група  № 4   (Фото розв'язків задач прислати у вайбер 0668070385)

18.01.2023         геометрія

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань з теми "Многогранники"

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=qlceWP31ypo

2. Повторіть та запам'ятайте

Куб — це тіло, поверхня якого обмежена шістьма рівними квадратами (рис. 1).

Прямокутний паралелепіпед — це тіло, поверхня якого обмежена шістьма прямокутниками (рис. 2).

Тетраедр — це тіло, поверхня якого обмежена чотирма трикутниками (рис. 3).

Правильніш тетраедром називається тіло, поверхня якого обмежена чотирма рівними правильними трикутниками (рис. 4).

Многогранникам називається тіло, поверхня якого обмежена скінченним числом плоских многокутників. Многокутники, що обмежують поверхню тіла, називаються гранями, сторони граней —ребрами, вершини граней — вершинами многогранника.

Призма (n-кутна) — це многогранник, у якого дві грані — рівні n-кутники, які лежать у паралельних площинах, а інші n граней — паралелограми (рис. 5).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Многокутники називаються основами призми, а паралелограми — бічними гранями. Сторони бічних граней та основ називаються ребрами призми. Кінці ребер називаються вершинами призми. Бічними ребрами називаються ребра, які не належать основам.

Властивості призми

1. Основи призми паралельні і рівні.

2. Бічні ребра паралельні і рівні.

3. Бічні грані — паралелограми.

Висотою призми називається перпендикуляр, проведений із точки верхньої основи на площину нижньої основи. На рис. 6 ОО₁ — висота призми.

Діагоналлю призми називається відрізок, який з’єднує дві вершини, які не належать одній грані. На рис. 5 АС₁, AD₁— діагоналі призми.

Рис. 6

Діагональним перерізом призми називається переріз її площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані. Нарис. 5 AA₁C₁C— діагональний переріз призми.

Прямою призмою називається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. Призма, яка не є прямою, називається похилою.

Правильною призмою називається пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. На рис. 7 зображені правильні трикутна, чотирикутна та шестикутна призми.

Паралелепіпедам називається призма, основи якої є паралелограмами (рис. 8).

Рис. 7

Рис. 8

Властивості паралелепіпеди

1. Протилежні грані паралелепіпеда попарно рівні та паралельні.

2. Усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл. Паралелепіпед називається прямим, якщо в нього бічні ребра перпендикулярні до основ. Прямий паралелепіпед має всі властивості паралелепіпеда, і, крім того, бічні грані прямого паралелепіпеда є прямокутниками.

Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називається прямокутним (рис. 9). Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються лінійними розмірами (або вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

Рис. 9

Властивості прямокутного паралелепіпеда

1. Усі діагоналі рівні.

2. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

На рис. 9 d² = а² + b² + с².

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Пірамідою (n-кутною) називаєтеся многогранник, у якого одна грань є довільним n-кутником, а інші n граней — трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник називається основою, а трикутники — бічними гранями. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.

На рис. 1 зображено піраміду SABCD, ABCD — основа; ∆SAВ, ∆SBC, ∆SCD, ∆SDA — бічні грані піраміди; 5 — вершина піраміди; SA, SB, SC, SD — бічні ребра.

Висотою піраміди називаєтеся перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину основи. На рис. 1 SO — висота піраміди.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а основа висоти піраміди співпадає з центром цього многокутника.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.

На рис. 2 зображено правильну трикутну піраміду SABC, SK ⊥ СВ, SK — апофема

Рис. 1

Рис. 2

У правильній піраміді:

 бічні ребра рівні;

— бічні грані рівні;

— апофеми рівні;

— двогранні кути при основі рівні;

— двогранні кути при бічних ребрах рівні;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх вершин основи;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних ребер.

Паралельні грані зрізаної піраміди називаються основами, а всі інші — бічними. Висотою зрізаної піраміди називаєтеся перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину- іншої основи.

                                               

Рис. 3

Зрізана піраміда називається правильною, якщо вона складає частину правильної піраміди. Висота бічної грані правильної зрізаної піраміди, проведена до ребра основи, називається апофемою.

У правильній зрізаній піраміді:

— бічні ребра рівні;

— бічні грані рівні;

— апофеми рівні;

— двогранні кути при кожній основі рівні;

— двогранні кути при бічних ребрах рівні;

— кожна точка прямої, яка проходить через центри її основ, рівновіддалена від усіх вершин кожної основи, рівновіддалена від площин бічних граней, рівновіддалена від прямих, на яких лежать бічні ребра.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра.

На рис. 1 S_біч =Р_∆АВС ∙ АА₁.

Площу бічної поверхні призми можна обчислити за формулою: S_біч = Р ∙ АА₁ (рис. 2), де Р— периметр перпендикулярного перерізу (перерізу призми площиною, яка перпендикулярна до бічних ребер і перетинає всі її бічні ребра), AA₁ — довжина бічного ребра.

Площа повної поверхні призми (S_пр)) дорівнює сумі площі бічної поверхні (S_біч) і площ двох основ (2S_осн.):

S_пр = S_біч +2S_осн.

Площею повної поверхні піраміди є сума площ усіх її граней (тобто основи і бічних граней), а площею бічної поверхні піраміди — сума площ її бічних граней:

S_пір = S_біч + S_осн; S_біч = S_∆АSB + S_∆BSC + S_∆CSD + S_∆ASD (рис. 4).

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:

S_біч =  P_осн ∙ SK =  P_осн ∙ 1 (рис. 5).

Рис. 4

де l — апофема, l = SK.

Якщо бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом , а площа основи дорівнює S_осн, то площа бічної поверхні піраміди

S_біч = .

Рис. 5

Площа повної поверхні зрізаної піраміди дорівнює сумі площ усіх її граней (тобто основ і бічних граней), а площа бічної поверхні зрізаної піраміди — сумі площі!' бічних граней (див. рис. 7).

S_зрпір. = S₁ + S_біч + S₂

де S_біч = SАBB₁А₁ + SAСС₁A₁ + SBСС₁B₁

Рис. 7

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему (див. рис. 8).

Рис. 8

S_біч =  ∙ l.

де P₁ і Р₂ — периметри основ, l — апофема (рис. 8).

3. Розв'яжіть задачі

1. У правильній трикутній призмі сторона основи дорівнює 3 см, а діагональ бічної грані - 5 см. Знайти площу бічної поверхні призми.

2. Висота похилої призми дорівнює 2 см. Знайти бічне ребро призми, якщо воно утворює із висотою кут 30°.

3. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а її об’єм 45 см³. Знайти висоту призми.

4. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а її об’єм 45 см³. Знайти висоту призми.

5. Сторони основ правильної зрізаної чотирикутної піраміди дорівнюють 3 см і 5 см, а апофема - 4 см. Знайти площу повної поверхні піраміди.