18.10.2021         ГРУПА №7         ФАКУЛЬТАТИВ

Тема уроку:      Механічний зміст інтеграла

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=vI9shgOLeBY

2. Розв'яжіть задачі 

Задача1: Знайти площу області, обмеженої віссю Ох та кривою

у=х³-6х²+11х-6.

Розв’язання:
Знайдемо точки перетину заданої кривої з віссю Ох. Легко бачити, що одним з коренів рівняння у=х³-6х²+11х-6 є х₁=1. Два інші корені знайдемо так: поділивши ліву частину рівняння на х-1, використовуючи правило ділення многочленів, або схему Горнера, отримаємо х²-5х+6. Прирівнюючи цей вираз нулю:

х²-5х+6=0, маємо: х₂=2, х₃=3.

Побудуємо графік даної функції:



З графіка даної функції (див. рис.) видно, що на відрізку [2;3]область знаходиться під віссю Ох, тому

S=S₁ - S₂==.

Відповідь: .

Задача2: Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси m підняти з поверхні Землі вертикально вверх на висоту h, якщо радіус Землі дорівнює R.

Розв’язання:

За законом Ньютона сила F притягання тіла Землею дорівнює:

,

де М – маса Землі, ᵧ=6,67·10^-11 - гравітаційна сила, х – відстань від центра тіла до центра Землі.

Нехай стала ᵧmM=k, тоді F(x)=, . При x=R сила F(R)дорівнює вазі тіла P=mg, тобто , звідси .

За формулою , маємо:

.

Відповідь: .

3.  Розв'язати тести

Запитання 1

Для функції f(x)=sinx знайти первісну F(x), графік якої проходить через точку О(0;0)

варіанти відповідей

 

F(x)=cosx-1

 

 

F(x)=1-cosx

 

 

F(x)= cosx+1

 

 

F(x)=cosx

 

 

F(x)=sinx

Запитання 2

Відомо, що функція F(x) є первісною функції f(x), а функція G(x) є первісною функції g(x). Які з наведених тверджень є правильними?

І. Функція F(x)+G(x) є первісною функції f(x)+g(x).

ІІ. Функція F(x)*G(x) є первісною функції f(x)*g(x).

ІІІ. Функція F(x)/G(x) є первісною функції f(x)/g(x).

варіанти відповідей

 

Тільки І

 

 

Тільки ІІ

 

 

Тільки ІІІ

 

 

Тільки І і ІІ

 

 

Усі твердження

Запитання 3

Укажіть інтеграл, значення якого є додатним числом.

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 4

Укажіть інтеграл, значення якого є від'ємним числом.

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 5

Обчисліть площу S заштрихованої криволінійної трапеції (рис.26)

варіанти відповідей

 

S=-ln3

 

 

S=3ln3

 

 

S=3

 

 

S=-3ln3

 

 

S=ln3

Запитання 6

Обчисліть площу S заштрихованої криволінійної трапеції (рис.27)

варіанти відповідей

 

S=(a√3)/2

 

 

 

S=(√2)/2

 

 

S=1/2

 

 

S=π/4

 

 

S=1

Запитання 7

Обчисліть інтеграл

варіанти відповідей

 

1

 

 

33

 

 

-3

 

 

2π/3

 

 

1/3

 18.10.2021          ГРУПА №6         ФАКУЛЬТАТИВ

Тема уроку: Квадратні рівняння

1. Повторити теоретичний матеріал

Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax²+bx+c=0, де x - змінна, а a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .
Якщо коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним (неповне квадратне рівняння - pure quadratic). Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax²=0;
2) ax²=bx=0;
3) ax²+c=0.

Рівняння ax²=0 має один корінь x=0.
Рівняння виду ax²=bx=0 рівносильне рівнянню x(ax+b)=0 і завжди має два корені: x=0 i x=-b/a.
Квадратне рівняння виду ax²+c=0 рівносильне рівнянню x²=-c/a.

Якщо -c/a>0, воно має два розв'язки

, якщо -c/a<0 - рівняння не має жодного розв'язку.

Приклад 1
Знайти корені рівняння 2x²-18=0.
Розв'язання
2x²-18=0;
2x²=18;
x²=9;

x12=±

x₁=3, x₂=-3;
Відповідь: x₁=3, x₂=-3.

Дискримінантом (дискримінант - discriminant) рівняння ax²+bx+c=0 називають вираз D=b²-4ac.
Якщо D>0 рівняння ax²+bx+c=0 має два розв'язки, які знаходяться за формулами

Якщо D=0 рівняння ax²+bx+c=0 має один розв'язок, який знаходиться за формулою

Якщо D<0 рівняння ax²+bx+c=0 не має жодного розв'язку.

Приклад 2
Знайти корені рівняння x²+4x-21=0.
Розв'язання
D=4²-4·1·(-21)=16+84=100>0.

x₁=3, x₂=-7.
Відповідь: x₁=3, x₂=-7.

Квадратне рівняння називають зведеним (зведене квадратне рів-няння - reduced quadratic), якщо коефіцієнт a дорівнює одиниці: x²+px+q=0.

Якщо зведене квадратне рівняння x²+px+q=0 має два корені, то їх сума дорівнює коефіцієнту p рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену q:
x₁+x₂=-p;
x₁x₂=q,
де x₁,x₂ - розв'язки рівняння x²+px+q=0.

2. Виконати вправи

1. Розв'язати рівняння:

2. Розв'язати рівняння введенням нової змінної:

3. Скласти рівняння за заданими коренями:

4. Розкласти на множники такі тричлени:
а) x²-4x+3;
б) a²-29a+198;
в) 5y²-2by-35b².

5. Скоротити дроби:

6. Розв'язати рівняння:

7. Розкласти на множники многочлени:
а) x⁴-5x²+4;
б) x⁴-8x²+7;
в) x⁴-(1+ab)x²+ab.

8. Знайти два числа, сума яких дорівнює 61, а добуток 900.

9. Добуток двох послідовних цілих чисел більший від їх суми на 239. Знайти ці числа.

10. Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел більший від суми їх квадратів на 264. Знайти ці числа.

11. Знайти три послідовні цілі числа, сума квадратів яких дорівнює 434.

 18.10.2021 р.       ГРУПА №4          ГЕОМЕТРІЯ

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань з теми                 " Паралельність прямих і площин у просторі"

1. Повторити теоретичний матеріал

1. Які основні поняття стереометрії ви знаєте? Чому ці поняття називають основними? Наведіть приклад якого-небудь твердження, де використовуються основні поняття стереометрії. Укажіть вид цього твердження (означення, аксіома, теорема).

2. Чи є справедливими в стереометрії аксіоми планіметрії? Які аксіоми стереометрії та наслідки з них ви знаєте?

3. Які випадки взаємного розміщення прямих у просторі ви знаєте?

4. Як називають прямі, що:

1) лежать в одній площині і не перетинаються;

2) не лежать в одній площині?

5. Які випадки взаємного розміщення прямої і площини ви знаєте? Визначте розміщення прямої відносно площини, якщо пряма:

1) не має з площиною спільних точок;

2) має одну спільну точку з площиною;

3) має дві спільні точки з площиною;

4) паралельна якій-небудь прямій цієї площини.

6. Які випадки взаємного розміщення площин ви знаєте? Визначте розміщення двох площин, якщо:

1) вони не мають спільних точок;

2) мають одну спільну точку.

2. Розв'язати в зошиті задачі

1) Точка A лежить поза площиною трикутника BDF. Точки N, M, C i K — середини відрізків BD, DF, FA і AB відповідно. Обчисліть периметр чотирикутника NMCK, якщо BF = 24 см, AD = 18 см.

2) Площина α перетинає відрізки OA і OB у точках K і M так, що пряма AB паралельна площині α.

а) Визначте взаємне розміщення прямих KM і AB.

б) Обчисліть довжину відрізка AB, якщо OK:KA = 2:3, а KM = 7 см.

3) Пряма l перетинає площину трикутника ABC у точці B. Назвіть пряму, що мимобіжна з l і містить сторону трикутника.

А. AB. Б. AC. В. BC. Г. Такої прямої не існує.

4) Скільки прямих, паралельних поданій, можна провести через точку простору, що не належить поданій прямій?

А. Одну. Б. Дві. В. Жодної. Г. Безліч.

5) Сторона AC трикутника ABC лежить у площині α. Через середину BA — точку M, проведено площину β, паралельну площині α, що перетинає BC у точці K. Знайдіть MK, якщо AC = 10 см.

6) ABCD — паралелограм. Площина α проходить через його вершини A, B і не проходить через вершину C. Доведіть, що CD || α.

 07.05.2021       група №14              математика (факультатив)

Тема уроку: Графіки та основні властивості квадратного кореня з х. Розв'язування задач.

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=LO6L0jK9128

2. Виконайте контрольну роботу в зошитах

1.   Знайдіть значення виразу: а) ; б) ; в) .

2.   Обчисліть значення виразу, використавши властивості АКК: а) ; б) ; в) .

3.   Розв'яжіть рівняння: а) ; б) х2 = 5; в) х2 = -3; г) ; д) ; є) (2х – 3)2 = 9.

4.   Графічно розв'яжіть рівняння: а) х2 = 2х – 1; б) ; в) х2 = 5.

5.   Спростіть вираз: а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Виконайте тестові завдання:

Функція , її графік та властивості

1.   Функцію задано формулою . При якому значенні аргументу значення функції дорівнює 4?

А	Б	В	Г
2	-2	16	-16

2.   Укажіть неправильне твердження.

А. Область визначення функції  — множина невід'ємних чисел.

Б. Графіком функції  є вітка параболи.

В. Точка (16; 4) належить графіку функції .

Г. Пряма у = -3 перетинає графік функції .

3.   Графік функції перетинає пряму у = 9. Знайдіть координати точки перетину.

А	Б	В	Г
(9; 81)	(81; 9)	(3; 9)	(9; 3)

4.   Визначте рівняння, розв'язання якого зображено на рисунку

А	Б	В	Г

 07.05.2021       група №14                 Геометрія

Тема уроку:      Перпендикулярність прямої і площини                                           (повторення)

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=BDcb0-_mfI0

2. Виконайте тести в зошиті

Запитання 1

На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. До площини грані АВВ1А1 перпендикулярна пряма...

варіанти відповідей

 

AD1

 

 

AC

 

 

AC1

 

 

AD

Запитання 2

Cкільки прямих проходить через дану точку простору перпендикулярно до даної площини?

варіанти відповідей

 

безліч

 

 

жодної

 

 

одна

 

 

відповідь залежить від розміщення точки

Запитання 3

Яким є розміщення прямої а і площини α, якщо пряма перпендикулярна до двох діаметрів круга, що лежить у площині α?

варіанти відповідей

 

а⊂ α

 

 

а⊥ α

 

 

а∥ α

 

 

Відповідь відрізняється від наведених вище.

Запитання 4

Якщо тільки одна з двох прямих перпендикулярна до площини, то прямі...

варіанти відповідей

 

мимобіжні

 

 

перетинаються

 

 

не паралельні

 

 

можуть розміщуватися як завгодно

Запитання 5

Нехай l- довжина відрізка,l1 - довжина його ортогональної проекції на паралельну площину. Порівняйте l1 та l.

варіанти відповідей

 

l1<l

 

 

l<l1

 

 

l1=l

 

 

Порівняти неможливо

Запитання 6

З деякої точки простору до даної площини проведено перпендикуляр завдовжки 6 см і похилу 9 см. Довжина проекції перпендикуляра на похилу дорівнює...

варіанти відповідей

 

2√5 см

 

 

3√5 см

 

 

5 см

 

 

4 см

Запитання 7

Якщо існує точка простору, яка рівновіддалена від усіх сторін паралелограма, то цей паралелограм є...

варіанти відповідей

 

ромбом

 

 

прямокутником

 

 

квадратом

 

 

довільним

Запитання 8

Відстань від ребра ВС (ВС=а) куба ABCDA1B1C1D1 до перерізу, що проходить через вершини A, C1 , D дорівнює

варіанти відповідей

 

√2а

 

 

а

 

 

(√2а)/2

 

 

(√3а)/2

 06.05.2021          група №2     Геометрія

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ з теми   "Перпендикулярність прямих і площин у просторі"

1. Передивіться відеоматеріали за посиланням:

 https://www.youtube.com/watch?v=Bc2UWynFem8

2. Виконайте самостійну роботу в зошитах

 1. Яке з наведених тверджень неправильне (a, b, m, n — прямі,

 α — площина)?

A. Якщо m ⊥ n, a||m і b||n, то a ⊥ b.

Б. Якщо m, n лежать у площині α і перетинаються, a ⊥ m і a ⊥ n, то a ⊥ α.

B. Якщо a||b і a ⊥ α, то b||α.

Г. Якщо a ⊥ α і b ⊥ α, то a||b.

2. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих перпендикулярна до площини ACC₁?

A. DD₁.

Б. B₁D₁.

B. BD₁.

Г. DC.

                                          

3. Із точки A проведено перпендикуляр AD до площини трикутника ABC. Визначте вид трикутника ABC, якщо ∠A = 60° і BD = CD.

A. Прямокутний.

Б. Рівнобедрений.

B. Різносторонній.

Г. Рівносторонній.

4. У прямокутному трикутнику ABC відрізок AB є гіпотенузою. MA — перпендикуляр до площини трикутника. Яке з наведених тверджень неправильне?

A. MA ⊥ AB.

Б. MA ⊥ AC.

B. MB ⊥ BC.

Г. MC ⊥ BC.

5. Через точку O перетину діагоналей квадрата ABCD до площини квадрата проведено перпендикуляр SO завдовжки 5√2 см. Знайдіть кут між прямою AS і площиною квадрата, якщо AB = 10 см.

A. 30°.

Б. 45°.

B. 60°.

Г. 90°.

6. На рисунку SM і CM — висоти трикутників SAB і CAB. Знайдіть кут між площинами SAB і CAB, якщо SM= MC = SC.

A. 60°.

Б. 30 °.

B. 90°.

Г. 45°.

7. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Установіть відповідність між твердженням (1-4) і прямою (А-Д), для якої виконується це твердження.

1. Перпендикулярна до прямої AD            А             A₁D

2. Утворює з прямою AB₁ кут 60°               Б             AB₁

3. Перпендикулярна до площини ABC       В            CC₁

4. Утворює з площиною ABC кут 45°           Г            AD

                                                                        Д            DC

8. PA — перпендикуляр до площини трикутника ABC, PC ⊥ BC.

1) Визначте вид трикутника ABC.

2) Знайдіть відстань від точки P до площини трикутника, якщо AB = 13 см, BC = 5 см, а пряма PC утворює з площиною трикутника кут 30°.

Наведіть повне розв'язання задач 9 і 10.

9. Кінці відрізка завдовжки 12 см належать двом перпендикулярним площинам. Знайдіть відстані від кінців відрізка до кожної з площин, якщо цей відрізок утворює з площинами кути 45° і 60°.

10. Доведіть, що якщо пряма BP перпендикулярна до площини трикутника ABC, у якому ∠C = 90°, то площини PAC і PBC перпендикулярні.