математика МПТУ

четвер, 6 травня 2021 р.

06.05.2021 група №14, група №2 математика (факультатив)

Тема уроку: Графіки та основні властивості гіперболи

Використано матеріал за посиланням

https://miyklas.com.ua/p/algebra/8/ratcionalni-virazi-31777/funktciia-y-k-x-yiyi-vlastivosti-ta-grafik-13989/re-4ca2a087-26ba-4a07-a842-6d3899b9237e

Функція

y=kx

Познайомимося з новою функцією:

y=kx

Коефіцієнт

k може приймати будь-які значення, крім

k=0. Розглянемо спочатку випадок, коли

k=1; отже, спочатку поговоримо про функцію

y=1x.

Щоб побудувати графік функції

y=1x, надамо незалежній змінній

x декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою

y=1x) відповідні значення залежної змінної

Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних.

Перший етап

Якщо

x=1, то

y=1 (нагадаємо, що ми користуємося формулою

y=1x);

якщо

x=2, то

y=12;

якщо

x=4, то

y=14;

якщо

x=8, то

y=18;

якщо

x=12, то

y=2;

якщо

x=14, то

y=4;

якщо

x=18 , то

y=8.

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

x	1	2	4	8	12	14	18
y	1	12	14	18	2	4	8

Побудуємо знайдені точки на координатній площині

xOy.

Другий етап

якщо

x=−1, то

y=−1;

якщо

x=−2, то

y=−12;

якщо

x=−4, то

y=−14;

якщо

x=−8, то

y=−18;

якщо

x=−12, то

y=−2;

якщо

x=−14, то

y=−4;

якщо

x=−18, то

y=−8.

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

x	−1	−2	−4	−8	−12	−14	−18
y	−1	−12	−14	−18	−2	−4	−8

Побудуємо знайдені точки на координатній площині

xOy.

Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.

Це і є графіком функції

y=1x, який називається гіперболою.

Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.

Будь-яка пряма, що проходить через початок координат

O та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки

O, але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам

(1;1) і

(−1;−1),

(2;12) і

(−2;−12) тощо.

Отже,

O — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.

По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин, їх зазвичай називають гілками гіперболи.

По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.

Отже, графік функції

y=1x, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь

x та вісь

Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).

Зверни увагу!

Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.

Побудуємо пряму

y=x.

Тепер дивимося: точки

(2;12)та(12;2) розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.

Те саме можна сказати про точки

(4;14) і (14;4),(8;18) і (18;8) тощо.

Отже, пряма

y=x — вісь симетрії гіперболи

y=1x (так само, як і

y=−x).

Ми розглянули функцію

y=kx для випадку, коли

k=1. Нехай тепер

k — додатне число, відмінне від

1, наприклад

k=2.

Розглянемо функцію

y=2x та складемо таблицю значень цієї функції:

x	1	2	−1	−2	4	12	−4	−12
y	2	1	−2	−1	12	4	−12	−4

Побудуємо ці точки на координатній площині. Вони намічають деяку лінію, що складається з двох гілок. Проведемо її.

Як і графік функції

y=1x, ця лінія називається гіперболою.

Тепер розглянемо випадок, коли

k<0; нехай, наприклад,

k=−1.

Побудуємо графік функції

y=1x (тут

k=−1).

Графік функції

y=−f(x) симетричний графіку функції

y=f(x) щодо осі

Зокрема, це означає, що графік функції

y=−f(x) симетричний графіку функції

y=f(x) щодо осі

Отже, графік функції

y=−1x симетричний графіку

y=1x відносно осі абсцис.

У такий спосіб ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.

Взагалі, графіком функції

y=kx,

k≠0 є гіпербола, гілки якої розташовані в першому і третьому координатних кутах, якщо

k>0, і в другому та четвертому координатних кутах, якщо

k<0.

Точка

(0;0) — центр симетрії гіперболи, осі координат — асимптоти гіперболи.

Зазвичай кажуть, що дві величини

x і

y обернено пропорційні, якщо вони пов'язані співвідношенням

xy=k (де

k — число, відмінне від

0) або, що те ж саме,

y=kx.

З цієї причини функцію

y=kx називають іноді оберненою пропорційністю (за аналогією з функцією

y=kx, яку називають прямою пропорційністю).

Число

k — коефіцієнт оберненої пропорційності.

Властивості функції

y=kx, якщо

k>0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім

x=0.

y>0, якщо

x>0;

y<0, якщо

x<0.

3. Функція спадає на проміжках

(−∞;0) і (0;+∞).

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках

(−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо

x=0.

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів

(−∞;0)∪(0;+∞).

Властивості функції

y=kx, якщо

k<0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім

x=0.

y>0, якщо

x<0;

y<0, якщо

x>0.

3. Функція зростає на проміжках

(−∞;0) і (0;+∞).

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках

(−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо

x=0.

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів

(−∞;0)∪(0;+∞).

06.05.2021 група №14 математика (факультатив)

група №2

Тема уроку: Графіки та основні властивості кубічної параболи

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=ciRr1XRoB5U

Кубічна парабола – це парабола, що задається рівнянням виду y = ax3, де a ≠ 0. Також в літературі можна зустріти і інші формули для кубічної параболи, всі вони еквівалентні.

Властивості функції кубічної параболи

Графік кубічної параболи визначений на всьому просторі дійсних чисел.

Функція, що задається графіком кубічної параболи, є непарною, тобто:

f (-x) = (- x)3 = -x3 = - f (x).

З цього випливає, що зворотна функція кубічної параболи, задана рівнянням y = -x3 розташовуватиметься II і IV чвертях графіка, тоді як для y = x3 графік розташовується в I і III чвертях.

Графік кубічної параболи центрально-симетричний відносно початку координат або точки перегину, якщо він зміщений відносно початку координат. Тобто форма кривої праворуч до точки перегину повністю ідентична формі кривої зліва. Графік кубічної параболи хоча б 1 раз перетинає вісь абсцис.

Графік кубічної параболи зростає на всій області визначення.

середа, 5 травня 2021 р.

06.05.2021 група №14 Алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Нйбільше та найменше значення функції на відрізку

1. Виконати в зошитах:

№ 1. Дослідіть функцію f(х) = 2/3х³ - 2х² та побудуйте її графік.

№ 2. Дослідіть функцію f(х) = х³ - 3х + 2 та побудуйте її графік.

№ 3. Дослідіть функцію f(х) = 2х³ - 6х² + 4 та побудуйте її графік.

№ 4. Дослідіть функцію f(х) = х⁴ - 2х² + 1 та побудуйте її графік.

2. Актуалізація опорних знань (виконати в зошитах)

1. Знайдіть критичні точки функції:

1) f(х) = х⁴ - 4х³ - 8х² + 1; 2) f(х) = 4х⁴ - 2х² + 3.

2. Порівняйте значення функції:

1) f(x) = x² - 2x + 3 у точках x = 1 і x = 2; 2) f(x) = 4x³ - 3x² + 5 у точках x = -1 і x = -2.

3. Чи належить:

1) точка x = -3 проміжку [-2;0]; 2) точка x = -2 проміжку [-3;2]; 3) точка x = 1 проміжку [0;1]?

3. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=2OK_1pcRmqA

4. Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку: (законспектувати)

1) знайти критичні точки функції;

2) з’ясувати, які критичні точки належать заданому відрізку;

3) знайти значення функції на кінцях відрізка та в критичних точках, які належать цьому відрізку;

4) порівняти знайдені числа . Найбільше (найменше) із цих чисел і є найбільшим (найменшим) значенням функції на відрізку.

5. Виконати самостійно в зошитах

1) Функцію f(х) задано формулою

Знайдіть:

а) екстремуми функції f(х);

б) найбільше та найменше значення функції f(x) на відрізку [-1;2];

в) найбільше та найменше значення функції f(х) на відрізку [-2;0]. Зробіть відповідні висновки.

вівторок, 4 травня 2021 р.

05.05.2021 група № 14 математика (факультатив)

Тема уроку: Графіки та основні властивості параболи

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=pOm23W-uT3w

2. Законспектуйте

Функція виду у = ax2 + bx + c, де а 0, називається квадратичною.

Наприклад: — квадратичні функції.

Графік квадратичної функції — парабола, вітки якої напрямлені вгору, якщо а > 0, і вниз — якщо а < 0.

Координати вершини (х0; у0) параболи графіка у = ах2 + bх + с обчислюються за формулами:

; або

Наприклад: у функції у = х2 + 2х – 3, яка є квадратичною, графік — парабола. Вітки параболи напрямлені вгору (а = 1 > 0), а координати вершини:

;

або y0 = f (-1) = (-1)2 + 2 ∙ (-1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -5 + 1 = -4.

Тобто вершина параболи (-1; - 4).

3.Виконайте вправу:

На рисунку зображено графік функції у = ах2 + bх + с. Використавши подані на рисунку умови, укажіть:

1) знак числа а в рівнянні у = ах2+Ьх + с;

2) координати вершини параболи;

3) вісь параболи.

05.05.2021 група №14 Алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків функцій

1. Повторити теоретичний матеріал :

Алгоритм дослідження функцій:

1) Знаходимо область визначення функції у = f(x).

2) Досліджуємо функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знаходимо точки перетину функції у = f(x) з осями координат (якщо їх можна знайти).

4) Знаходимо похідну f '(x) та критичні точки.

5) Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму, екстремуми функцій.

6) Досліджуємо поведінку функції на кінцях проміжків області визначення (якщо можна дослідити).

7) Використовуючи отримані результати, будуємо графік функцій або його ескіз.

Приклад 1. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Область визначення: D(f) = R.

функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Точка перетину з віссю Оу:

Точки перетину з віссю Оу: (розв’яжіть рівняння самостійно).

Отже, маємо точки перетину з осями координат: (0;-4), (2;0), ( -2;0).

критичні точки х₁ = 0; х₂= 1; х₃ = -1.

5) Складаємо таблицю у якій позначаємо проміжки зростання, проміжки спадання та критичні точки:

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		-4,5		-4		-4,5
Висновок	Функція спадає	min	Функція зростає	mах	Функція спадає	mіn	Функція зростає

В таблиці наведено також висновки про критичні точки (чи є вони точками максимуму чи точками мінімуму).

6) Оскільки D(f) = R, то немає кінців області визначення.

7) Будуємо графік функції використовуючи результати дослідження - малюнок 105.

Побудова графіка функцій (або його ескізу) допомагає при розв’язуванні деяких задач, пов’язаних із знаходженням коренів рівняння (їхньої кількості, найближчих значень тощо).

Приклад 2. 1) Дослідіть функцію f(х) = (х - 3 ) та побудуйте ескіз її графіка.

2) Скільки коренів має рівняння (х - 3) = а залежно від значення параметра а?

Розв’язання завдання 1.

1) D(f) = [0;+∞).

2) Функція ні парна, ні непарна, оскільки її область визначення не симетрична відносно нуля.

3) Точка перетину з віссю Оу: х = 0; у = 0. Точки перетину з віссю Ох: у = 0; (х – 3) = 0 ; х₁ = 3; х₂ = 0.

х = 1 - критична точка.

5) Складаємо таблицю:

X	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	не існує	-	+	+
f(x)	0		-2
Висновок	Точка належить графіку	Функція спадає	mіn	Функція зростає