група № 6                         геометрія     (повторення 3 уроки)

09.03.2022 Тема уроку:  Коло, круг та його елементи

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=0cekopnZdH0

2. Законспектуйте та виконайте вправи

Коло і круг

Геометричним місцем точок називають фігуру, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.

Колам називають геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, яка називається центрам кола (рис. 1).

Рис. 1

Відстань від точки кола до його центра називається радіусам.

Радіусом називають також будь-який відрізок, що з’єднує точку кола з його центром. На рис. 2 ОА, ОВ, ОС — радіуси кола

Рис. 2

Відрізок, який з’єднує дві точки кола, називається хордою.

Хорда що проходить через центр кола, називається діаметром кола.

На рис. 2 DF, ВС — хорди, ВС — діаметр.

Рівні хорди кола рівновіддалені від центра. Дві хорди кола які рівновіддалені від центра, мають однакову довжину.

Якщо АВ = CD (рис. 3), то ON = ОМ, і навпаки, якщо ОМ = ON, то АВ = CD. Діаметр кола, який проходить через середину хорда, відмінної від діаметра, перпендикулярний до неї.

Рис. 3

Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, проходить через її середину.

Якщо AM = МВ (рис. 4), то CD ⊥ АВ. і навпаки, якщо CD ⊥ АВ, то AM = MB.

Круг — це геометричне місце точок площини, відстань яких від даної точки, що називається центром, не перевищує даної відстані, яка називається радіусом (інакше кажучи, кругом називається скінченна частина площини, обмежена колом).

На рис. 5 О — центр круга, ОА — радіус крута.

Рис. 4

Рис. 5

Дотична до кола та її властивості

Пряму, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного до даної точки, називають дотичною до кола. При цьому дану точку кола називають точкою дотику.

Дотична до кола має з колом тільки одну спільну точку — точку дотику.

Нарис. 6 пряма АВ—дотична до кола, бо АВ ⊥ ОМ. М—точка дотику.

Дотичними колами називають два кола які мають лише одну спільну точку (у цій точці вони мають спільну дотичну). Дотик кіл називається внутрішнім дотиком, якщо центри кіл лежать по один бік від їх спільної дотичної (рис. 7).

Дотик кіл називається зовнішнім дотиком, якщо центри кіл лежать по різні боки від їх спільної дотичної (рис. 8).

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

1. З однієї точки кола проведено дві взаємно перпендикулярні хорди, які віддалені від центра на 3 см і 5 см відповідно. Знайдіть довжину більшої хорди.

2. Скільки всього кіл можна провести через дві різні точки?

3. Як розміщені кола з діаметрами 10 см і 6 см, якщо відстань між їх центрами дорівнює 8 см?

4. Дано три кола з центрами О₁, О₂, О₃ і радіусами відповідно 1 см, 3 см, 5 см, які мають зовнішній дотик. Знайдіть периметр трикутника О₁О₂О₃ (у см).

5. Радіус кола дорівнює R. Із точки, яка віддалена від центра кола на відстань 2R, проведено дотичні до кола. Знайдіть кут між дотичними (у градусах).

15.03.2022 Тема уроку: Прямі та площини у просторі

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=DxlZf1gyhh0

2. Законспектуйте в зошит

Площина

Уявлення про площину дають нам, наприклад, поверхня столу, віконного скла, спокійного озера Площина, як і пряма, нескінченна. Площина не має «країв», вона є необмеженою фігурою.

На рисунках площину зображають у вигляді паралелограма (рис. 1) або v вигляді довільної області (рис. 2).

Площини позначають малими грецькими буквами: а, , у...

Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості фігур у просторі, називається стереометрією.

Основними фігу рами у просторі є точки, прямі та площини.

Рис. 1

Рис. 2

Аксіоми стереометрії

1. Якою б не була площина, існують точки, що їй належать, й існують точки, які не належать їй.

На рис. З точка А лежить у площині а (або належить площині а), а точка В знаходиться поза площиною а (або не належить площині а). Коротко це записується так: А ∈ а, В  а.

2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку (рис. 4).

Якщо дві різні площини мають спільні точки, то кажуть, що вони перетинаються.

3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 5).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Наслідки і аксіом стереометрії

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через дану пряму і дану точку

Через пряму і точку поза нею можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 6).

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через три точки

Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 7).

Якщо точки А, В, С не лежать на одній прямій, то площину, яка містить ці точки, позначають так: (ABC).

Теорема про належність прямої площині

Якщо дві точки прямої належать площині, то й уся пряма міститься в цій площині (рис. 8).

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Із цієї теореми випливає, що пряма а може лежати в площині, а може і не належати площині а. Якщо пряма і площина мають лише одну спільну точку, то кажуть, що вони перетинаються (рис. 9).

Рис. 9

Паралельність прямої і площини

Дві прямі у просторі називають паралельними. якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються. На рис. 10 а та b паралельні. Паралельність прямих а та b позначається так: а||b.

Рис. 10

Теорема про існування єдиної прямої, паралельної даній прямій  Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій, до того ж тільки одну.

Отака паралельності прямих

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні, якщо а || b, а || с, то b || с.

Дві прямі мали Всіють мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині. На рис. 11 прямі а і b мимобіжні.

Рис. 11

Отака мимобіжності прямих

Якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. На рис. 12 пряма а та площина а паралельні. Паралельність прямої а та площини а позначається так: а||а.

Рис. 12

Ознака паралельності прямої та площини

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Якщо а || b, b  а, то а||а (рис. 12).

Паралельні площини і площини, що перетинаються

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

На рис. 13 площини а та р паралельні. Паралельність площин а і  позначається так: а || .

Рис. 13

Ознака паралельності площин

Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні. Якщо a || a₁, b || b₁ a  b, a  a, b  a, a1  , b₁ , TO a ||  (рис. 13).

Рис.14

Існування єдиної площини, паралельної даній площині Через точку, яка не належить даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Властивості паралельних площин

1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні. На рис. 14 а||, у перегинає а по  прямій а, у перегинає р но прямій b, тоді а || b.

2. Відрізки паралельних прямих, які розташовані між паралельними площинами, рівні. На рис. 15. a||p. AB||CD, А ∈ а, С ∈ а, В ∈  D ∈ . отже, АВ = CD.

Рис. 15

3. Виконайте вправи

1. Точки К, L, М, N — відповідно середини ребер SA, АС, ВС, BS правильного тетраедра SABC. Знайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо ребро тетраедра дорівнює 10 см.

2. Задано дві мимобіжні прямі а і b. Скільки існує різних площин, що проходять через пряму а і є паралельними прямій b?

3. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають, площину а в точках М і N відповідно. Знайдіть, довжину відрізка CN, якщо АС: ВС = m : n, ВМ = а.

3. Через кінці відрізка А В і внутрішню його точку С проведено паралельні прямі, що перетинають площину а в точках A₁, B₁, С₁ (див. рисунок). Знайдіть АА₁ (у см), якщо ВВ1 = 10 см, СС₁ = 12 см, АС : ВС = 3 : 2.

4. Дано паралелограм ABCD і площина, що його не перетинає. Через точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перегинають площину в точках А₁, В₁, С₁, D₁. Знайдіть DD₁ (у см), якщо АА₁ = 12 смб ВВ₁ = 10 см, СС₁ = 3 см.

Дано паралелограм ABCD і площина, що його не перетинає. Через точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перегинають площину в точках А₁, В₁, С₁, D₁. Знайдіть DD₁ (у см), якщо АА₁ = 12 смб ВВ₁ = 10 см, СС₁ = 3 см.

Рис. 2

Рис. 3

Властивості перпендикулярних прямої та площини

1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то ці прямі паралельні. Якщо a ⊥ a та b ⊥ a, то а || b (рис. 4).

2. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо a ⊥ a та а || b, то b ⊥ а (рис. 4).

3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо а || , та a ⊥ a, то a ⊥  (рис. 5).

4. Якщо дві різні площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то ці площини паралельні. Якщо a ⊥ а, та а ⊥ , то a ||  (рис. 5). Перпендикулярам, проведеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка який лежить у площині, називається основою похилої.

Відрізок, який з’єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину.

На рис. 6 АВ — перпендикуляр до площини а, АС — похила до площини а, ВС — проекція похилої АС на площину а, В — основа перпендикуляра С — основа похилої.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Якщо з даної точки проведено перпендикуляр та похилу, то перпендикуляр коротший за похилу.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до самої проекції на цю площину.

На рис. 7 зображено: АО — перпендикуляр, АВ — похила, ОВ — проекція похилої, с — пряма площини. Якщо ОВ ⊥ с, то А В ⊥ с, і навпаки: якщо с ⊥ AB, то ОВ ⊥ C. Зазначимо, що пряма с на рис. 7 може і не перетинатися з похилою АВ.

Рис. 7

Двогранні кути. Лінійний кут двогранного куга. Перпендикулярність двох площин. Кут між площинами

Двогранні кути

Двогранним кутом називається фігура яка утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що обмежує їх (рис. 8).

Півплощини називаються гранями двогранного кута, а пряма що обмежує півплощини, — ребрам двогранного кута.

На рис. 8 а і  — грані, а — ребро двогранного кута.

Рис. 8

Лінійний кут двогранного кута

Лінійним кутам двогранного кута називається кут між променями, по яких площина яка перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає грані. На рис. 9 у ⊥ с,  — лінійний кут двогранного кута.

Щоб побудувати лінійний кут двогранного кута, можна:

1) узяти точку на ребрі двогранного кута і побудувати промені, які виходять із цієї точки, лежать на гранях двогранного кута і перпендикулярні до ребра. Кут між побудованими променями і буде лінійним кутом двогранного кута. На рис. 10 ∠BAC — лінійний кут;

2) узяти точку в одній із граней двогранного кута, опустити з неї перпендикуляр до другої грані та провести перпендикуляр до ребра двогранного кута Кут між перпендикуляром до ребра і проекцією цього перпендикуляра на другу грань й буде лінійним кутом двогранного кута. На рис. 11 ∠BAO— лінійний кут.

Рис. 9

Рис. 10

Перпендикулярність двох площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина яка перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 12 а ⊥ , бо у ⊥ с, а ⊥ b.

Ознака перпендикулярності площин

Якщо площина проходить через пряму, яка перпендикулярна до другої площини, то ці площини перпендикулярні. Якщо b ⊥ а і  проходить через b, то  ⊥ а (рис. 13).

Властивості перпендикулярних площин

1. Будь-яка площина, перпендикулярна до лінії перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Якщо a ⊥ , у ⊥ с, то а ⊥ b (рис. 12).

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини. Якщо  ⊥ а, b ⊥ а, то b ⊥ а (див. рис. 13).

Кут між площинами

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю. Кутам між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими перетину даних площин із площиною, яка перпендикулярна до лінії перегину даних площин.

Якщо у ⊥ с, то  — кут між площинами, 0°    90° (рис. 14).

Рис. 14

Відстані y просторі

Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

АО ⊥ а, АО — відстань від точки А до площини а (див. рис. 15).

Якщо точка лежить на площині, то відстань від точки до площини дорівнює нулю.

Відстань від точки до прямої— довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму.

АО — відстань від точки А до прямої а (див. рис. 16).

Якщо точка лежить на прямій, відстань від точки до прямої дорівнює нулю.

Відстань між паралельними прямими — відстань від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих прямих і кінці якого лежать на цих прямих).

АВ — відстань між прямими а і b (див. рис. 17).

Відстань між паралельною прямою і площиною — відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини. Ця відстань  дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямої і площини, один кінець якого належить прямій, а інший — площині).

АО — відстань від прямої а до площини а (див. рис. 18).

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Відстань між паралельними площинами — відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих площин, кінці якого лежать у цих площинах).

АВ — відстань між площинами а і  (див. рис. 19).

Відстань між мимобіжними прямими — довжина їх спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямих, кінці якого лежать на цих прямих). Ця відстань дорівнює відстані між паралельними площинами, які містять ці прямі, або дорівнює відстані від будь-якої точки однієї прямої до площини, що проходить через другу пряму і паралельна першій.

АВ — відстань між прямими а і b (див. рис. 20).

Рис. 19

Рис. 20

1. Дві площини перетинаються під кутом 30°. Точка А. яка лежить в одній площині, знаходиться від другої площині на відстані а. Знайдіть відстань від точки А до прямої перегину цих площин.

2. Двогранний кут дорівнює 60°. Задано точку на одній із граней кута. Відстань від цієї точки до другої грані кута становить 4 см. Знайдіть відстань від заданої точки до ребра двогранного кута.

3. Із точки А до площини а проведені дві похилі АК та AN, які утворюють із площиною а кути 45° та 60° відповідно. Знайдіть довжини похилих, якщо відстань від точки А до площини а дорівнює .

16.03.2022                   Тема уроку: Многогранники

1.Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=UlcYfFIXTQQ