математика МПТУ

група № 6 алгебра (повторення 3 уроки)

11.03.2022 Тема уроку: Текстові задачі

1.Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=047VOZuDZxs

2.Законспектуйте в зошит

Виконуючи розв'язання задачі, потрібно провести аналіз тексту завдання і
послідовно відповісти на питання:

1. Які величини треба знати?
2. Яка з величин відома, а яка ні?
3. Що потрібно знати, щоб знайти цю величину?
4. Як це дізнатися, виходячи з умови задачі?

Приклад:

Два велосипедиста виїхали одночасно назустріч один одному з однаковою швидкістю.
Через який час вони зустрінуться, якщо відстань між ними —

72 км, а швидкість —

12 км/год?

Розв'язок:

1. Яка швидкість зближення велосипедистів?

12 +

12 =

24 (км/год).

2. Через який час велосипедисти зустрінуться?

72 :

24 =

3 (год).

Відповідь: велосипедисти зустрінуться через

3 години.

Приклад:

У перший день продали

25 кг яблук, у другий —

40 кг, а в третій день продали

55 кг яблук.

Скільки всього яблук продали за три дні?

Розв'язок:

25 +

40 +

55 =

120 (кг)

Відповідь: усього яблук продали за три дні

120 кг.

Приклад:

В одному шматку

150 м дроту, а в іншому на

35 м менше.

Скільки метрів дроту в двох шматках разом?

Розв'язок:

1. Скільки метрів дроту в другому шматку?

150 -

35 =

115 (м)

2. Скільки метрів дроту в двох шматках разом?

150 +

115 =

265 (м)

Відповідь: дроту в двох шматках разом

265 м.

Приклад:

Двадцять ящиків важать

3 т.

Скільки кілограмів важить один ящик?

Розв'язок:

3 т :

20 =

3000 кг :

20 =

150 кг

Відповідь: один ящик важить

150 кг.

Приклад:

У перший день бригада зібрала

700 кг картоплі, а в другий день у

2 рази більше, ніж у перший.
На скільки кілограмів картоплі зібрала бригада більше у другий день?

Розв'язок:

1. Скільки кілограмів картоплі зібрала бригада у другий день?

700⋅2=1400 (кг)

2. На скільки кілограмів картоплі зібрала бригада більше у другий день?

1400 -

700 =

700 (кг)

Відповідь: на

700 кг картоплі зібрала бригада більше у другий день.

Приклад:

На першій полиці стояло в

3 рази більше книг, ніж на другій.

На двох полицях разом стояло

120 книг.

Скільки книг стояло на кожній полиці?

Розв'язок:

1. Скільки частин припадає на всі книги?

1 +

3 =

4 (частини)

2. Скільки книжок припадає на одну частину?

120 :

4 =

30 (книг) — число книг на другій полиці.

3. Скільки книг стояло на першій полиці?

30⋅3=90 (книг)

Відповідь:

90 книг стояло на першій полиці,

30 книг стояло на другій полиці.

15.03.2022 Тема уроку: Похідна та її застосування

1.Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=km2NyxvKHX8

2. Законспектуйте в зошит

Достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку

Відомо, що функцію y = f(х) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, з умови х₂ > x₁ випливає, що f(х₂) > f(х₁).

Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції (див. рис. 1), утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична є паралельною осі ОХ).

Виходячи з геометричного змісту похідної, tg а = f'(x₀). Це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(х) виконується умова

f'(x) ≥ 0.

Рис. 1

Функцію y = f(х) називають спадною на проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать цьому проміжку, з умови х₂ > х₁ випливає, що f(х₂) < f(х₁). Дотична в кожній точці графіка спадної функції (рис. 2) утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорівнює нулю, тому для функції f(х), яка спадає на деякому проміжку, виконується умова f'(х) ≤0.

На рис. 3 видно також, що одна й та сама функція може на одному проміжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер поведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її похідної.

Отже, наочне уявлення дозволяє- сформулювати властивості зростаючих та спадних функцій.

Якщо функція у = f(х) диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку невід’ємна.

Якщо функція у = f(х) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку недодатна.

Проте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження. які виражають ознаки зростання і спадання функції на проміжку. Нехай значення похідної функції у = f(х) додатні на деякому проміжку, тобто f'(х) > 0. Оскільки f'(x) = tg а, то з умови tg а > 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напрямом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 4).

Якщо f'(x) < 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg а = f'(х) до графіка функції у = f(х) від’ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ тупий кут і графік функції на даному проміжку «опускається», тобто функція f(х) спадає (рис. 5).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

Якщо f'(х) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

Ці два твердження називають ознаками зростання (спадання) функції на проміжку.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції.

Поняття екстремуму функції

При дослідженні поведінки функції в деякій точці зручно користуватися поняттям околу. Окопам точки а називають будь-який інтервал, що містить цю точку.

Наприклад: інтервали (2; 5), (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) — околи точки 3.

Розглянемо графік функції, зображений на рис. 6. Як видно з рисунка, існує такий окіл точки х = а, що найбільше значення функція у = f(x) у цьому околі набуває в точці х = а. Точку х = а називають точкою максимуму цієї функції.

Аналогічно точку х = b називають точкою мінімуму функції у = f(x), оскільки значення функції в цій точці найменше порівняно зі значеннями функції в деякому околі точки b.

Означення. Точка а з області визначення функції f(х) називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки а, що для всіх х ≠ а із цього околу виконується нерівність f(х) < f(a) (рис. 7).

Означення. Точка b із області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки b, що для всіх х ≠ b із цього околу виконується нерівність f(x) > f(b) (рис. 8).

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму функції, а значення функції в цих точках — екстремумами функції (максиму i мінімум функції).

Точки максимуму позначають х_max, а точки мінімуму — х_min. Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначають відповідно уmax і уmin.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Необхідна умови екстремуму

Розглянемо функцію у = f(х), яка визначена в деякому околі точки х₀ і має похідну в цій точці.

Якщо х₀ — точка екстремуму диференційованої функції у = f(х), то f'(x) = 0.

Це твердження називають теоремою Ферма на честь французького математика П’єра Ферма (1601—1665).

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f'(x₀) дорівнює нулю (рис. 9).

Рис. 9

Наприклад: функція f(х) = х² - 2 має в точці х₀ = 0 мінімум (рис. 10), її похідна f'(0) = 0.

Функція f(х) = 1 - х² (рис. 11) має максимум у точці , x₀ = 0, f'(х) = -2х і f'(0) = 0.

Слід зазначити, що якщо f'(х₀)= 0, то х₀ необов’язково є точкою екстремума.

Наприклад, якщо f(х) =х³, то f'(х) = Зх² і f'(0) = 0. Проте точка х = 0 не є точкою екстремуму, оскільки функція f(х) =х³ зростає на всій числовій осі (рис. 12).

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рівняння f'(х) = 0, але не завжди корінь рівняння f'(х) = 0 є точкою екстремуму.

Внутрішні точки області визначення функції y = f(х), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними. Отже, для того щоб точка х₀ була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною.

Сформулюємо достатні умови для того, щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч—від’ємна, тобто при переході через цю точку похідна змінює знак із «+» на «-», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму (рис. 13).

Дійсно, у цьому разі ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точкою

максимуму.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від’ємна, а праворуч —додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак із «-» на «+», то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму (рис. 14).

Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знака, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від’ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.

Найбільше і найменше значений функції на проміжку

Розглянемо рис. 15 і 16, на яких зображено графіки функцій у = f (х) і у = g (х), заданих на відрізку [а; b].

Рис. 15

Рис.16

Функція у = f(х) зростає, а функція у = g (x) спадає. На відрізку [а; b] найменше значення функції у = f(x) дорівнює f (а), а найменше значення функції y = g(x) дорівнює g (b). Відповідно найбільші значення цих функцій наданому відрізку дорівнюють f(b) тa g (а). Отже, якщо функція неперервна і зростає (спадає) на деякому відрізку, то найбільшого і найменшого значень функція набуває на кінцях цього відрізка.

Розглянемо рис. 17, на якому зображено графіки трьох функцій. Аналіз цих графіків свідчить, що найбільше і найменше значення функцій неперервних і диференційованих на проміжку [а; b] досягаються цими функціями, або на кінцях відрізка, або в стаціонарних точках.

Отже, неперервна і диференційована функція па заданому відрізку набуває найбільшого і найменшого значень у стаціонарних точках або на кінцях відрізка

Рис. 17

3. Виконайте вправи

1. Знайдіть проміжки спадання функції f(х) = х³ - 3х².

2. Знайдіть максимум функції, графік якої зображено на рисунку.

3. Знайдіть найбільше значення функції f(x)=x + e^-х на відрізку [-1; 2].

4. Знайдіть найбільше значення функції а(x) = на відрізку [-2; 0].

5.Знайдіть проміжки зростання функції у = х² - 6х + 9.

18.03.2022 Тема уроку: Інтеграл та його застосування

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=4YehcNQQdcE

2. Законспектуйте в зошит

Геометричний зміст ви значеного інтеграла

Площам криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку (а; b] функції f(х), віссю Ох та прямими х = а, х = b) обчислюється за формулою S = (рис. 1).

Рис. 1

Фізичний зміст визначеного інтеграла

Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює

де v (t) — швидкість руху (рис. 2).

Рис. 2

Площа фігури

Якщо на заданому проміжку [а; b] неперервні функції у = f(х) і у = g (x) мають властивість f(x) ≥ g(x) для всіх х є [а; b], то S = - g(x))dx (рис. 3)

Рис. 3

Обчислення площ

Приклад 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х² і у = -х + 2. Розв’язання

Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти (див. рис. 8). Для знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:

x² = -х + 2; x² + х - 2 = 0; х = -2 або х = 1.

Тоді S = — x²)dx = = - - + 2 — ( — 2 - 4) = - + 1,5 + 6 = 7,5 — 3 = 4,5.

Відповідь: 4,5.

Рис 8

Об’єм тіла обертання

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [а; b] функції y = f(x) та прямими х = а і х = b (рис. 9), дорівнює

V = .