математика МПТУ

13.01.2023 група №2 алгебра і початки аналізу (повторення)

Фото конспекта і розв'язаних прикладів прислати у вайбер 0668070385

Тема уроку: Інтеграл та його застосування

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=4YehcNQQdcE

2. Повторіть теорію і запишіть приклади в зошит

Визначений інтеграл

Нехай задано неперервну функцію у= f(x), визначену на проміжку [а; b], тоді визначеним інтегралом

від а до b функції f(х) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто dx = F(b) - F(a).

Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

1. dx = Cdx, де С — стала.

+g(x))dx = dx + (x)dx.

3. dx = -dx.

4. = .

5. dx = 0.

6. dx - dx + dx.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Обчисліть .

Розв'язання

Оскільки для х² однією з первісних є , то = = - = + = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 8. Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: -.

Приклад 9. Обчисліть:

a) ;

б) .

Розв’язання

Відповідь: а) ³ - 1; б) 12.

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Геометричний зміст ви значеного інтеграла

Площам криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку (а; b] функції f(х), віссю Ох та прямими х = а, х = b) обчислюється за формулою S = (рис. 1).

Рис. 1

Фізичний зміст визначеного інтеграла

Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює

де v (t) — швидкість руху (рис. 2).

Рис. 2

Площа фігури

Якщо на заданому проміжку [а; b] неперервні функції у = f(х) і у = g (x) мають властивість f(x) ≥ g(x) для всіх х є [а; b], то S = - g(x))dx (рис. 3).

Рис. 3

Обчислення площ

Приклад 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х² і у = -х + 2.

Розв’язання

Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти (див. рис. 8). Для знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:

x² = -х + 2; x² + х - 2 = 0; х = -2 або х = 1.

Тоді S = — x²)dx = = - - + 2 — ( — 2 - 4) = - + 1,5 + 6 = 7,5 — 3 = 4,5.

Відповідь: 4,5.

Рис. 8

Об’єм тіла обертання

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [а; b] функції y = f(x) та прямими х = а і х = b (рис. 9), дорівнює V = .