерізу циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай O ₁С - відрізок, що з’єднує центр верхньої основи - точку О₁ з точкою С кола нижньої основи (мал. 485). O₁С = 4 см.

2) ОС - проекція O ₁С на площину нижньої основи, тому  O ₁CO - кут, що утворює відрізок O ₁С з площиною нижньої основи. За умовою  О ₁СО = 45°.

4) АА ₁В ₁В - осьовий переріз, АА ₁ = ОО ₁ = 4 см; АВ = 2 ∙ АО = 4 ∙ 2 = 8 (см).

5) Тому площа діагонального перерізу S_{AA 1 B 1 B} = АВ ∙ АА ₁ = 8 ∙ 4 = 32 (см²).

Переріз циліндра площиною, яка є паралельною до площини основ - круг, що дорівнює кругу основи циліндра (мал. 486). Радіус перерізу А₂ O ₂ дорівнює радіусу циліндра АО.

Перерізом циліндра площиною, паралельної осі циліндра є прямокутник. На малюнку 487 прямокутник АА ₁В ₁В - переріз циліндра площиною, паралельної осі циліндра ОО ₁.

Дві його сторони: АА ₁ і ВВ ₁ - твірні циліндра, а дві інші: АВ і А ₁В ₁ - паралельні і рівні хорди основ.

Приклад 3. Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу 60º. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а висота - 5 см. Знайти периметр отриманого перерізу.

Розв’язання. 1) Нехай АВВ ₁А ₁ - переріз, що задано в умові (мал. 487), АО = ОВ = 6 см, АА ₁ = 5 см,  AOB = 60°.

2) Оскільки АО = ОВ, то ∆АОВ - рівнобедрений,  Тому ∆АОВ - рівносторонній, АВ = ОА = 6 см.

3) Отже, периметр перерізу Р _{ABB 1 B 1 B}= 2(АА ₁ + АВ) = 2(5 + б) = 22 (см).

 20.04.2022    група  №9   факультатив

Тема уроку:  Геометричний зміст модуля

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=qQcpH6M0Uc0

https://www.youtube.com/watch?v=Um68PU8fWW8

2. Проаналізуйте розв'язки

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від'ємного числа називається число, протилежне даному, модуль нуля дорівнює нулю.

Модуль числа α позначається символом |а| і читається «мо­дуль числа а». Згідно з означенням:

 

Виконання вправ

1. Знайдіть модулі чисел:

а) -;       б) -1;     в) 1- ;      г) 2- ()2.

Відповідь: а) ;       б) -1;    в) -1;    г) 0.

2. Запишіть вирази без знака модуля:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 2-; б)-1;     в) sin 3;    г) lg 5.

3. Запишіть вирази, без знака модуля:

а) х + ;      б)  - х;      в) х - ;       г) .

Відповідь: а)  б)  в)  г) 

 

 Геометричний зміст модуля числа є відстань від початку координат до точки, що зображає дане число (рис. 1) на координатній прямій. Дійсно, якщо а > 0, то відстань ОА дорівнює а. Якщо b < 0, то відстань 0В дорівнює -b.

 

 Теорема. Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точ­ками, які є зображеннями чисел на координатній прямій.

 

Доведення

Візьмемо числа a і b. Позначимо на коор­динатній прямій числа а, b, а — b через А, В, С (рис. 2). При паралельному пере­несенні вздовж осі х на b, точка О перей­де в точку В, а точка С — в точку А, тобто ОС=АВ. Оскільки за означенням модуля ОС=, то АВ= , що і треба було довести.

Прості рівняння і нерівності з модулем зручно розв'язувати використовуючи геометричний зміст модуля. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння |х| = 5.

Розв'язання

Співвідношення |х| = 5 геометричне означає, що відстань від точ­ки х до початку координат дорівнює 5, тобто х = 5 або х = -5. Відповідь: ±5.

 

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння |х + 3| = 2.

Розв'язання

Перепишемо співвідношення |х + 3| = 2 у вигляді |х - (-3)| = 2, яке геометрична означає, що відстань від точки -3 до точки х дорівнює 2. Відклавши від точки -3 на координатній прямій відрізок довжиною 2 (вправо і вліво), одержимо х = -1 або х = -5.

Відповідь: -1; -5.

 

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність |х - 3| < 2.

Розв'язання

Розв'язати нерівність |х - 3| < 2 геометричне оз­начає: знайти точки х, відстань від яких до точ­ки 3 не перевищує 2. На відстані 2 від точки З знаходяться точки 1 і 5 (рис. 3). Отже, 1  х  5.

Відповідь: 1 х 5.

 

Приклад 4. Розв'яжіть нерівність |2х + 1|  3 .

Розв'язання

Перепишемо нерівність |2х + 1|  3 у ви­гляді     |2х – (- 1)|  3 , яка геометрично оз­начає, що відстань від точки 2х  до точ­ки -1 не менша 3 (рис. 4). На відстані 3 від точки -1 знаходяться точки 2 і - 4. Таким чином, 2х  2 або 2х  - 4, звідси х  1 або х  -2.

Відповідь: х  1 або х  -2.

3.   Виконайте вправи

1. Розв'яжіть рівняння:

а) |х – 1| = 2;         б) |х + 3| = 1;    в) |2х + 1| = 3;      г) |2х – 3| = 9.

Відповідь: а) -1; 3;     б) -2; -4;   в) 1; -2;    г) -3; 6.

 2. Розв'яжіть нерівності:

а) |х + 2| > 2;         б) |2 – х| > 3;     в) |2х – 3| < 5;       г) |1 + 2х| < 1.

Відповідь: а) х < -4 або х > 0;    б) х < -1 або х > 5;  в) -1 < х < 4;     г) -1 < х < 0.

 

3. Множину чисел, зображених на рис. 5, запишіть у вигляді не­рівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х| < 1;    б) |х| < 2;   в) |х – 3| < 3; г) |х + 2| < 2.

 

4. Множину чисел, зображених на рис. 6, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х|  1;    б) |х| > 3;   в) |х + 2|  1; г) |х + 4| > 1.

 

5. Розв'яжіть рівняння:

а) ||х| – 1| = 2;    б) ||х| – 4| = 1;   в) ||х – 1| – 1| = 2;   г) ||х + 1| + 1| = 2.

Відповідь: а) ±3;       б) ±3; ±5;  в) -2; 4;    г) 0; -2.

 

6. Розв'яжіть нерівність:

а) ||х| - 2|  1;      б) ||х| - 5|  2;     в) ||х + 1| + 1|  3.

Відповідь: а) -3  х  -1 або 1  х  3;  б) -7  х  -3 або 3  х  7; в) -3  х  1.

Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсно­го числа, можна сформулювати такі його властивості.

1. Модуль дійсного числа — невід’ємне число, тобто |а|  0.

2. Модулі протилежних чисел рівні: |а| =|-а|.

3. Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників: |аb| = |а · b|.

Дійсно, якщо а і b — числа однакових знаків, то ab > 0 і |аb| = |а| · |b|.

Якщо α і b — числа, які мають різні знаки, то ab < 0 і |аb| = = -ab. З другого боку |а|·|b| = - ab. Отже, |аb| = |а|•|b|.

4. Квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа: |а|2 = а2.

5. Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо. модуль знаменника не дорівнює нулю): 

Дійсно, оскільки а = ·b, то за властивістю 3 маємо: , звідки .

6. Модуль суми не перевищує суми модулів доданків: |а + b|  |a| +|b|.

Оскільки -|a|  а  |a| і -|b|  b  |b|, то, додавши почленно ці не­рівності, одержимо   -|а| - |b|  а + b  |а| + |b|,  або   -(|а| + |b|)  а + b  |а| + |b|,   що означає |a + b|  |а| + |b|.