27.10.2021       ГРУПА №2        Алгебра і початки аналізу

Тема уроку:Точки екстремуму

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=ArWs0aJ3rvk

2. Законспектуйте в зошиті

Теорема 3. Якщо функція y=f(x) має екстремум в точці x=x0, тоді в цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або не існує.

Теорема 4 (достатні умови екстремуму). Нехай функція y=f(x) неперервна на проміжку X і має всередині проміжку стаціонарну або критичну точку x=x0. Тоді:

а ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при x<x0 виконується нерівність f'(x)<0, а при x>x0 — нерівність f'(x)>0, тоді x=x0 — точка мінімуму функції y=f(x));

б ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при x<x0 виконується нерівність f'(x)>0, а при x>x0 — нерівність f'(x)<0, тоді x=x0 — точка максимуму функції y=f(x)) ;

в) якщо у цієї точки існує такий окіл, що в ньому і ліворуч і праворуч від точки x0 знаки похідної однакові, тоді в точці x0 экстремума немає.

Для зручності домовимося внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю, називати стаціонарними, а внутрішні точки області визначення функції, в яких функція неперервна, але похідна не існує, — критичними.

Отже, щоб визначити екстремуми (мінімуми і максимуми) функції f(x), спочатку потрібно знайти критичні точки, в яких  f'(x)=0 або ж похідна не існує (і які належать області визначення функції). Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак. (Критичні (стаціонарні) точки ділять реальну числову пряму на інтервали з незмінним знаком похідної. Щоб визначити знак похідної, достатньо обчислити значення похідної функції в будь-якій точці відповідного інтервалу).

Алгоритм дослідження неперервної функції y=f(x) на монотонність і екстремуми:

1. знайти похідну f'(x).

2. знайти стаціонарні та критичні .

3. відзначити стаціонарні та критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на одержаних проміжках.

4. спираючись на теореми 1, 2 і 4, зробити висновки про монотонність функції і про її точки екстремуму.

Отже: якщо похідна функції в критичній точці:

1) змінює знак з від'ємного на додатний, тоді це точка локального мінімуму;
2) змінює знак з додатного на від'ємний, тоді це точка локального максимуму;
3) не змінює знак, тоді в цій точці немає екстремуму.

 

Приклад:

Знайти екстремуми функції f(x)=x2x−1.

Похідна цієї функції - f'(x)=x(x−2)(x−1)2, отже, критичні точки функції, це x=0 і x=2. Точка x=1 не належить області визначення функції.

Вони ділять реальну числову пряму на чотири інтервали: (−∞;0)∪(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞). Знак першого інтервалу додатний (наприклад, f(−1)=0.75). Другого - від'ємний, третього - від'ємний, четвертий - додатний.

(−∞;0)	(0;1)	(1;2)	(2;+∞)
+	-	-	+

 

Отже, похідна змінює знак тільки в точках x=0 і x=2.
У точці x=0 вона змінює знак з додатного на від'ємний, отже, це точка локального максимуму зі значенням функції f(0)=0.
У точці x=2 вона змінює знак з від'ємного на додатний, отже, це точка локального мінімуму зі значенням функції f(2)=4.

3. Розв'яжіть приклади

Приклад 1.Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х3 – 3х.

Розв'язання

Область визначення даної функції — R.

Знайдемо f`(x): f`(x) = (x3 - 3x)' =3х2- 3.

Похідна існує для всіх x є R.

Знайдемо стаціонарні точки: f(x) = 0, 3х2 - 3 = 0, х2 — 1 = 0, x = ±1.

Наносимо область визначення та стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 48) і визначимо знак похідної на кожному проміжку:

f`(-2) = 3 · (-2)2 - 3 = 9 > 0;

f`(0) = 3 · (0)2 - 3 = -3 < 0;

f`(2) = 3 · (2)2 - 3 = 9 > 0.

Точка χ = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1.

Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin = 1.

Відповідь: хmax= -1, хmin= 1.

Приклад 2. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 - 4х3.

Розв'язання

Область визначення функції — R.

Знайдемо похідну:

f`(x)= (x4 – 4х3) = 4x3 – 12х2 = 4x2(х – 3).

Знайдемо стаціонарні точки: f`(x) = 0, 4x2(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.

Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кожному інтервалі.

x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: хmin= 3.

Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.

Отже, уmin = f(3) = 34 – 4 · 33 = – 27.

Відповідь: уmin = f(3) = – 27.

4. Виконайте тести

Запитання 1

Знайдіть критичні точки функції f(x) = х3 - 3х

варіанти відповідей

 

0; 3

 

 

-1;1

 

 

0;-3;3

 

 

√3;0;√3

Запитання 2

Знайдіть точки екстремуму функції: f(x)=2x3-3x2-12x

варіанти відповідей

 

xmax=2; xmin=-1

 

 

xmax=-2; xmin=1

 

 

xmax=-1; xmin=2

 

 

xmax=1; xmin=2

Запитання 3

Знайдіть точки екстремуму функції: f(x)=2x2-x4

варіанти відповідей

 

xmax=-2; xmin=0; xmax=1

 

 

xmax=-1; xmin=0; xmin=1

 

 

xmin=-1; xmax=0; xmax=1

 

 

xmax=-1; xmin=0; xmax=1

Запитання 4

Знайдіть точки екстремуму функції: f(x)=(x2-x+4)/(x-1)

варіанти відповідей

 

xmin=-1; xmax=3

 

 

xmin=-1; xmax=-3

 

 

xmax=-1; xmin=3

 

 

xmax=1; xmin=-3

Запитання 5

Знайдіть екстремуми функції: f(x)=x4-8x2+5

варіанти відповідей

 

xmax=0; xmin=2

 

 

ymin=-11; ymax=0; ymin=11

 

 

ymin=-11; ymax=0

 

 

ymin=-11; ymax=5

Запитання 6

Функція y=f(x) диференційовна на множині дійсних чисел. На рисунку зображено графік її похідної y=f'(x). Укажіть точки максимуму і мінімуму функції.

варіанти відповідей

 

xmin=-5; xmin=4; xmax=1; xmax=6

 

 

xmin=-5; xmin=3; xmax=-2; xmax=5

 

 

xmin=-5; xmin=4; xmax=1; xmax=5

 

 

xmin=-7; xmin=-5; xmax=0; xmax=6

Запитання 7

На рисунку зображено графік функції y=f(x) визначеної на множині всіх дійсних чисел. Які із заданих нерівностей є правильні?

варіанти відповідей

 

f'(-3)=0

 

 

f'(-2)=0

 

 

f'(1)=0

 

 

f'(3)=0

Запитання 8

Знайти максимум функції у=-12х + х3

варіанти відповідей

 

-2

 

 

-16

 

 

16

 

 

2

Запитання 9

Знайдіть критичні точки функції:f(x)=2x3+2.5x2-x.

варіанти відповідей

 

-1;1/6

 

 

1; -1/6

 

 

-1;-1/6

 

 

1; 1/6

Запитання 10

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:f(x)=х3+3х2-9х

варіанти відповідей

 

Зростає на (-∞; -3] і [-1; +∞), спадає на

[-3;-1]

 

 

Зростає на (-∞; -3] і [1; +∞), спадає на

[-3;1]

 

 

Зростає на (-∞; 9] і [-1; +∞), спадає на

[9;-1]

 

 

Зростає на (-∞; -4] і [-1; +∞), спадає на

[-4;-1]

Запитання 11

Знайдіть мінімум функції f(x)=x+4/x.

варіанти відповідей

 

2

 

 

-2

 

 

4

 

 

-4

__________________________________________________________________________________________________________

27.10.2021 ГРУПА №4 АЛГЕБРА

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань з теми "Функції, їхні властивості та графіки"

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=GJbaUb1S8Xk

2. Повторіть теорію

1.Означення числової функції.
2. Що називають областю визначення і областю значень функції.
3. Які способи задання функції вам відомі.
4. Що називається графіком функції.

5.Яка функція називається зростаючою (спадною) на даному проміжку.
6. Що таке нулі функції.
7. Що таке проміжки знакосталості функції.
8. Алгоритм дослідження функції на парність.

2. Виконайте самостійну роботу

.
________________________________________________________________________________

27.10.2021 ГРУПА №9 Геометрія

Тема уроку: Паралельність площин

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=96LImSHPBIM

2. Дайте відповіді на питання

1)  Сформулюйте властивість ліній пере­тину двох паралельних площин тре­тьою площиною.

2)  Точка О лежить між паралельни­ми площинами α і β (рис. 71а). Дві прямі а і b, які проходять через точку О, перетинають площину α в точках A1, B1, а площину β — в точках А2, В2. Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

 

а) якщо А1В1 = А2В2, то обов'язково А1В2 = В1А2;

б) прямі А1В1 і А2B2 мимобіжні;

в) прямі A1B1 і А2B2 паралельні;

г) прямі а і b лежать в одній площині.

3)  Площини α і β паралельні. Мимобіжні прямі а і b перетинають площину α в точках А1, В1, а площину β — в точках А2, В2 (рис. 71б). Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

а) прямі А1В2 і В1А2 перетинаються;

б) прямі А1В1 і А2В2 паралельні;

в) прямі А1В2 і А2В1 лежать в одній площині;

г) через точки А1, А2, В1, В2 можна провести площину.

4) Сформулюйте властивість паралельних відрізків, які лежать між паралельними площинами.

3. Розв'яжіть задачі

   Прямі а і b, які мають спільну точку, пере­тинають три дані паралельні площини α, β, γ в точках A1, А2, A3 і В1, В2, В3 відпо­відно (точка А2 лежить між точками А1 і А3, а точка В2 — між точками В1 і В3) (рис. 74). Укажіть, які з наведених твер­джень правильні, а які — неправильні:

а) прямі А1В2 і А2В3 мимобіжні;

б) пряма а і точки В1 і В3 обов'язково лежать в одній площині;

в) якщо А1А2 = 25 см, В2В3 = 4 см, А2А3 + В1В2 = 20см, то В1В3 = 14 см;

г) А1А3 : А1А3 = В1В2 : В1B2.

 

2. Три паралельні площини α, β, γ перети­нають мимобіжні прямі а і b в точках А1, А2, А3 і В1, В2, В3 (площина β лежить між площинами α і γ) (рис. 75). Ука­жіть, які з наведених тверджень правиль­ні, а які — неправильні:

а) прямі А1В2 і А2В3 можуть бути па­ралельними;

б) прямі В1А2 і В2А3 можуть перетина­тися;

в) А1А2 : А2A3 = В1B2 : В2B3;

г) А1А3 : В1В2 = А1А2 : В1В3.

_____________________________________________

_____________________________________________

27.10.2021                 Група №2                     факультатив 

Тема уроку: Нестандартні тригонометричні рівняння

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=pSf8uDHUs7s

2. Розв'яжіть рівняння

1) Розв’яжіть рівняння 2sin² x + 3sin x - 2 = 0, увівши нову змінну: sin x = t.

2) Продумайте, яку заміну змінних треба зробити, і розв’яжіть рівняння 2cos² x - 5cos x - 3 = 0.ши обидві частини рівності на cos x ≠ 0. Поясніть, чому cos x ≠ 0.

__________________________________________________

___________________________________________________

27.10.2021                Група №14                   факультатив

Тема уроку: Розв'язання тригонометричних рівнянь. 

Самостійна робота

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=5UyMhOAAjow

2. Розв'яжіть самостійно рівняння

варіант 1

   

  варіант  2