07.05.2021       група №14              математика (факультатив)

Тема уроку: Графіки та основні властивості квадратного кореня з х. Розв'язування задач.

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=LO6L0jK9128

2. Виконайте контрольну роботу в зошитах

1.   Знайдіть значення виразу: а) ; б) ; в) .

2.   Обчисліть значення виразу, використавши властивості АКК: а) ; б) ; в) .

3.   Розв'яжіть рівняння: а) ; б) х2 = 5; в) х2 = -3; г) ; д) ; є) (2х – 3)2 = 9.

4.   Графічно розв'яжіть рівняння: а) х2 = 2х – 1; б) ; в) х2 = 5.

5.   Спростіть вираз: а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Виконайте тестові завдання:

Функція , її графік та властивості

1.   Функцію задано формулою . При якому значенні аргументу значення функції дорівнює 4?

А	Б	В	Г
2	-2	16	-16

2.   Укажіть неправильне твердження.

А. Область визначення функції  — множина невід'ємних чисел.

Б. Графіком функції  є вітка параболи.

В. Точка (16; 4) належить графіку функції .

Г. Пряма у = -3 перетинає графік функції .

3.   Графік функції перетинає пряму у = 9. Знайдіть координати точки перетину.

А	Б	В	Г
(9; 81)	(81; 9)	(3; 9)	(9; 3)

4.   Визначте рівняння, розв'язання якого зображено на рисунку

А	Б	В	Г

 07.05.2021       група №14                 Геометрія

Тема уроку:      Перпендикулярність прямої і площини                                           (повторення)

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=BDcb0-_mfI0

2. Виконайте тести в зошиті

Запитання 1

На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. До площини грані АВВ1А1 перпендикулярна пряма...

варіанти відповідей

 

AD1

 

 

AC

 

 

AC1

 

 

AD

Запитання 2

Cкільки прямих проходить через дану точку простору перпендикулярно до даної площини?

варіанти відповідей

 

безліч

 

 

жодної

 

 

одна

 

 

відповідь залежить від розміщення точки

Запитання 3

Яким є розміщення прямої а і площини α, якщо пряма перпендикулярна до двох діаметрів круга, що лежить у площині α?

варіанти відповідей

 

а⊂ α

 

 

а⊥ α

 

 

а∥ α

 

 

Відповідь відрізняється від наведених вище.

Запитання 4

Якщо тільки одна з двох прямих перпендикулярна до площини, то прямі...

варіанти відповідей

 

мимобіжні

 

 

перетинаються

 

 

не паралельні

 

 

можуть розміщуватися як завгодно

Запитання 5

Нехай l- довжина відрізка,l1 - довжина його ортогональної проекції на паралельну площину. Порівняйте l1 та l.

варіанти відповідей

 

l1<l

 

 

l<l1

 

 

l1=l

 

 

Порівняти неможливо

Запитання 6

З деякої точки простору до даної площини проведено перпендикуляр завдовжки 6 см і похилу 9 см. Довжина проекції перпендикуляра на похилу дорівнює...

варіанти відповідей

 

2√5 см

 

 

3√5 см

 

 

5 см

 

 

4 см

Запитання 7

Якщо існує точка простору, яка рівновіддалена від усіх сторін паралелограма, то цей паралелограм є...

варіанти відповідей

 

ромбом

 

 

прямокутником

 

 

квадратом

 

 

довільним

Запитання 8

Відстань від ребра ВС (ВС=а) куба ABCDA1B1C1D1 до перерізу, що проходить через вершини A, C1 , D дорівнює

варіанти відповідей

 

√2а

 

 

а

 

 

(√2а)/2

 

 

(√3а)/2

 06.05.2021          група №2     Геометрія

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ з теми   "Перпендикулярність прямих і площин у просторі"

1. Передивіться відеоматеріали за посиланням:

 https://www.youtube.com/watch?v=Bc2UWynFem8

2. Виконайте самостійну роботу в зошитах

 1. Яке з наведених тверджень неправильне (a, b, m, n — прямі,

 α — площина)?

A. Якщо m ⊥ n, a||m і b||n, то a ⊥ b.

Б. Якщо m, n лежать у площині α і перетинаються, a ⊥ m і a ⊥ n, то a ⊥ α.

B. Якщо a||b і a ⊥ α, то b||α.

Г. Якщо a ⊥ α і b ⊥ α, то a||b.

2. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих перпендикулярна до площини ACC₁?

A. DD₁.

Б. B₁D₁.

B. BD₁.

Г. DC.

                                          

3. Із точки A проведено перпендикуляр AD до площини трикутника ABC. Визначте вид трикутника ABC, якщо ∠A = 60° і BD = CD.

A. Прямокутний.

Б. Рівнобедрений.

B. Різносторонній.

Г. Рівносторонній.

4. У прямокутному трикутнику ABC відрізок AB є гіпотенузою. MA — перпендикуляр до площини трикутника. Яке з наведених тверджень неправильне?

A. MA ⊥ AB.

Б. MA ⊥ AC.

B. MB ⊥ BC.

Г. MC ⊥ BC.

5. Через точку O перетину діагоналей квадрата ABCD до площини квадрата проведено перпендикуляр SO завдовжки 5√2 см. Знайдіть кут між прямою AS і площиною квадрата, якщо AB = 10 см.

A. 30°.

Б. 45°.

B. 60°.

Г. 90°.

6. На рисунку SM і CM — висоти трикутників SAB і CAB. Знайдіть кут між площинами SAB і CAB, якщо SM= MC = SC.

A. 60°.

Б. 30 °.

B. 90°.

Г. 45°.

7. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Установіть відповідність між твердженням (1-4) і прямою (А-Д), для якої виконується це твердження.

1. Перпендикулярна до прямої AD            А             A₁D

2. Утворює з прямою AB₁ кут 60°               Б             AB₁

3. Перпендикулярна до площини ABC       В            CC₁

4. Утворює з площиною ABC кут 45°           Г            AD

                                                                        Д            DC

8. PA — перпендикуляр до площини трикутника ABC, PC ⊥ BC.

1) Визначте вид трикутника ABC.

2) Знайдіть відстань від точки P до площини трикутника, якщо AB = 13 см, BC = 5 см, а пряма PC утворює з площиною трикутника кут 30°.

Наведіть повне розв'язання задач 9 і 10.

9. Кінці відрізка завдовжки 12 см належать двом перпендикулярним площинам. Знайдіть відстані від кінців відрізка до кожної з площин, якщо цей відрізок утворює з площинами кути 45° і 60°.

10. Доведіть, що якщо пряма BP перпендикулярна до площини трикутника ABC, у якому ∠C = 90°, то площини PAC і PBC перпендикулярні.

 06.05.2021   група №14, група №2 математика (факультатив)

Тема уроку: Графіки та основні властивості гіперболи

Використано матеріал за посиланням

https://miyklas.com.ua/p/algebra/8/ratcionalni-virazi-31777/funktciia-y-k-x-yiyi-vlastivosti-ta-grafik-13989/re-4ca2a087-26ba-4a07-a842-6d3899b9237e

Функція y=kx

Познайомимося з новою функцією: y=kx

 

Коефіцієнт k може приймати будь-які значення, крім k=0. Розглянемо спочатку випадок, коли k=1; отже, спочатку поговоримо про функцію y=1x.

 

Щоб побудувати графік функції y=1x, надамо незалежній змінній x декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою y=1x) відповідні значення залежної змінної y.

 

Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних. 

Перший етап

Якщо x=1, то y=1 (нагадаємо, що ми користуємося формулою y=1x);

 

якщо x=2, то y=12;

 

якщо x=4, то y=14;

 

якщо x=8, то y=18;

 

якщо x=12, то y=2;

 

якщо x=14, то y=4;

 

якщо x=18 , то y=8.

 

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

 

x	1	2	4	8	12	14	18
y	1	12	14	18	2	4	8

 

Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.

 

Другий етап

якщо x=−1, то y=−1;

 

якщо x=−2, то y=−12;

 

якщо x=−4, то y=−14;

 

якщо x=−8, то y=−18;

 

якщо x=−12, то y=−2;

 

якщо x=−14, то y=−4;

 

якщо x=−18, то y=−8.

 

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

 

x	−1	−2	−4	−8	−12	−14	−18
y	−1	−12	−14	−18	−2	−4	−8

 

Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.

 

 

Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.

 

 

Це і є графіком функції y=1x, який називається гіперболою.

Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.

 

Будь-яка пряма, що проходить через початок координат O та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки O, але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам (1;1) і (−1;−1), (2;12) і (−2;−12) тощо.

 

Отже, O — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.

 

По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин,  їх зазвичай називають гілками гіперболи.

 

По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.

 

Отже, графік функції y=1x, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь x та вісь y.

 

Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).

 

Зверни увагу!

Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.

Побудуємо пряму y=x.

 

 

Тепер дивимося: точки (2;12)та(12;2) розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.

 

Те саме можна сказати про точки (4;14) і (14;4),(8;18) і (18;8) тощо. 

 

Отже, пряма y=x — вісь симетрії гіперболи y=1x (так само, як і y=−x).

Ми розглянули функцію y=kx для випадку, коли k=1. Нехай тепер k — додатне число, відмінне від 1, наприклад k=2.

Розглянемо функцію y=2x та складемо таблицю значень цієї функції:

 

x	1	2	−1	−2	4	12	−4	−12
y	2	1	−2	−1	12	4	−12	−4

 

Побудуємо ці точки на координатній площині. Вони намічають деяку лінію, що складається з двох гілок. Проведемо її.

 

 

Як і графік функції y=1x, ця лінія називається гіперболою.

Тепер розглянемо випадок, коли k<0; нехай, наприклад, k=−1.

 

Побудуємо графік функції y=1x (тут k=−1).

 

Графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x.

 

Зокрема, це означає, що графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x. 

 

Отже, графік функції y=−1x симетричний графіку y=1x відносно осі абсцис.

 

У такий спосіб ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.

 

 

Взагалі, графіком функції y=kx, k≠0 є гіпербола, гілки якої розташовані в першому і третьому координатних кутах, якщо k>0, і в другому та четвертому координатних кутах, якщо k<0.

Точка (0;0) — центр симетрії гіперболи, осі координат — асимптоти гіперболи.

Зазвичай кажуть, що дві величини x і y обернено пропорційні, якщо вони пов'язані співвідношенням xy=k (де k — число, відмінне від 0) або, що те ж саме, y=kx.

З цієї причини функцію y=kx називають іноді оберненою пропорційністю (за аналогією з функцією y=kx, яку називають прямою пропорційністю).

 

Число k — коефіцієнт оберненої пропорційності.

Властивості функції y=kx, якщо k>0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

 

 

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім x=0.

 

2. y>0, якщо x>0; y<0, якщо x<0.

 

3. Функція спадає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).

 

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

 

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.

 

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів (−∞;0)∪(0;+∞).

Властивості функції y=kx, якщо k<0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

 

 

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім x=0.

 

2. y>0, якщо x<0; y<0, якщо x>0.

 

3. Функція зростає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).

 

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.

 

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів (−∞;0)∪(0;+∞).