математика МПТУ

група №2 геометрія (повторення)

22.03.2023

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ

1. Повторіть теоретичний матеріал

Довжина вектора в просторі

Якщо є вектор (_а1; а₂; а₃), то || = + , де || — модуль вектора, a₁, а₂, а₃ — його координати.

Одиничним називається вектор , у якого || = 1.

Нульовим називається вектор (або 0), у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів i , якщо А(2; -3; -1), В(-4; -8; 5), С (3; 1; -2).

Розв’язання

(- 4 - 2; -8 - (- 3); 5 - (- 1)) = (-6; -5; 6);

(3-2; 1- (- 3); - 2 - (- 1)) = (1; 4; - 1).

||= = ; = = = 3.

Відповідь: = (-6;-5;6), = (1;4;-1), = ; = 3.

Рівність векторів у просторі

Якщо (а₁;а₂;а₃) = (b₁;b₂;b₃), то

Якщo то (a₁; а₂; а₃) = (b₁;b₂;b₃).

Протилежні вектори в просторі

Якщо маємо (a₁; a₂; а₃), (b₁;b₂;b₃) i = -, то

Якщо маємо (а₁;а₂;а₃), (b₁;b₂;b₃) і то = -

Сума векторів

У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO₁), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB₁), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).

Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.

Рис. 2

Сума векторів у просторі

(а₁; а_2;a₃) + (b₁; b₂; b₃) = (а₁ + b₁; а₂ + b₂; a₃ + b₃).

Різниця векторів у просторі (а₁; а₂; а₃) - (b₁; b₂; b₃) = (а₁ - b₁; а₂- b₂; a₃ - b₃).

Множення вектори чи число в просторі

∙ (а₁; а₂; а₃) = (а₁; а₂; а₃).

Задача 2. Задано вектори (3; -2; -1); (1; 1; 2); (-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів = + , = - , = 2 + 3 - .

Розв’язання

= + = = ; = = = = ;

= 2 + 3 - = 2 ∙ + 3 - =

= .

Відповідь: = ; = ; =

Колінеарність векторів у просторі

Якщо є вектори (а₁; a₂; а₃), (b₁, b₂; b₃) і вони колінеарні, то = =

Якщо є вектори (а₁; а₂; а₃), (b₁; b₂; b₃) і = = , то і — колінеарні вектори.

Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори (3; m; 5) і (- 6; - 2; n) колінеарні.

Розв’язання

У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси = = .

Маємо два рівняння:

1) = , тоді m = = 1;

2) = , тоді n = = -10.

Відповідь: m = 1, n = -10.

Скалярний добуток двох векторів у просторі

Якщо є вектори (a₁; а₂; a₃), (b₁; b₂; b₃), то ∙ = a₁b₁+ a₂b₂ + a₃b₃.

Теорема

Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).

Отже, ∙ = || ∙ || ∙ cos.

Задача 4. Знайдіть кут між векторами (1; 2; - 3) і (2; -1; - 4).

Розв'язання

Скористаємося формулою cos = = ∙ = 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.

||= , ||= = ,

тоді cos = = = = .

Звідси = arcos .

Відповідь: arcos .

Рис. 3

Ознака перпендикулярності векторів

Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Задача 5. При якому значенні р вектори (3; р: -1) і (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

∙ = 3 ∙ p + p ∙ (-2) + (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5, ∙ = 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.

Відповідь: р = 5.

Рис. 4

2.Розгляньте розв’язання деяких задач.

Задача 6. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

Розв’язання

Оскільки (- 6; 14; 2), (- 2; - 6; 0), то = + , (- 8; 8; 2) (див. рисунок).

Рис.5

Тоді || = = = 2.

Відповідь: 2.

Задача 7. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABC, якщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).

Розв’язання

Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту між векторами та (див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° - . Знайдемо координати точки М: