група  № 9

20.01.2023   факультатив  (фото з розв'язками прислати у вайбер 0668070385)

Тема уроку: Розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей

1. Опрацюйте  відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=4yaBQUsquYE

2. Законспектуйте і проаналізуйте розв'язки 

Розв’язання рівняння виду  де а - число,  та подібні доцільно починати з ОДЗ рівняння. Далі можна скористатись одним із двох наступних способів розв’язання.

І спосіб. Забезпечуємо невід’ємність лівої і правої частини рівняння (якщо необхідно, то для цього переносимо доданки з однієї частини рівняння в іншу). Підносимо ліву і праву частини отриманого рівняння до квадрата. Оскільки вони невід’ємні, то таке перетворення рівняння є рівносильним. Після спрощень дістаємо один із раніше розглянутих типів рівнянь.

Приклад. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою  з якої дістаємо х ≥ 2.

Перенесемо радикал у праву частину рівняння:  Ліва і права частини отриманого рівняння - невід’ємні. Піднесемо до квадрата ліву і праву частини рівняння: 

Оскільки х = 3 належить ОДЗ початкового рівняння, то є його єдиним коренем.

Відповідь: х = 3.

II спосіб полягає в тому, що після знаходження ОДЗ рівняння ліву і праву його частини підносять до квадрата, не вимагаючи їх невід’ємності. Але такий спосіб може привести до появи сторонніх коренів. Тому можна запропонувати два підходи. Перший полягає в тому, що отримані корені треба перевірити, підставивши у початкове рівняння. Але якщо отримані корені - ірраціональні числа, така перевірка є досить громіздкою. Другий підхід полягає у тому, щоб перейти до системи, рівносильної даному рівнянню. Таку систему можна отримати, якщо доповнити рівняння, в якому записані ліва і права частини, піднесені до квадрата, нерівністю, що забезпечує однаковий знак лівої і правої частин.

Приклад. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою  тобто х ≥ -3.

Ліва і права частини заданого рівняння невід’ємні, тому їх можна підносити до квадрат, але це призводить до громіздких обчислень (перевірте це самостійно). Тому раціональніше один з коренів (наприклад, ) перенести у праву частину. Маємо  Піднесемо ліву і праву частини рівняння до квадрата. Оскільки права частина останнього рівняння може бути як додатною, так і від’ємною, то таке перетворення не є рівносильним, тому отриманий корінь слід перевірити.

Перевірка:  Отже, х = 1 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь. х = 1.

Приклад. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою

 з якої дістаємо 

Піднесення невід’ємних лівої і правої частин заданого рівняння призводить до громіздких обчислень. Краще радикал перенести у праву частину:  Отримане рівняння можна розв’язати тим самим способом, що й попереднє, а можна підійти до розв’язування інакше. Ліва частина отриманого рівняння - невід’ємна, тому невід’ємною має бути і права частина. Отже, рівняння рівносильне системі:

Перше рівняння має корені  Але лише другий задовольняє як умову х ≥ -3, так і ОДЗ. Оскільки всі перетворення рівняння є рівносильними, то перевірка не є обов’язковою. Отже, х = -1/2 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь, х = -1/2.

3. Виконайте тест

Запитання 1

1.Розв'яжіть рівняння

√(х+2)=х

варіанти відповідей

 

-1;2

 

 

-2;1

 

 

2

 

 

-2;-1

Запитання 2

2. √(4х-5)=√(1-х)

варіанти відповідей

 

1,2

 

 

немає коренів

 

 

5∕6

 

 

1,4

Запитання 3

3. √(15-3х)=х+1

варіанти відповідей

 

2

 

 

-7;2

 

 

3,5

 

 

-1,5

Запитання 4

4. √х-5∜х+6=0

варіанти відповідей

 

1,44

 

 

1; 1,44

 

 

16

 

 

16; 81

Запитання 5

5. √(2х-4)-√(х+5)=1

варіанти відповідей

 

4;20

 

 

20

 

 

-4

 

 

-20

Запитання 6

6. х2+2х+√(х2+2х+8)=12

варіанти відповідей

 

-4;2

 

 

-2;4

 

 

-4;3

 

 

-3;4

Запитання 7

Розв'яжіть нерівність

7. √(х-3)>-2

варіанти відповідей

 

немає розв'язків

 

 

(7;+∞)

 

 

(3;+∞)

 

 

[3;+∞)

Запитання 8

8. √(х+5)<√(8-х)

варіанти відповідей

 

[-5;8]

 

 

[-5;1,5)

 

 

(1,5;8)

 

 

немає розв'язків

Запитання 9

9. √(х+18)<2-х

варіанти відповідей

 

[-18;-2)

 

 

(-∞;-2)

 

 

[-18;+∞)

 

 

(-∞;-2)∪(7;+∞)

Запитання 10

10. √(11-5х)≥х-1

варіанти відповідей

 

[1;2]

 

 

(-∞;2]

 

 

(-∞;1]

 

 

[2;+∞)

Запитання 11

11. (4-3х)√х≥0

варіанти відповідей

 

[4/3;+∞)

 

 

(-∞;4∕3]

 

 

[0;4/3]

 

 

[0;+∞)

Запитання 12

12. √х+∜х-6≤0

варіанти відповідей

 

[0;16]

 

 

[-3;2]

 

 

[2;+∞)

 

 

(-∞;16]