неділя, 29 січня 2023 р.

 група №6     геометрія  (фото розв'язків задач прислати у вайбер 0668070385)

30.01.2023

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ з теми "Вимірювання відстаней"

1. Опрацюйте  відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=tvSPHDGuR0g

2. Розв'яжіть задачі

1. Із точки A до площини α проведено похилу AB. Знайдіть довжину проекції цієї похилої на площину α, якщо AB = 26 см, а відстань від точки A до площини а дорівнює 10 см.

А. 26 см.

Б. 16 см.

В. 24 см.

Г. √776 см.

2. Точка D віддалена від усіх вершин рівностороннього трикутника на 5 см. Знайдіть відстань від точки D до сторін трикутника, якщо довжина сторони трикутника становить 8 см.

А. 4 см.

Б. 3 см.

В. 2,5 см.

Г. 4,5 см.

3. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якому AB = 4, BC = 3, AA1 = 6. Установіть відповідність між відстанню (1-4) та її числовим значенням (А-Д).

1. Відстань від прямої AA1 до площини DBB1                   А              6

 2. Відстань між площинами ABD і B1C1D1                         Б               5

3. Відстань між прямими BB1 і D1D                                 В               2,5

4. Відстань між прямими A1В1 і CC1                                       Г             2.4

                                                                                                              Д               3

                                                                                         

4. (2 бали). Через точку O перетину діагоналей квадрата проведено перпендикуляр KO до площини квадрата. Знайдіть відстань від точки K до сторін квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см, а відстань від точки K до площини квадрата дорівнює 5√2 см.

5. (4 бали). Пряма CD перпендикулярна до площини гострокутного трикутника ABC, CK — його висота.

1) Доведіть, що прямі DK і AB взаємно перпендикулярні.

2) Знайдіть відстань від точки A до площини DKC, якщо відстань від точки D до прямої AB дорівнює 1 см, ∠DAK = 45°.

четвер, 26 січня 2023 р.

 група  № 2                                алгебра і початки аналізу

27.01.2023   (фото конспекта і розв'язки задач прислати у вайбер 0668070385)

Тема уроку: Елементи статистики

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=t4gmv8Q4nLo

2. Повторіть теорію, приклади запишіть в зошит

ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ

Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,... . Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).

Випробування — це умови, за яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Події розподіляються на випадкові, вірогідні та неможливі.

Випадковою називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час певного випробування.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться.

Неможливою називається подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися. Неможлива подія позначається символом .

Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових подій.

Попарно несумісні події— це події, кожні дві з яких не можуть відбутися одночасно.

Рівнoможливі події— події, кожна з яких не має ніяких переваг, щоб з’являтися частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Повною групою подій називається множина таких подій, коли в результаті кожного випробування обов’язково має відбутися хоча б одна з них.

Якщо події мають властивості: 1) утворювати повну групу подій; 2) бути несумісними; 3) бути рівноможливими, то такі події утворюють множину, яка називається просторам елементарних подій.

Класичне означений ймовірності

Відношення числа m елементарних подій, які сприяють події A, до загальної кількості n подій простору називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А), тобто

P(A) = ,

де m — число подій, які сприяють події A; n — число подій простору елементарних подій (0 ≤ m ≤ n).

Імовірність вірогідної події дорівнює 1, імовірність неможливої події дорівнює 0, а ймовірність Р(А) випадкової події A задовольняє умову 0 <Р(А) < 1.

Приклад 1. Імовірність того, що при киданні двох монет випаде два герби, дорівнює , бо простір елементарних подій такий: A1 — випали два герби; A2 — випали герб і число; A3 — вішати число та герб; А4 — випали два числа, а шуканій події сприяє лише одна подія —А1.

Розглянемо приклади розв’язання задач.

Задача 1. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта — чорні. Виймають навмання 2 кульки. Яка ймовірність того, що вони будуть білі?

Розв'язання

Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято 2 кульки) дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 20, тобто числу комбінацій із 20 елементів по 2 (n = ). Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «вийнято 2 білих кульки». Ця кількість дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 12 білих, тобто числу комбінацій із 12 елементів по 2 (m = ).

Отже, якщо подія А — «вийнято 2 білі кульки», то

P(A) =  =  =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 2. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта—чорні. Виймають навмання 3 кульки. Яка ймовірність того, що серед вибраних 2 кульки будуть білі?

Розв'язання

Загальна кількість елементарних подій випробування («вийнято 3 кульки») дорівнює n = . Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «серед 3 вибраних кульок 2 білі». Дві білі кульки із 12 білих кульок можна вибрати способами  , а 1 чорну кульку — 8 способами, тоді події «серед 3 вибраних кульок 2 білі» сприяють m =  ∙ 8 елементарних подій.

Отже, якщо подія А — «серед 3 вибраних кульок 2 білі», то

P(A) =  =  =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 3. У скрині лежать 15 червоних, 9 синіх і 6 зелених кульок, однакових на дотик. Виймають навмання 6 кульок. Яка ймовірність того, що вийнято: 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки?

 способами. Нас цікавить імовірність події A— «вийнято 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки». Одну зелену кульку можна вийняти  способами, 2 синіх кульки —  способами, 3 червоних кульки —  способами. Отже, події А сприяють m =  ∙  ∙  елементарних подій. Тоді P(A) =  =  =  = .

Відповідь: .

Статистичне означення ймовірності

Нехай n — кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, a m — кількість тих випробувань, у яких відбувається подія А.

Статистичною ймовірністю події А називається границя, до якої наближається відносна частота , події А при необмеженому збільшенні числа всіх випробувань, тобто

p(A) = .

Операції над подіями

Сумою двох подій А і В (рис. 1) називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування або події А. або події В, або обох подій А і В одночасно (позначається С = А + В, або С = А В).

Подія  називається протилежною події А. якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається.

Добутком двох подій А і В (рис. 2) називається подія С, яка полягає в одночасному здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування (позначається С = А ∙ В, або С = А  В).

Рис. 1

                                                  Рис. 2 

Теорема про ймовірність суми подій

Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Якщо А ∙ В = , то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Приклад 2. Якщо спортсмен стріляє по мішені, яка розділена на дві частини, і ймовірність попадання в першу частину дорівнює 0,45, а в другу — 0,35, то ймовірність попадання в мішень становитиме 0,45 + 0,35 = 0,8.

Із теореми випливають наслідки.

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А1, А2,... Аn, які утворюють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

Р(А) + Р() = 1.

Розглянемо приклади розв’язання задач.

Приклад У скрині лежать 2 чорних, 3 червоних, 9 зелених, 6 синіх кульок. Виймають навмання 1 кульку. Яка ймовірність того, що вона не чорна?

Розв’язання

Нехай подія А — «поява нечорної кульки»; А1 — «поява чорної кульки»; А2 — «поява червоної кульки»; А3 — «поява зеленої кульки»; А4 — «поява синьої кульки». Тоді А = А2+ А3 + А4, причому А2, А3, А4 — несумісні,

P(A2) =  , P(A3) = , P(A4) = .

За теоремою ймовірності суми несумісних подій отримуємо

Р(А) = Р(А2) + Р(А3) + Р(А4) =  +  +  =  = 

Відповідь: .

Приклад 4. У коробці є 20 деталей, із яких 15 — стандартні. Знайдіть імовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоча б 1 стандарта.

Розв’язання

Подія А — «серед вибраних деталей є хоча б 1 стандартна», подія  — усі вибрані деталі не стандарті. Згідно з наслідком 2 маємо Р(А) + Р() = 1. Звідси Р(А) = 1 - Р().

Знайдемо Р(). Загальне число способів, якими можна вибрати 3 деталі із 20 деталей, дорівнює . Число нестандартних деталей 20 - 15 = 5, із цього числа деталей можна m =  способами вибрати З нестандартні деталі.

Отже, Р().) =  =  =  ∙  = .

Шукана ймовірність Р(А) = 1 - Р().) = 1 -  = .

Відповідь: .

Теорема про ймовірність добутку полій

Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні.

Імовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В).

Якщо події А1, А2, А3,... Аn незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них С може бути виражена через імовірність цих подій формулою

Р(C) = 1 - (1 - P(A1)) ∙ (1 - Р(A2) ∙...∙ (1 - Р(An)).

Розглянемо застосування цієї теореми до розв’язування задач.

Задача 4. Знайдіть імовірність одночасного випадання герба на двох монетах при одному киданні двох монет.

Розв'язання

Подія А — «випав герб на першій монеті», Р(А) = .

Подія В — «випав герб на другій монеті», Р(В) = .

Оскільки події А і В незалежні, то

Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В) =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 5. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного по мішені. Імовірність влученнь у мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що обидва мисливці влучать у ціль.

Розв’язання

Подія А — «перший мисливець влучив у ціль», Р(А) = 0,7.

Подія В — «другий мисливець влучив у ціль», Р(В) = 0,8.

Подія С = А ∙ В — «обидва мисливці влучили у ціль», тоді

Р(С) = Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Задача 6. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного. Імовірність влучення в ціль відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що

а) лише один із мисливців влучить у ціль;

б) жодний із мисливців не влучить у ціль;

в) хоча б один із мисливців влучить у ціль.

Розв'язання

Подія А — «перший мисливець влучив у ціль», Р(А) = 0,7.

Подія В — «другий мисливець влучив у ціль», Р(В) = 0,8.

а) С = А ∙  +  ∙ В — «лише один із мисливців влучив у ціль», тоді

Р(С) = Р(А ∙ ) + Р( ∙ В) = Р(А) ∙ Р() + Р() ∙ Р(В) = 0,7(1 - Р(В)) + (1 - Р(А)) ∙ 0,8 =

= 0,7 ∙ (1 - 0,8) + (1 - 0,7) ∙ 0,8 = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38;

б) D =  ∙  — «жоден із мисливців не влучив у ціль», тоді

P(D) = Р( ∙ ) = Р() ∙ Р() = (1 - Р(А)) ∙ (1 - Р(В)) = (1 - 0,7) ∙ (1 - 0,8) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06;

в) F =  — «хоча б один із мисливців влучить у ціль»:

P(F) = Р() = 1 - P(D) = 1 - 0,06 = 0,94 (перший спосіб),

F = А ∙  +  ∙ В + А В (другий спосіб), тоді

P(F) =Р(А) ∙ Р() + Р() ∙ Р(В) + Р(А) ∙ Р(В) =

= 0,7 ∙ (1 - 0,8) + (1 - 0,7) ∙0,8 + 0,7 ∙ 0,8 = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 + 0,56 = 0,14 + 0,24 + 0,56 = 0,94.

Відповідь: а) 0,38; б) 0,06; в) 0,94.

Незалежні випробування. Схема Бернуллі

Взаємно незалежними називається такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.

Багато задач у теорії ймовірностей зводяться до такої схеми, яка називається схемою Бернуллі: відбувається n незалежних випробувань, у кожному з яких подія A може настати чи не настати. Імовірність того, що випадкова подія А в кожному випробуванні відбувається, однакова і дорівнює р. а ймовірність того, що не відбувається, q = 1 - р. Треба знайти ймовірність Рm,n того, що подія А настане m разів у цих n випробуваннях. Шукану ймовірність можна обчислити за формулою Бернуллі

Pm,n =  pmqn-m = pmqn-m.

Приклад 5. Імовірність того, що витрата електроенергії протягом доби не перевищує встановленої норми, дорівнює 0,75. Знайдіть імовірність того, що в найближчі 6 діб витрати електроенергії впродовж 4 діб не перевищують норми.

Розв'язання

Імовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожних 6 діб постійна і дорівнює р = 0,75. Отже, імовірності перевитрати електроенергії в кожну добу також постійні і дорівнюють

q = 1 - p = 1 - 0,75 = 0,25.

Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює

P4,6 = p4q2 = p4q2 =  ∙ (0,75)4 ∙ (0,25)2 ≈ 0,3.

Відповідь: 0,3.

Приклад 6. Яка ймовірність того, що при 10 киданнях грального кубика 3 очки випадатимуть рівно 2 рази?

Розв’язання

У цій задачі n = 10, m = 2, р = , q = 1 — p = 1 -  =  і тоді

P2,10 = ()2 ∙ ()8 =  ∙  ≈ 0,29.

Відповідь: 0,29.

 ВСТУП ДО СТАТИСТИКИ

Статистика— наука, що збирає, обробляє і вивчає різні дані, пов'язані з масовими явищами, процесами, подіями.

Математична статистика — розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків.

Статистичне спостереження — це спланований, науково організований збір масових даних про соціально-економічні явища та процеси.

Найпоширенішим серед видів статичних спостережень є вибіркове. У процесі вибіркового спостереження вивчається лише частина сукупності, відібрана спеціальним методом, яка називається вибіркою. Усю сукупність, із якої роблять вибірку, називають генеральною сукупністю. Число об’єктів генеральної сукупності й вибірки відповідно називають обсягом генеральної сукупності й обсягом вибірки.

Нехай із генеральної сукупності зроблено вибірку, причому х1спостерігалося n1 разів, х2 — n2, разів, х3 — n3 разів, хm — nm і n1 + n2 +... + nm = N — обсяг вибірки. Значення х1, х2,..., хm називаються варіантами. послідовність варіант, записаних у зростаючому (спадному) порядку, — варіаційним рядом.

Числа спостережень n1, n2, .... nm називають частотами, а їх відношення до обсягу вибірки  = p1.

 = p2 …  = pm

— відносними частотами. Відзначимо, що сума відносних частот дорівнює 1:

p1 + p2 + … + pm +  +  + … +  =  =  = 1.

Статистичним рядом розподілу вибірки називається перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот.

Статистичний розподіл можна задати у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот.

Приклад 1. Перейти від частот до відносних частот у такому розподілі вибірки обсягом N = 20.

Розв’язання

Знайдемо відносні частота:

p1 =  = 0,15; p2 =  = 0,50; p3 =  = 0,35.

Тому одержуємо такий розподіл:

Для графічного зображення статистичного розподілу використовуються полігони і гістограми.

Для побудови полігону на осі ОХ відкладають значення варіант хi, на осі ординат — значення частот ni. Точки (хi; ni)  з’єднують відрізками прямих і одержують полігон частот.

Приклад 2. Побудувати полігон частот та полігон відносних частот статистичного розподілу з прикладу 1.

На рис. 1 побудовано полігон частот, а на рис. 2 — полігон відносних частот. У випадку інтервального розподілу доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, у якому містяться всі значення ознаки, яка спостерігається, розбивають на кілька інтервалів довжиною h і знаходять для кожного інтервалу nі — суму частот варіант, які попали в і-й інтервал.

Гістограмою частот називають східчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є інтервали довжиною h, а висота дорівнює відношенню .

Площа і-го прямокутника дорівнює  = n1.

Отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягу вибірки. На рис. З подано гістограму за даними табл. 1.

Таблиця 1

Врожайність (ц/га)

21—23

23—25

25—27

21—24

29—31

31—33

33—35

Площа (га)

100

150

250

300

150

250

150

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Центральні тенденції вибірки

Вибірка характеризується центральними тенденціями: середнім значенням, модою і медіаною. Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичне всіх її значень:

 =  або  =  , (∑ — знак суми — «сигма» велика).

Мода вибірки — те її значення, яке трапляєтеся найчастіше (позначається М0).

Медіана вибірки — це число, яке ділите навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання ознаки (позначається Ме). Якщо кількість чисел у ряду парна, то медіана — середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині.

Приклад 3. Нехай дано вибірку 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Знайдемо центральні тенденції вибірки.

Розв’язання

Мода даної вибірки Мo = 6, бо число 6 трапляється найчастіше. Середнє значення вибірки:

 =  =  = 5,3.

Відповідь: Мо = 6,  = 5,3, Ме = 6.

її середніх значень:

Me =  = 6.

Приклад 4. Знайдемо центральні тенденції вибірки: 12, 17, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 13, 13.

Розв’язання

Упорядкуємо дану вибірку: 11, 12, 13, 13, 13, 14, 15,15, 16, 17.

Мода даної вибірки: Мо = 13.

Середнє значення:  =  =  = 13,9.

Медіана даної вибірки: Ме =  =  = 13,5.

Відповідь: Мо = 13,  = 13,9, Ме = 13,5.

3. Виконайте вправи

1. Із літер, написаних на окремих картах, склали слово «математика». Потім ці картки поміняли місцями, перетасували та взяли навмання одну з них. Яка ймовірність того, що це буде картка з літерою A?

2.  Із натуральних чисел від 1 до 20 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 20?

3. В автоматі містяться 100 пронумерованих жетонів (від 1 до 100). Знайдіть імовірність того, що номер навмання витягнутого жетона не має цифру 3.

4. Група з 10 школярів протягом літніх канікул перебувала в спортивному таборі. Після сезону зафіксували збільшення зросту дітей у сантиметрах: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4. Знайдіть середнє збільшення зросту одного школяра.

5. У відділі взуття впродовж дня було продано 13 пар чоловічих черевиків таких розмірів: 42, 41, 44, 43, 44, 40, 43, 41, 45, 41, 40, 42, 39. Знайдіть моду цього ряду даних.