група  № 7          алгебра і початки аналізу

30.03.2023

Тема уроку: Властивості та графік логарифмічної функції  

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=tY-iPSbafOk

2. Законспектуйте і вивчіть

Функцію, яка задана формулою у = log _a х, де а > 0, а ≠ 1, називають логарифмічною функцією.

Приклади логарифмічної функції:

 тощо.

Оскільки вираз log_a х (де а > 0, а ≠ 1) має зміст лише для додатних значень х, то областю визначення функції у = log_a х є проміжок (0;+∞).

Розглянемо функцію у = log₂ х. Складемо таблицю значень функції для кількох значень аргументу х > 0.

x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8
y	-3	-2	-1	0	1	2	3

Оскільки х > 0, то графік не перетинає вісь ординат. Графік функції у = log _a х зображено на малюнку 87.

При всіх значеннях а > 1 графік функції у = log_a х схожий на графік функції у = log ₂ х.

Розглянемо функцію у = log _1/2 х. Складемо таблицю значень для аргументу х > 0.

Якщо х=1/8; 1/4; 1/2; 1; 2; 4; 8 то у відповідно дорівнює  3; 2; 1; 0; -1; -2; -3

Зауважимо, що графік функції у = log _1/2 х також не перетинає вісь ординат. Графік функції у = log _1/2 х зображено на малюнку 88.

При всіх значеннях 0 < а < 1 графік функції у = log_a х схожий на графік функції у = log _1/2 х.

Зауважимо, що функції у = а^х і y = log_a х, що мають одну й ту ж саму основу, є оберненими одна до одної.

Властивості y = log_a х:

0 < a < 1

1.Область визначення   (0;+∞)

2. Область значень R

3.Парність, непарність - ні парна, ні непарна

4.Періодичність - неперіодична

5.Нулі функції - х=1

6. У > 0  якщо 0 < х < 1

7. У < 0 якщо  х > 1

8.Зростає на проміжку - -

9. Спадає на проміжку - (0;+∞)

10. Найбільше значення - -

11.Найменше значення - -

          а > 1

1.Область визначення   (0;+∞)

2. Область значень R

3.Парність, непарність - ні парна, ні непарна

4.Періодичність - періодична

5.Нулі функції - х=1

6. У > 0  якщоx > 1

7. У < 0 якщо 0 < х < 1

8.  Зростає на проміжку -   (0;+∞)

9. Спадає на проміжку - -

10.Найбільше значення - -

11.Найменше значення - -

3. Виконайте тест

Знайдіть log525

варіанти відповідей

 

5

 

 

2

 

 

10

 

 

20

Запитання 2

Знайдіть log232

варіанти відповідей

 

5

 

 

30

 

 

16

 

 

4

Запитання 3

Знайдіть log√39

варіанти відповідей

 

81

 

 

⅓

 

 

1

 

 

4

Запитання 4

Знайдіть log6⅙

варіанти відповідей

 

2

 

 

3

 

 

√6

 

 

-1

Запитання 5

Знайдіть lg1000

варіанти відповідей

 

10

 

 

3

 

 

30

 

 

2

Запитання 6

Знайдіть log5125

варіанти відповідей

 

25

 

 

3

 

 

5

 

 

15

Запитання 7

Знайдіть log42

варіанти відповідей

 

¼

 

 

√2

 

 

½

 

 

⅛

Запитання 8

Обчисліть lg4+lg25

варіанти відповідей

 

100

 

 

3

 

 

2

 

 

10

Запитання 9

Обчисліть log217+log213

варіанти відповідей

 

1

 

 

10

 

 

4

 

 

52

 група   № 4    факультатив

29.03.2023

Тема уроку: Властивості показникової функції 

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=Rsr6TWBnzPM

2. Законспектувати і вивчити

Функцію, задану формулою у = а^х (де а > 0, а ≠ 1) називають показниковою функцією.

Приклади показникових функцій:

 тощо.

Розглянемо функцію у = 2^х. Складемо таблицю значень функції для кількох цілих значень аргументу.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

Зауважимо, що 2^х > 0 для всіх значень х, тому графік функції у = 2^х не перетинає вісь абсцис. Графік функції у = 2^х зображено на малюнку 85. При всіх значеннях а > 1 графік функції у = а^х схожий на графік функції у = 2^х.

Розглянемо функцію у = (1/2)^x. Складемо таблицю значень для кількох цілих значень аргументу.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8

Оскільки (1/2)^x > 0 для всіх значень х, то графік функції у = (1/2)^x не перетинає вісь абсцис. Графік функції зображено на малюнку 86. При всіх значеннях 0 < а < 1 графік функції у = а^х схожий на графік функції у = (1/2)^x.

  

Сформулюємо основні властивості показникової функції.

1. Область визначення — множина R дійсних чисел.

2. Область значень — множина R+ всіх додатних дійсних чисел.

3. При a>1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0<a<1 функція спадає на множині R.

ax1<ax2, якщо x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, якщо x1<x2,(0<a<1)

4. При будь-яких дійсних значеннях x і y справедливі рівності  

axay=ax+y

  Графіки показникових функцій зображені на малюнках:

1) для випадку a>1

 

 

 

2) для випадку 0<a<1 

 

 

Побудуємо графіки функцій y=2x і y=(12)x, використавши розглянуті властивості і знайшовши кілька точок, що належать графіку.

Приклад:

Відзначимо, що графік функції y=2x проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

Якщо х спадає, тоді графік швидко наближається до осі Ox (але не перетинає її);

якщо x>0 х зростає, тоді графік швидко піднімається вгору.

Приклад:

Графік функції y=(12)x також проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

 

Якщо x>0 х зростає, тоді графік швидко наближається до осі Ox (не перетинаючи її);

якщо x<0 х спадає, тоді графік швидко піднімається вгору.

  

Поазникові функції займають певну роль у житті людини. Наприклад, вони є математичними моделями таких процесів: зміна популяції протягом певного часу; зміна радіоактивності з плином часу.