група  № 7   алгебра і початки аналізу       урок №59

20.04.2023

Тема уроку: Логарифмічні рівняння

1. Опрацюйте відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=rHy1Rc_yNbk

2. Законспектуйте і вивчіть

Рівняння називають логарифмічним, якщо його невідомі входять лише під знаками логарифмів.

Приклади логарифмічних рівнянь:  тощо.

Розглянемо деякі види логарифмічних рівнянь та методи їх розв’язання.

Рівняння log_a х = b, де a > 0, а ≠ 1, b — будь-яке число можна розв’язати використовуючи означення логарифма. Отримаємо: х = а^b.

Аналогічно розв’язуються рівняння, в яких замість х у рівняння входить f(x).

Приклад. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. 

Рівняння виду  рівносильне системі  або системі 

Приклад. Розв’яжіть рівняння: lg(х² + 2х - 7) = lg(x - 1).

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі:

Розв’язками рівняння х² + х - 6 = 0 є числа х ₁ = 2; х₂ = -3. Але лише перший з них задовольняє умову х > 1. Отже х = 2 - єдиний корінь початкового рівняння.

Рівняння виду  рівносильне рівнянню 

Приклад. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. Рівняння рівносильне такому 3 ∙ 2^х - 4 = 2^х. Далі маємо 

При розв’язуванні більш складних логарифмічних рівнянь можна дотримуватися наступної схеми:

1) Знаходимо ОДЗ рівняння.

2) За допомогою формул логарифмування зводимо рівняння до виду log_af(x) = b або до виду log_af(x) = log_ag(x).

3) Розв’язуємо отримане рівняння.

4) Перевіряємо корені на предмет входження в ОДЗ початкового рівняння та даємо відповідь.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. ОДЗ рівняння знайдемо з системи  тобто х > 0.

Маємо  

ОДЗ рівняння задовольняє лише перший корінь. Отже, х = 0,5 — єдиний корінь рівняння.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. ОДЗ рівняння знайдемо із системи 

Домножимо ліву і праву частини рівняння на 2, щоб позбутися дробів:

Використаємо формулу логарифмування:

Тоді  x₁ = 10; х₂ = -2. ОДЗ рівняння задовольняє лише перший корінь. Отже, x = 10 — єдиний корінь рівняння.

Часто логарифмічні рівняння зводяться до алгебраїчних заміною 

log_a f(х) = t.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Заміна  Маємо 

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Маємо  Заміна log ₂₇x = t. Тоді

1) t ₁ = -1; log ₂₇x = -1; х = 27^-1 ; х₁= 1/27.

2) t ₂= 2/3; log ₂₇ х = 2/3; х = 27^2/3 ; x ₁ = (З³)^2/3 ; х₂ = 9.

Отже, 

3. Виконайте тест

Запитання 1

Розв'язком якого з рівнянь є число 125?

варіанти відповідей

 

log5x=2

 

 

log5x=3

 

 

log3x=5

 

 

lgx=3

Запитання 2

Розв'яжіть рівняння log3x=2

варіанти відповідей

 

6

 

 

7

 

 

8

 

 

9

Запитання 3

Розв'яжіть рівняння lgx=-2

варіанти відповідей

 

2

 

 

10

 

 

-10

 

 

-100

 

 

0.01

Запитання 4

Розв'яжіть рівняння log3 (2x −1) = 2

варіанти відповідей

 

4

 

 

5

 

 

4,5

 

 

15

Запитання 5

Чому дорівнює 25?

варіанти відповідей

 

25

 

 

10

 

 

32

 

 

23

Запитання 6

Яким є ОДЗ (область допустимих значень) рівняння log6(2x-4)=7

варіанти відповідей

 

(-∞;2)

 

 

(2;∞)

 

 

(-2;∞)

 

 

(-∞;6)

Запитання 7

Розв'яжіть рівняння log32x - 5log3x= -6

варіанти відповідей

 

а)2; 3

 

 

б)-2; -3

 

 

в)9; 27

 

 

г)1/9; 1/27

Запитання 8

Розв'язати рівняння: lg(43x-1-3)=lg13

варіанти відповідей

 

1∕3

 

 

3

 

 

2

 

 

1

Запитання 9

Розв'язати рівняння (log2x)2+log2x2=8

варіанти відповідей

 

-4;2

 

 

1∕16;4

 

 

4

 

 

2

Запитання 10

Розв'яжіть рівняння lg (X - 1) lg (4 - X) lg (X + 5) = 0

варіанти відповідей

 

-5; 1; 4

 

 

1; 4

 

 

2; 3

 

 

-4; 2; 3

 

 

2

Запитання 11

Розв'яжіть рівняння log7log3log2x=0

варіанти відповідей

 

1

 

 

3

 

 

7

 

 

8

Запитання 12

Розв'яжіть рівняння 

log 2 (X2 - 3X) = 1 + log2 5

варіанти відповідей

 

0; 3

 

 

-3; 3

 

 

5

 

 

-5; 2

 

 

-2; 5