06.05.2021   група №14, група №2 математика (факультатив)

Тема уроку: Графіки та основні властивості гіперболи

Використано матеріал за посиланням

https://miyklas.com.ua/p/algebra/8/ratcionalni-virazi-31777/funktciia-y-k-x-yiyi-vlastivosti-ta-grafik-13989/re-4ca2a087-26ba-4a07-a842-6d3899b9237e

Функція y=kx

Познайомимося з новою функцією: y=kx

 

Коефіцієнт k може приймати будь-які значення, крім k=0. Розглянемо спочатку випадок, коли k=1; отже, спочатку поговоримо про функцію y=1x.

 

Щоб побудувати графік функції y=1x, надамо незалежній змінній x декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою y=1x) відповідні значення залежної змінної y.

 

Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних. 

Перший етап

Якщо x=1, то y=1 (нагадаємо, що ми користуємося формулою y=1x);

 

якщо x=2, то y=12;

 

якщо x=4, то y=14;

 

якщо x=8, то y=18;

 

якщо x=12, то y=2;

 

якщо x=14, то y=4;

 

якщо x=18 , то y=8.

 

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

 

x	1	2	4	8	12	14	18
y	1	12	14	18	2	4	8

 

Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.

 

Другий етап

якщо x=−1, то y=−1;

 

якщо x=−2, то y=−12;

 

якщо x=−4, то y=−14;

 

якщо x=−8, то y=−18;

 

якщо x=−12, то y=−2;

 

якщо x=−14, то y=−4;

 

якщо x=−18, то y=−8.

 

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

 

x	−1	−2	−4	−8	−12	−14	−18
y	−1	−12	−14	−18	−2	−4	−8

 

Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.

 

 

Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.

 

 

Це і є графіком функції y=1x, який називається гіперболою.

Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.

 

Будь-яка пряма, що проходить через початок координат O та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки O, але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам (1;1) і (−1;−1), (2;12) і (−2;−12) тощо.

 

Отже, O — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.

 

По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин,  їх зазвичай називають гілками гіперболи.

 

По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.

 

Отже, графік функції y=1x, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь x та вісь y.

 

Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).

 

Зверни увагу!

Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.

Побудуємо пряму y=x.

 

 

Тепер дивимося: точки (2;12)та(12;2) розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.

 

Те саме можна сказати про точки (4;14) і (14;4),(8;18) і (18;8) тощо. 

 

Отже, пряма y=x — вісь симетрії гіперболи y=1x (так само, як і y=−x).

Ми розглянули функцію y=kx для випадку, коли k=1. Нехай тепер k — додатне число, відмінне від 1, наприклад k=2.

Розглянемо функцію y=2x та складемо таблицю значень цієї функції:

 

x	1	2	−1	−2	4	12	−4	−12
y	2	1	−2	−1	12	4	−12	−4

 

Побудуємо ці точки на координатній площині. Вони намічають деяку лінію, що складається з двох гілок. Проведемо її.

 

 

Як і графік функції y=1x, ця лінія називається гіперболою.

Тепер розглянемо випадок, коли k<0; нехай, наприклад, k=−1.

 

Побудуємо графік функції y=1x (тут k=−1).

 

Графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x.

 

Зокрема, це означає, що графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x. 

 

Отже, графік функції y=−1x симетричний графіку y=1x відносно осі абсцис.

 

У такий спосіб ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.

 

 

Взагалі, графіком функції y=kx, k≠0 є гіпербола, гілки якої розташовані в першому і третьому координатних кутах, якщо k>0, і в другому та четвертому координатних кутах, якщо k<0.

Точка (0;0) — центр симетрії гіперболи, осі координат — асимптоти гіперболи.

Зазвичай кажуть, що дві величини x і y обернено пропорційні, якщо вони пов'язані співвідношенням xy=k (де k — число, відмінне від 0) або, що те ж саме, y=kx.

З цієї причини функцію y=kx називають іноді оберненою пропорційністю (за аналогією з функцією y=kx, яку називають прямою пропорційністю).

 

Число k — коефіцієнт оберненої пропорційності.

Властивості функції y=kx, якщо k>0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

 

 

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім x=0.

 

2. y>0, якщо x>0; y<0, якщо x<0.

 

3. Функція спадає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).

 

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

 

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.

 

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів (−∞;0)∪(0;+∞).

Властивості функції y=kx, якщо k<0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

 

 

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім x=0.

 

2. y>0, якщо x<0; y<0, якщо x>0.

 

3. Функція зростає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).

 

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.

 

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів (−∞;0)∪(0;+∞).