група  № 7 алгебра і початки аналізу        урок №60

26.04.2023

 Тема уроку:   Розв'язання логарифмічних рівнянь

1. Опрацюйте  відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=88qEfP3Xwf4

2. Законспектуйте і запам'ятайте

При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція має вигляд у = log_а(f(х)), а > 1, а ≠ 1, то слід вважати

 f(x) > 0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).

Наприклад: якщо у = lg(x² -5x + 6), то x² - 5X + 6 > 0, тобто 

D(y) = (-∞; 2)(3; + ∞).

2. Якщо функція має вигляд у = log _f(x) b, b > 0, то слід вважати  (основа логарифма може бути тільки додаток) і відмінною від одиниці).

Наприклад: якщо y = log_x-110, то  тобто D(у) = (1; 2)(2; + ∞).

Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь

- Розв’яжіть рівняння log₃ (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2х + 1 = 3², 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log₃ (2 ∙ 4 + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 4.

- Розв’яжіть рівняння log₃ х = log₃ (6 - х²).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає

х = 6 - х²; х² + х - 6 = 0; х₁ = -3; х₂ = 2.

Перевірка:

1) число - 3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log3 (- 3) — не визначений;

2) log₃х = log₃2; log₃(6 - х²) = log₃(6 - 2²) = log₃2.

Відповідь: 2.

- Розв’яжіть рівняння log_x+1 (2x² + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2x² + 1 = (х + 1)²; 2x² + 1 = х² + 2х + 1; х² - 2х = 0; х₁ = 0; х₂ = 2.

Перевірка:

1) значення x = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма x + 1 не повинна дорівнювати 1;

2) log₂₊₁ (2 ∙ 2² + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 2.

Розглянемо ще два методи розв'язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад : Розв’яжіть рівняння log²₂ х - 3 log₂ х = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ х через у. Дане рівняння набуває вигляду:

у² - 3у = 4; у² - 3у - 4 = 0; у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂x = 4, log₂x = -1; x = 2⁴, x = 2^-1; x = 16, x = .

Перевірка:

1) log²₂16 - 31og₂ 16 = 16 -12 = 4;

2) log²₂ - 3log₂  = 1 + 3 = 4.

Відповідь: 16, .

2. Метод потенціювання.

Приклад:. Розв’яжіть рівняння log₅ (x - 1) + log₅ (х - 2) = log₅ (х + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅ ((х - 1 )(х - 2)) = log₅ (х + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2;

х² - 2х - х + 2 = х + 2; х² - 4х = 0; х(х - 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1) значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅ (х - 1) і log₅ (х - 2) не мають змісту при х = 0;

2) log₅(х - 1) + log₅(х - 2) = log₅(4 - 1) + log₅(4 - 2) = log₅3 + log₅2 = log₅ (2 ∙ 3) = log₅ 6.

Отже, x = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Розв'яжіть рівняння   

а)

б)    lg (x-4)=1

 4.  Виконайте вправи

5. Домашня робота (фото виконаних робіт прикріпити у класрум)

1. Розв’язати рівняння: 9^x = 27.

2. Знайти корені рівняння: 

3. Розв’язати рівняння: 

4. Розв’язати рівняння: log ₂ х = 3.

5. Знайти корені рівняння: 

6. Розв’язати рівняння: 

7. Розв’язати рівняння:  Якщо рівняння має кілька коренів, записати у відповідь їх добуток.