група      №7         алгебра і початки аналізу     урок  №61

28.04.2023

Тема уроку:   Логарифмічні нерівності

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=xQhtiAlScx4

2. Законспектуйте і вивчіть

ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ.

По аналогії з рівняннями, нерівності називають логарифмічними, якщо в цю нерівність невідома входить лише під знаком логарифма.

1. Нерівності виду log_a x ≥ b, log_a x > b, log_a x ≤ b, log_a x < b

При розв’язуванні нерівностей виду log_ax ≥ b, log_ax > b, log_ax ≤ b, log_ax < b можна користуватися наступними принципами:

1) якщо а > 1, то при переході до нерівності-неслідну знак нерівності залишимо без змін; якщо 0 < а < 1, то знак нерівності змінюємо на протилежний.

2) якщо в отриманій нерівності-неслідну є гарантія виконання ОДЗ: х > 0, то отриману нерівність нічим не доповнюємо; якщо такої гарантії немає, то доповнюємо дану нерівність умовою х > 0.

Покажемо (у вигляді схеми) як дані принципи використовуються, наприклад, при розв’язуванні нерівності log_a х > b.

log_ax ≥ b a > 0, a ≠ 0, b – будь-яке число

Якщо    0 < а < 1 то  Знак нерівності змінюється на протилежний

0 < x ≤ a^b

      Якщо    а > 1     то   Знак нерівності не змінюється

x ≥ a^b

Аналогічно розв’язуються нерівності, у яких замість х, у нерівність входить f(x).

Приклад. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання.

2.Нерівності виду log_a f(x) ≥ log_a g(x), log_a f(x) > log_a g(x).

Подамо метод розв’язування нерівності log_af(x) ≥ log_ag(x) у вигляді таблиці:

log_af(x) ≥ log_ag(x)

Якщо       0 < а < 1  то    Знак нерівності змінюється на протилежний

     Якщо     а > 1   то   Знак нерівності не змінюється

Нерівність виду log_a f(x) > log_a g(x) розв’язується аналогічно.

Приклад. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Оскільки 0 < 1/3 < 1, то знак нерівності змінюємо на протилежний х – 2 ≤ 2х - 3. Крім того треба врахувати х – 2 > 0 (тоді умова 2х - 3 > 0 буде виконуватися автоматично). Отже, нерівність рівносильна системі:

2) Оскільки 7 > 1, то знак нерівності не змінюємо х² - 2 > х. Крім того треба врахувати х > 0 (умова х² - 2 > 0 виконується автоматично).

Отже, маємо:

Розв’язки першої нерівності: х < -1 і х > 2 (мал. 49 — схема вгорі). Враховуючи х > 0, маємо розв’язки: х > 2.

Отже, розв’язком початкової нерівності є множина: х > 2.

3. Розв'яжіть тест

Запитання 1

Розв'язати нерівність:

log5 (x - 3) < 2

варіанти відповідей

 

( - 3; 28)

 

 

(3; 28)

 

 

(5; 27)

 

 

(- 4; 8)

Запитання 2

Розв'язати нерівність:

log0,5 (2x - 4) > - 1

варіанти відповідей

 

(2; 3)

 

 

(- 2; 5)

 

 

(2; 4)

 

 

(4; 5)

Запитання 3

Розв'язати нерівність:

log0,5 x2 > log0,5 3x

варіанти відповідей

 

(1; 4)

 

 

(2; 5)

 

 

(0; 4)

 

 

(0; 3)

Запитання 4

Розв'язати нерівність:

log4 (x + 1) + log4 x < log4 2

варіанти відповідей

 

(1; 4)

 

 

(1; 2)

 

 

(0; 1)

 

 

(0; 3)

Запитання 5

Розв'язати нерівність:

log2 (x2 + 3х) ≤ 2

варіанти відповідей

 

(- 4; - 3)⋃(0; 1⌉

 

 

⌈- 4; - 3)⋃(0; 1⌉

 

 

(- 4; - 3)⋃(0; 1)

 

 

⌈- 4; - 2)⋃(0; 1⌉

Запитання 6

Розв'язати нерівність:

log0,4 x + log0,4( x - 1) ≥ log0,4 (x + 3)

варіанти відповідей

 

(1; 3⌉

 

 

(0; 4⌉

 

 

(-1; 3⌉

 

 

(-1; 1⌉

Запитання 7

Розв'язати нерівність:

log32 x - 3 log3x > -2

варіанти відповідей

 

(0; 2⌉∪(4; +∞)

 

 

(0; 1)∪(3; +∞)

 

 

(0; 2)∪(4; +∞)

 

 

(0; 3)∪(4; +∞)

 група №7    геометрія урок №53

27.04.2023

 Тема уроку:   Розв'язування задач з теми " Перерізи многогранників"

1. Передивіться відеоурок

https://znayshov.com/OnlineResource/10klas/heometriia

2. Розв'яжіть задачі

1) Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 8 см. Через сторону основи призми проведено переріз, який утворює кут 60° із площиною основи і перетинає бічне ребро. Знайдіть площу цього перерізу.

 2) Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 6 см. Через сторону основи призми проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро. Знайдіть площу цього перерізу.

3) Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 4 см. Через сторону основи призми проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро. Знайдіть площу цього перерізу.

4) Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 9 см і 12 см, а висота дорівнює 3 см. Знайдіть: 

1) площу діагонального перерізу паралелепіпеда; 

2) площу повної поверхні паралелепіпеда.  

 група  № 7 алгебра і початки аналізу        урок №60

26.04.2023

 Тема уроку:   Розв'язання логарифмічних рівнянь

1. Опрацюйте  відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=88qEfP3Xwf4

2. Законспектуйте і запам'ятайте

При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція має вигляд у = log_а(f(х)), а > 1, а ≠ 1, то слід вважати

 f(x) > 0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).

Наприклад: якщо у = lg(x² -5x + 6), то x² - 5X + 6 > 0, тобто 

D(y) = (-∞; 2)(3; + ∞).

2. Якщо функція має вигляд у = log _f(x) b, b > 0, то слід вважати  (основа логарифма може бути тільки додаток) і відмінною від одиниці).

Наприклад: якщо y = log_x-110, то  тобто D(у) = (1; 2)(2; + ∞).

Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь

- Розв’яжіть рівняння log₃ (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2х + 1 = 3², 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log₃ (2 ∙ 4 + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 4.

- Розв’яжіть рівняння log₃ х = log₃ (6 - х²).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає

х = 6 - х²; х² + х - 6 = 0; х₁ = -3; х₂ = 2.

Перевірка:

1) число - 3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log3 (- 3) — не визначений;

2) log₃х = log₃2; log₃(6 - х²) = log₃(6 - 2²) = log₃2.

Відповідь: 2.

- Розв’яжіть рівняння log_x+1 (2x² + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2x² + 1 = (х + 1)²; 2x² + 1 = х² + 2х + 1; х² - 2х = 0; х₁ = 0; х₂ = 2.

Перевірка:

1) значення x = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма x + 1 не повинна дорівнювати 1;

2) log₂₊₁ (2 ∙ 2² + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 2.

Розглянемо ще два методи розв'язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад : Розв’яжіть рівняння log²₂ х - 3 log₂ х = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ х через у. Дане рівняння набуває вигляду:

у² - 3у = 4; у² - 3у - 4 = 0; у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂x = 4, log₂x = -1; x = 2⁴, x = 2^-1; x = 16, x = .

Перевірка:

1) log²₂16 - 31og₂ 16 = 16 -12 = 4;

2) log²₂ - 3log₂  = 1 + 3 = 4.

Відповідь: 16, .

2. Метод потенціювання.

Приклад:. Розв’яжіть рівняння log₅ (x - 1) + log₅ (х - 2) = log₅ (х + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅ ((х - 1 )(х - 2)) = log₅ (х + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2;

х² - 2х - х + 2 = х + 2; х² - 4х = 0; х(х - 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1) значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅ (х - 1) і log₅ (х - 2) не мають змісту при х = 0;

2) log₅(х - 1) + log₅(х - 2) = log₅(4 - 1) + log₅(4 - 2) = log₅3 + log₅2 = log₅ (2 ∙ 3) = log₅ 6.

Отже, x = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Розв'яжіть рівняння   

а)

б)    lg (x-4)=1

 4.  Виконайте вправи

5. Домашня робота (фото виконаних робіт прикріпити у класрум)

1. Розв’язати рівняння: 9^x = 27.

2. Знайти корені рівняння: 

3. Розв’язати рівняння: 

4. Розв’язати рівняння: log ₂ х = 3.

5. Знайти корені рівняння: 

6. Розв’язати рівняння: 

7. Розв’язати рівняння:  Якщо рівняння має кілька коренів, записати у відповідь їх добуток.

 група  № 7     геометрія   урок №52

21.04.2023

Тема уроку:Розв'язання задач і вправ з теми    "Перерізи многогранників"

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=UxIbJSsEVpY      частина 2

https://www.youtube.com/watch?v=2rmqt6s86gA              частина 1

2. Розв'яжіть задачі

1. На рисунку 1 зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих лежить у площині ABB₁?

A. B₁C₁.

Б. AD.

В. BC₁.

Г. A₁B.

2. Скільки всього різних площин можна провести через медіану правильного трикутника і точку перетину його бісектрис?

А. Одну.

Б. Дві.

В. Жодної.

Г. Безліч.

3. Три вершини прямокутника належать площині α. Укажіть правильне твердження.

A. Точка перетину діагоналей прямокутника не належить площині α.

Б. Будь-яка пряма, яка проходить через точку перетину діагоналей прямокутника, лежить у площині α.

B. Усі сторони прямокутника лежать у площині α.

Г. радіус кола, описаного навколо прямокутника, не лежить у площині α.

4. Скільки всього різних площин можна провести через точки A, B і C, якщо AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см?

A. Одну.

Б. Дві.

В. Три.

Г. Безліч.

5. На ребрах BB₁ і DD₁ прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ позначено відповідно точки E і F. Укажіть прямі, які може перетинати пряма EF.

A. AC і A₁C₁.

Б. BD і B₁D₁.

В. AD і В₁C₁.

Г. AB і C₁D₁.

Достатній рівень навчальних досягнень

6. На рисунку 2 зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Установіть відповідність між парою площин (1—4) та прямою перетину (A—Д) цієї пари площин.

1	ABB1 і BCD	A	AD
2	AA1D і ABC	Б	B1C1
3	A1C1D1 і BB1C1	В	AB
4	CC1D і AA1D1	Г	C1D1
		Д	DD1

7. Усі ребра тетраедра SABC дорівнюють 10 см, SL і SN — бісектриси, точки L і N лежать відповідно на ребрах AB і BC.

1) Знайдіть периметр перерізу цього тетраедра площиною, яка проходить через точки L, N і S.

2) Знайдіть площу перерізу цього тетраедра площиною, яка проходить через точки L, N і S.

Наведіть повне розв'язання задач 8 і 9.

8. Площина α проходить через вершини A і C трикутника ABC та точку N — середину сторони AB. Доведіть, що центр кола, вписаного в трикутник ABC, належить площині α.

Високий рівень навчальних досягнень

9. Побудуйте переріз куба ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, що проходить через вершину C та точки E і F, які належать відповідно ребрам CD і BB₁, причому CE = ED, B1F = 2BF.

3. Д/з Виконайте тест 

Запитання 1

Що таке діагональний переріз призми?

варіанти відповідей

 

Переріз, який паралельний основам призми

 

 

Переріз, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані

 

 

Переріз, що паралельний бічній грані призми

Запитання 2

Яка фігура не може бути перерізом чотирикутної піраміди?

варіанти відповідей

 

трикутник

 

 

чотирикутник

 

 

шестикутник

Запитання 3

Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда, якщо площі його діагональних перерізів дорівнюють 6 см2 і 8 см2.

варіанти відповідей

 

200 см2

 

 

48 см2

 

 

96 см2

 

 

20 см2

Запитання 4

Що таке діагональний переріз піраміди?

варіанти відповідей

 

Переріз, що проходить через сторону основи

 

 

Переріз, що проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані

 

 

Переріз, що проходить через одну із вершин основи

Запитання 5

Знайдіть площу діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а бічне ребро - 10 см.

варіанти відповідей

 

80 см2

 

 

8√34 см2

 

 

834 см2

 

 

0,8 см2

Запитання 6

Що таке січна площина многогранника?

варіанти відповідей

 

Площина, що ніколи не перетинає заданий многогранник

 

 

Площина, що проходить через ребро основи заданого многогранника

 

 

Будь-яка площина, по обидва боки від якої є точки даного многогранника.

 

 

Будь-яка площина

Запитання 7

Січна площина перетинає грані многогранника по...

варіанти відповідей

 

прямих

 

 

променях

 

 

паралельних прямих

 

 

відрізках