20.04.2022    група  №9   факультатив

Тема уроку:  Геометричний зміст модуля

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=qQcpH6M0Uc0

https://www.youtube.com/watch?v=Um68PU8fWW8

2. Проаналізуйте розв'язки

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від'ємного числа називається число, протилежне даному, модуль нуля дорівнює нулю.

Модуль числа α позначається символом |а| і читається «мо­дуль числа а». Згідно з означенням:

 

Виконання вправ

1. Знайдіть модулі чисел:

а) -;       б) -1;     в) 1- ;      г) 2- ()2.

Відповідь: а) ;       б) -1;    в) -1;    г) 0.

2. Запишіть вирази без знака модуля:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 2-; б)-1;     в) sin 3;    г) lg 5.

3. Запишіть вирази, без знака модуля:

а) х + ;      б)  - х;      в) х - ;       г) .

Відповідь: а)  б)  в)  г) 

 

 Геометричний зміст модуля числа є відстань від початку координат до точки, що зображає дане число (рис. 1) на координатній прямій. Дійсно, якщо а > 0, то відстань ОА дорівнює а. Якщо b < 0, то відстань 0В дорівнює -b.

 

 Теорема. Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точ­ками, які є зображеннями чисел на координатній прямій.

 

Доведення

Візьмемо числа a і b. Позначимо на коор­динатній прямій числа а, b, а — b через А, В, С (рис. 2). При паралельному пере­несенні вздовж осі х на b, точка О перей­де в точку В, а точка С — в точку А, тобто ОС=АВ. Оскільки за означенням модуля ОС=, то АВ= , що і треба було довести.

Прості рівняння і нерівності з модулем зручно розв'язувати використовуючи геометричний зміст модуля. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння |х| = 5.

Розв'язання

Співвідношення |х| = 5 геометричне означає, що відстань від точ­ки х до початку координат дорівнює 5, тобто х = 5 або х = -5. Відповідь: ±5.

 

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння |х + 3| = 2.

Розв'язання

Перепишемо співвідношення |х + 3| = 2 у вигляді |х - (-3)| = 2, яке геометрична означає, що відстань від точки -3 до точки х дорівнює 2. Відклавши від точки -3 на координатній прямій відрізок довжиною 2 (вправо і вліво), одержимо х = -1 або х = -5.

Відповідь: -1; -5.

 

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність |х - 3| < 2.

Розв'язання

Розв'язати нерівність |х - 3| < 2 геометричне оз­начає: знайти точки х, відстань від яких до точ­ки 3 не перевищує 2. На відстані 2 від точки З знаходяться точки 1 і 5 (рис. 3). Отже, 1  х  5.

Відповідь: 1 х 5.

 

Приклад 4. Розв'яжіть нерівність |2х + 1|  3 .

Розв'язання

Перепишемо нерівність |2х + 1|  3 у ви­гляді     |2х – (- 1)|  3 , яка геометрично оз­начає, що відстань від точки 2х  до точ­ки -1 не менша 3 (рис. 4). На відстані 3 від точки -1 знаходяться точки 2 і - 4. Таким чином, 2х  2 або 2х  - 4, звідси х  1 або х  -2.

Відповідь: х  1 або х  -2.

3.   Виконайте вправи

1. Розв'яжіть рівняння:

а) |х – 1| = 2;         б) |х + 3| = 1;    в) |2х + 1| = 3;      г) |2х – 3| = 9.

Відповідь: а) -1; 3;     б) -2; -4;   в) 1; -2;    г) -3; 6.

 2. Розв'яжіть нерівності:

а) |х + 2| > 2;         б) |2 – х| > 3;     в) |2х – 3| < 5;       г) |1 + 2х| < 1.

Відповідь: а) х < -4 або х > 0;    б) х < -1 або х > 5;  в) -1 < х < 4;     г) -1 < х < 0.

 

3. Множину чисел, зображених на рис. 5, запишіть у вигляді не­рівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х| < 1;    б) |х| < 2;   в) |х – 3| < 3; г) |х + 2| < 2.

 

4. Множину чисел, зображених на рис. 6, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х|  1;    б) |х| > 3;   в) |х + 2|  1; г) |х + 4| > 1.

 

5. Розв'яжіть рівняння:

а) ||х| – 1| = 2;    б) ||х| – 4| = 1;   в) ||х – 1| – 1| = 2;   г) ||х + 1| + 1| = 2.

Відповідь: а) ±3;       б) ±3; ±5;  в) -2; 4;    г) 0; -2.

 

6. Розв'яжіть нерівність:

а) ||х| - 2|  1;      б) ||х| - 5|  2;     в) ||х + 1| + 1|  3.

Відповідь: а) -3  х  -1 або 1  х  3;  б) -7  х  -3 або 3  х  7; в) -3  х  1.

Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсно­го числа, можна сформулювати такі його властивості.

1. Модуль дійсного числа — невід’ємне число, тобто |а|  0.

2. Модулі протилежних чисел рівні: |а| =|-а|.

3. Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників: |аb| = |а · b|.

Дійсно, якщо а і b — числа однакових знаків, то ab > 0 і |аb| = |а| · |b|.

Якщо α і b — числа, які мають різні знаки, то ab < 0 і |аb| = = -ab. З другого боку |а|·|b| = - ab. Отже, |аb| = |а|•|b|.

4. Квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа: |а|2 = а2.

5. Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо. модуль знаменника не дорівнює нулю): 

Дійсно, оскільки а = ·b, то за властивістю 3 маємо: , звідки .

6. Модуль суми не перевищує суми модулів доданків: |а + b|  |a| +|b|.

Оскільки -|a|  а  |a| і -|b|  b  |b|, то, додавши почленно ці не­рівності, одержимо   -|а| - |b|  а + b  |а| + |b|,  або   -(|а| + |b|)  а + b  |а| + |b|,   що означає |a + b|  |а| + |b|.