10.02.2022   група № 14   геометрія (повторення)  (уроки 25     і    26)

Тема уроку:  Координати і вектори

1. Повторіть теорію

Визначення декартових координат у просторі

Декартова система координат у просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей (вісь ОХ— вісь абсцис, ОУ — вісь ординат, OZ— вісь аплікат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб уздовж осей.

Кожній точці простору за певним правилом ставиться у відповідність трійка чисел — абсциса, ордината та апліката (х; у, z), які називаються декартовими координатами точки. Ці координат визначаються в такий спосіб: через точку А проводимо три площини, паралельні координатним площинам YOZ;XOZ;XOУ. Із координатними осями ОХ, ОУ і OZплощини перетнуться в точках x_A,y_A, z_A. Число х, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка ОХA, називається абсцисою точки А. Це число буде додатним, якщо х належить додатній пів осі ОХ, і від’ємним, якщо лежить на від’ємній півосі.

Аналогічно визначаються ордината у та апліката z точки А.

Декартові координати в просторі записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А (х; у; z). причому першою завжди стоїть абсциса, другою — ордината, третьою — апліката

Для точок площини ХОУ апліката z дорівнює нулю, для точок площини XOZ — ордината у дорівнює нулю, для точок

площини YOZ — абсциса х дорівнює нулю.

На рис. 1 точка А має координат 2; 3; 3, що записується так: А (2; 3; 3).

Будь-якій трійці чисел х, y, z відповідає лише одна точка простору А (х, у, z).

Рис. 1

Приклад 1. Задано точки A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(1; 0; 0), D(1; 0; 2). Які із цих точок лежать: 1) у площині XOZ: 2) на осі ОХ; 3) у площині УOZ?.

Розв'язання

1. Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата y дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1; 0; 0), D (1; 0; 2).

2. Якщо точка лежить на осі ОХ. то координат у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка 0(1; 0; 0).

3. У площині УOZ лежить точка 5(0; 1; 2).

Відповідь: 1) С, D; 2) С; 3) 5.

Відстань між двома точками

Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць однойменних координат.

Відстань між двома точками в просторі

d = .

де d — відстань (рис. 2) між точкою А₁, із координатами (х₁; у₁; z₁) і точкою А₂ із координатами (х₂; у₂; z₂).

Рис. 2

Приклад 2. Задано точки А (1; 2; 3), В (2; 3; 1), С (3; 1; 2). Знайдіть периметр трикутника AВС.

Розв’язання

Оскільки АВ =  = , AC =  = , BC =  = .

то Р_∆АВС = АВ +ВС +АС = 3 .

Відповідь: 3 .

Координати середини відрізка

Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.

Координати середини підрізка в просторі

Координати (х_С; у_С; z_С.) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами

x_C = ; x_C = ; x_C = .

де (x₁; y₁; z₁) і (x₂; у₂; z₂) — координати точок А₁ і А₂, що є кінцями відрізка (рис. 3).

Рис. 3

Приклад 3. Знайдіть координати точки С — середини відрізка АВ, якщо А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1).

Розв’язання

Оскільки А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1) і АС = СВ, то

x_C =  =  = -1; y_C =  =  = 2; z_C =  =  = 2;

Отже, С (-1; 2; 2).

Відповідь: С (-1; 2; 2).

Рівняння сфери

Якщо в просторі задано деяку точку з координатами С (а; b; с), що є центром сфери, а також радіус R (рис. 4), то рівняння сфери має вигляд

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

Якщо центром сфери є початок координат (рис. 5), то маємо

x² + y² + z² = R²

Рис. 4

Приклад 4. Складіть рівняння сфери з центром у точці В (1; 1; 3), якщо відомо, що сфера проходить через точку М (2; 0; -1).

Розв’язання

Знайдемо радіус R сфери

R = BM =  = .

Рис. 5

Ураховуючи, що центр сфери міститься в точці В(1; 1; 3), а радіус R сфери дорівнює , матимемо рівняння сфери (х - 1 )² + (у - 1 )² + (z - 3)² =18.

Відповідь: (x - 1 )² + (x - 1 )² + (x - 3)² = 18.

2. Виконайте вправи

1. Знайдіть відстань від точки А (1; 2; 3) до початку координат.

2. Дано точку М(-1; 2; 3). Укажіть координати точки К, симетричної точці М відносно точки N (2; 5; 4).

3. Ортогональну проекцію відрізка з кінцями у точках А (-1; 0; 5) і В (-1; 0; 8) на координатну площину XY є ....

4. Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки Е (-3; 5; 7) і F (-9; 6; 1).

5. Знайдіть відстань від точки А (2; 3; -6) до координатної площини XY.

6. Задано точки А (1; 2; 3), В (2; 3; 1), С(3; 1; 2). Знайдіть периметр трикутника АВС.

7. Задано точки М(-4; 7; 0) і N (0; - 1; 2). Знайдіть відстань від початку координат до середини відрізка MN.

8. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо координати трьох інших його вершин відомі: А (1; 3; 2), В (0; 2; 4), С (1; 1; 4).

Тема уроку: Многогранники 

У стереомерії, крім точок, прямих та площин, розглядають просторові геометричні фігури, не всі точки яких лежать в одній площині. Прикладом просторової фігури може служити геометричне тіло — частина простору, яку займає предмет. Куб, прямокутний паралелепіпед, тетраедр — приклади геометричних тіл.

Куб — це тіло, поверхня якого обмежена шістьма рівними квадратами (рис. 1).

Прямокутний паралелепіпед — це тіло, поверхня якого обмежена шістьма прямокутниками (рис. 2).

Тетраедр — це тіло, поверхня якого обмежена чотирма трикутниками (рис. 3).

Правильніш тетраедром називається тіло, поверхня якого обмежена чотирма рівними правильними трикутниками (рис. 4).

Многогранникам називається тіло, поверхня якого обмежена скінченним числом плоских многокутників. Многокутники, що обмежують поверхню тіла, називаються гранями, сторони граней —ребрами, вершини граней — вершинами многогранника.

Призма (n-кутна) — це многогранник, у якого дві грані — рівні n-кутники, які лежать у паралельних площинах, а інші n граней — паралелограми (рис. 5).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Многокутники називаються основами призми, а паралелограми — бічними гранями. Сторони бічних граней та основ називаються ребрами призми. Кінці ребер називаються вершинами призми. Бічними ребрами називаються ребра, які не належать основам.

Властивості призми

1. Основи призми паралельні і рівні.

2. Бічні ребра паралельні і рівні.

3. Бічні грані — паралелограми.

Висотою призми називається перпендикуляр, проведений із точки верхньої основи на площину нижньої основи. На рис. 6 ОО₁ — висота призми.

Діагоналлю призми називається відрізок, який з’єднує дві вершини, які не належать одній грані. На рис. 5 АС₁, AD₁— діагоналі призми.

Рис.6

Діагональним перерізом призми називається переріз її площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані. Нарис. 5 AA₁C₁C— діагональний переріз призми.

Прямою призмою називається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. Призма, яка не є прямою, називається похилою.

Правильною призмою називається пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. На рис. 7 зображені правильні трикутна, чотирикутна та шестикутна призми.

Паралелепіпедам називається призма, основи якої є паралелограмами (рис. 8).

Рис. 7

Рис. 8

Властивості паралелепіпеди

1. Протилежні грані паралелепіпеда попарно рівні та паралельні.

2. Усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл. Паралелепіпед називається прямим, якщо в нього бічні ребра перпендикулярні до основ. Прямий паралелепіпед має всі властивості паралелепіпеда, і, крім того, бічні грані прямого паралелепіпеда є прямокутниками.

Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називається прямокутним (рис. 9). Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються лінійними розмірами (або вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

                                            

Рис. 9

Властивості прямокутного паралелепіпеда

1. Усі діагоналі рівні.

2. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

На рис. 9 d² = а² + b² + с².

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубам.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Скільки всього діагоналей має n-кутна призма?

А)  (n - 2) ∙ n;   Б) (n - 3) ∙ n;   В) (n - 1) ∙ n;    Г) (n - 2)(n + 1);       Д) (n - 2)(n - 1)

2. Знайдіть суму градусних мір всіх плоских кутів n-кутної призми.

А)360°(n - 1);  Б)360°(n - 2);  В)720°(n - 1);    Г)720°(n + 1);     Д)720°(n - 2)

3. Основа прямої призми — прямокутний трикутник, діагоналі бічних граней призми дорівнюють 4 см, 7 см і 8 см. Знайдіть висоту призми.

А)2 см;    Б) см;    В) см;    Г)3 см;    Д) 1см

4. Знайдіть суму градусних мір всіх двогранних кутів n-кутної призми.

А)360°(n - 1);  Б)360°(n - 2);  В)720°(n - 1);    Г)720°(n + 1);     Д)720°(n - 2)

5. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює кут а з площиною основи. Знайдіть бічне ребро призми.

А)dtga;   Б)dsina;   В)dctga;   Г)d cosa;     Д)

6. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від діагоналі куба до бічного ребра, яке не перетинає її.

7. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює кут а з площиною основи. Знайдіть діагональ основи призми.

8. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом ф. Знайдіть площу діагонального перерізу призми.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. У куб. ребро якого дорівнює 1, вписано кулю і описано кулю навколо нього. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (A—Д).

1   радіус кулі, вписаної в куб                                   А       

2     радіус кулі, описаної навколо нього                    Б       

3     діагональ куба                                                       В       

4     радіус кола, описаного навколо грані куба          Г     0.5

5                                                                                   Д      

10. Знайдіть діагональ (у см) правильної чотирикутної призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 8 см, а ребро основи — 6 см.

11. Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює 2 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть бічне ребро (у см).

12. В основі прямокутного паралелепіпеда лежить квадрат. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 20 см. Знайдіть ребро (у см) основи паралелепіпеда, якщо діагональ бічної грані дорівнює 16 см.