група №2 факультатив
11.04.2023
Тема уроку: Перестановки, розміщення, сполучення.
1. Опрацюйте відеоурок
https://www.youtube.com/watch?v=SBYoD7MPmAc
2. Повторіть теорію та проаналізуйте приклади задач
Багато комбінаторних задач можуть бути розв’язані за допомогою двох важливих правил, які називають відповідно правило суми і правило добутку.
Спочатку розглянемо правило суми:
якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а елемент В — r способами (причому будь-який вибір елемента А відрізняється від вибору елемента В), то вибрати А або В можна m + r способами.
Приклад 1. В ящику знаходиться 7 білих і 4 чорних кульки. Тоді вибрати одну кульку: білу або чорну можна 7 + 4 = 11 способами.
Зрозуміло, що правило суми можна розповсюдити на три і більше елементів.
Сформулюємо правило добутку:
якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна вибрати (незалежно від вибору елемента А) — r способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати mr способами.
Приклад 2. У шкільній їдальні є вибір з 3 перших і 5 других блюд. Тоді обід з першого і другого блюда можна обрати 3 ∙ 5 = 15 способами.
Правило добутку розповсюджується на три і більше елементів.
Приклад 3. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1; 2; 3; 4; 5, якщо в числі: 1) цифри не повторюються; 2) цифри повторюються.
Розв’язання.
1) Маємо 5 способів для сотень числа (мал. 129). Після того, як місце сотень заповнене (наприклад, цифрою 1), для десятків залишається 4 способи. Міркуючи далі, для одиниць - 3 способи. Отже, маємо: «5 способів, і після кожного з них — 4, і після кожного з них — 3 способи». За правилом добутку маємо 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 чисел.
2) Якщо цифри у числі повторюються, то на кожне з трьох місць є по 5 варіантів заповнення (мал. 130), і тоді всіх чисел буде 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.
Приклад 4. Скільки парних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 6; 7; 8; 9, якщо в числі цифри не повторюються?
Розв’язання. Парне чотирицифрове число можна отримати, якщо останньою цифрою буде 6 або 8. Чисел, у яких остання цифра 6 буде З ∙ 2 ∙ 1 = 6 (мал. 131), чисел, у яких остання цифра 8 буде також 6. За правилом суми всього парних чисел, що задовольняють умові, буде 6 + 6 = 12.
Факторіалом числа n, де n — ціле невід’ємне число називають добуток всіх натуральних чисел від 1 до n.
Позначають це так n! Отже, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...∙ (n - 1) ∙ n. За означенням приймають 0! = 1. Наприклад, 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.
Приклад. Спростити вираз 6!/5!.
Розв’язання. Маємо 
Розміщення.
Нехай дано множину X з n елементів х1,х2,х n - 1,х n.
Приклад 1. Нехай дано множину Х = {1;2;3}. Тоді по одному можна скласти такі розміщення:
(1), (2), (3) - їх буде 3;
по два можна скласти такі розміщення:
(1;2), (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2) - їх буде 6;
по три можна скласти такі розміщення:
(1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1) - їх буде 6.
Кількість розміщень з n елементів по m позначають Аm n. Можна записати 
Формула для обчислення:
Цю формулу можна запам’ятати за допомогою такого правила:
Аm n є добутком т натуральних чисел, починаючи з n, взятих у порядку спадання.
Наприклад, А4 7 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840.
Аm n можна обчислювати ще й за такою формулою:
Приклад 2. Розклад на день містить 6 уроків. Визначити кількість всіх можливих розкладів при виборі з 9 предметів, при умові, що жоден предмет не стоїть у розкладі двічі.
Розв’язання. Зрозуміло, що таких розкладів буде
А6 9 = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 60480.
Приклад 3. Скільки різних правильних дробів можна скласти з чисел 1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, які використовують для запису чисельника і знаменника дробу?
Розв’язання. Дробів, у яких чисельник не дорівнює знаменнику можна скласти А2 8 штук, але лише половина з них правильні. Отже, шукана кількість дробів 
Перестановки.
Перестановкою з n елементів називають будь-яку впорядковану множину з усіх цих елементів, причому дві такі множини називаються різними, якщо вони відрізняються між собою порядком елементів.
Кількість перестановок з п елементів позначають Р n. З означення випливає, що Р n = Аn n. Тоді враховуючи формулу для Аm n та 0! = 1, маємо 
Отже,
Приклад 1. Скількома способами можна розставити на полиці 6 книжок?
Розв’язання. Очевидно, що шукана кількість способів дорівнює кількості перестановок з 6 елементів (книг): Р6 = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.
Приклад 2. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0; 1; 2; 3, якщо в кожному числі жодна з цифр не повторюється?
Розв’язання. З чотирьох цифр 0; 1; 2; 3 можна утворити Р4 перестановок. Але ті перестановки, які починаються з нуля не будуть записами чотирицифрових чисел, таких перестановок — Р3. Отже, шукана кількість чотирицифрових чисел дорівнює Р4 - Р3 = 4! - 3! = 3!(4 - 1) = 6 ∙ 3 = 18.
Комбінації (сполучення).
Нехай дано множину X з елементів x 1, x 2,..., x п -1, xn.
Комбінацією (сполученням) з n елементів по m (m ≤ n) називають будь-яку під множину Y множини X; причому дві такі підмножини вважають різними, якщо вони відрізняються складом.
Кількість комбінацій з n елементів по m позначають Сm n. Для обчислення Сm n використовують формулу:
Наприклад, 
Приклад. У вазі 6 червоних і 4 білих троянди. Скількома способами з вази можна вибрати: 1) три троянди; 2) дві червоні і одну білу троянду?
Розв’язання. 1) Оскільки порядок вибору не має значення, то вибрати три троянди з 10 можна С3 10 способами.
2) Дві червоні троянди можна вибрати С2 6 способами, а одну білу – C1 4 способами. Тому вибрати дві червоні і одну білу троянди можна способами. Маємо
Якщо в комбінаторній задачі необхідно вибрати т елементів з n, то важливим є питання необхідно враховувати порядок слідування елементів чи ні. Від цього залежить яку формулу (комбінаторну схему) необхідно використовувати:
якщо порядок має значення, то використовуємо Аm n, якщо ні — то Сm n. Пропонується наступна задача-схема.
В класі 20 учнів. Скількома способами з цього класу можна вибрати...
старосту й його заступника | двох чергових |
Обов’язки різні! Порядок має значення.
| Обов’язки однакові! Порядок не має значення.
|
Немає коментарів:
Дописати коментар