група   № 2         факультатив

07.04.2023

Тема уроку: Комбінаторне правило множення і додавання

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=NORqFoG5pW0

2. Повторіть теорію та розберіть задачі

Теорема про ймовірність суми подій

Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Якщо А ∙ В = , то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Приклад 2. Якщо спортсмен стріляє по мішені, яка розділена на дві частини, і ймовірність попадання в першу частину дорівнює 0,45, а в другу — 0,35, то ймовірність попадання в мішень становитиме 0,45 + 0,35 = 0,8.

Із теореми випливають наслідки.

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А₁, А₂,... А_n, які утворюють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці

Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

Р(А) + Р() = 1.

Розглянемо приклади розв’язання задач.

Приклад У скрині лежать 2 чорних, 3 червоних, 9 зелених, 6 синіх кульок. Виймають навмання 1 кульку. Яка ймовірність того, що вона не чорна?

Розв’язання

Нехай подія А — «поява нечорної кульки»; А₁ — «поява чорної кульки»; А₂ — «поява червоної кульки»; А₃ — «поява зеленої кульки»; А₄ — «поява синьої кульки». Тоді А = А₂+ А₃ + А₄, причому А₂, А₃, А₄ — несумісні,

P(A₂) =  , P(A₃) = , P(A₄) = .

За теоремою ймовірності суми несумісних подій отримуємо

Р(А) = Р(А₂) + Р(А₃) + Р(А₄) =  +  +  =  = 

Відповідь: .

Приклад 4. У коробці є 20 деталей, із яких 15 — стандартні. Знайдіть імовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоча б 1 стандарта.

Розв’язання

Подія А — «серед вибраних деталей є хоча б 1 стандартна», подія  — усі вибрані деталі не стандарті. Згідно з наслідком 2 маємо Р(А) + Р() = 1. Звідси Р(А) = 1 - Р().

Знайдемо Р(). Загальне число способів, якими можна вибрати 3 деталі із 20 деталей, дорівнює . Число нестандартних деталей 20 - 15 = 5, із цього числа деталей можна m =  способами вибрати З нестандартні деталі.

Отже, Р().) =  =  =  ∙  = .

Шукана ймовірність Р(А) = 1 - Р().) = 1 -  = .

Відповідь: .

Теорема про ймовірність добутку полій

Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні.

Імовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В).

Якщо події А₁, А₂, А₃,... А_n незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них С може бути виражена через імовірність цих подій формулою

Р(C) = 1 - (1 - P(A₁)) ∙ (1 - Р(A₂) ∙...∙ (1 - Р(A_n)).

Розглянемо застосування цієї теореми до розв’язування задач.

Задача 4. Знайдіть імовірність одночасного випадання герба на двох монетах при одному киданні двох монет.

Розв'язання

Подія А — «випав герб на першій монеті», Р(А) = .

Подія В — «випав герб на другій монеті», Р(В) = .

Оскільки події А і В незалежні, то Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В) =  ∙  = .

Відповідь: .

Задача 5. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного по мішені. Імовірність влученнь у мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що обидва мисливці влучать у ціль.

Розв’язання

Подія А — «перший мисливець влучив у ціль», Р(А) = 0,7.

Подія В — «другий мисливець влучив у ціль», Р(В) = 0,8.

Подія С = А ∙ В — «обидва мисливці влучили у ціль», тоді

Р(С) = Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Задача 6. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного. Імовірність влучення в ціль відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що

а) лише один із мисливців влучить у ціль;

б) жодний із мисливців не влучить у ціль;

в) хоча б один із мисливців влучить у ціль.

Розв'язання

Подія А — «перший мисливець влучив у ціль», Р(А) = 0,7.

Подія В — «другий мисливець влучив у ціль», Р(В) = 0,8.

а) С = А ∙  +  ∙ В — «лише один із мисливців влучив у ціль», тоді

Р(С) = Р(А ∙ ) + Р( ∙ В) = Р(А) ∙ Р() + Р() ∙ Р(В) = 0,7(1 - Р(В)) + (1 - Р(А)) ∙ 0,8 =

= 0,7 ∙ (1 - 0,8) + (1 - 0,7) ∙ 0,8 = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38;

б) D =  ∙  — «жоден із мисливців не влучив у ціль», тоді

P(D) = Р( ∙ ) = Р() ∙ Р() = (1 - Р(А)) ∙ (1 - Р(В)) = (1 - 0,7) ∙ (1 - 0,8) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06;

в) F =  — «хоча б один із мисливців влучить у ціль»:

P(F) = Р() = 1 - P(D) = 1 - 0,06 = 0,94 (перший спосіб),

F = А ∙  +  ∙ В + А В (другий спосіб), тоді

P(F) =Р(А) ∙ Р() + Р() ∙ Р(В) + Р(А) ∙ Р(В) =

= 0,7 ∙ (1 - 0,8) + (1 - 0,7) ∙0,8 + 0,7 ∙ 0,8 = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 + 0,56 = 0,14 + 0,24 + 0,56 = 0,94.

Відповідь: а) 0,38; б) 0,06; в) 0,94.