група  №2    факультатив

29.03.2023

Тема уроку: Побудова перерізів

1. Опрацюйте відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=5SHx0Nfhshg

2. Законспектуйте 

Розглянемо деякі найпростіші перерізи призми.

Переріз призми, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній основі, називають діагональним перерізом.

На малюнку 452 АА ₁С ₁С — діагональний переріз прямої призми. Цей переріз є прямокутником, одна із його сторін - діагональ основи АС, а інша - бічне ребро АА ₁. У похилій призмі діагональним перерізом є паралелограм.

Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз, а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Знайти площу діагонального перерізу призми, однією із сторін якого є більша діагональ ромба, якщо бічне ребро призми дорівнює 2 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ - призма, в основі якої лежить ромб ABCD, АВ = 8 см,  A = 60°, АС - більша діагональ ромба (мал. 452). Тоді АСС ₁А₁ - діагональний переріз, площу якого необхідно знайти. CC ₁ = 2 см (за умовою).

3) У ∆ADC за теоремою косинусів:  

4) Тоді 

Часто у задачах розглядають перерізи призми, що проходять через сторону основи призми і які перетинають бічні ребра призми.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить рівносторонній трикутник, сторона якого дорівнює 2 см. Через сторону цього трикутника проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро у його середині. Знайти довжину бічного ребра призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С ₁ - трикутна призма, основа якої - рівнобедрений трикутник АВС, АВ = 2 см (мал. 453).

2) Через сторону АВ основу трикутника проведено переріз АВК, де К - середина СС ₁.

3) Проведемо в трикутнику АВС медіану СМ, яка є також висотою цього трикутника: 

4) Оскільки CM  AB і CM є проекцією КМ на площину АВС, то за теоремою про три перпендикуляри: КМ  АВ.

Тоді  КМС - кут, що утворює переріз з площиною основи. За умовою  КМС = 30°.

6) Оскільки К - середина СС ₁, то СС ₁ = 2КС = 1 ∙ 2 = 2 (см).

Розглянемо найпростіший переріз піраміди.

Переріз піраміди, що проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані, називають діагональним перерізом.

На малюнку 468: QВD - діагональний переріз чотирикутної піраміди QАВСD.

Діагональні перерізи піраміди - трикутники, однією з вершин яких є вершина піраміди, а протилежна їй сторона - діагональ основи.

Приклад 1. Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3  см, а бічне ребро - 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - правильна чотирикутна піраміда (мал. 467), QАС - її діагональний переріз.

2) За умовою 

4) Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16 (см).

Часто у задачах розглядають перерізи піраміди, що проходять через сторону основи піраміди і перетинають бічні ребра піраміди.

Приклад 2. У правильній трикутній піраміді, сторона основи якої дорівнює 8 см, через сторону основи перпендикулярно До бічного ребра проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо він утворює кут 30° із площиною основи піраміди.

Розв’язання. 1) Проведемо у правильній піраміді QABC з основою ABC висоту ВМ бічної грані BQC (мал. 469).

2) ∆ВМС = ∆АМС (за двома сторонами і кутом між ними), тому  АМС =  BMC = 90°.

3) За ознакою перпендикулярності прямої і площини: АМВ  QC. Тому АВМ - переріз, площу якого треба знайти.

4) CN - висота основи піраміди, CN  АВ, тому за теоремою про три перпендикулярами MN  АВ.

5) За ознакою перпендикулярності прямої і площини маємо MNC  АВ, тому кут MNC - кут, що утворює переріз із площиною основи. За умовою  MNC = 30°.

Переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь, називають осьовим перерізом циліндра (мал. 484). Осьовий переріз циліндра — прямокутник, одна із сторін якого дорівнює діаметру циліндра, а інша - його висоті. На малюнку 484 прямокутник АВВ₁А₁ - осьовий переріз циліндра; АВ - діаметр циліндра; АА₁ - твірна, що дорівнює висоті циліндра. Якщо осьовим перерізом циліндра є квадрат, його інколи називають рівнобічним (або рівнобедреним або рівностороннім).

Приклад 1. Довжина кола основи циліндра дорівнює 12 π см, а діагональ осьового перерізу - 13 см. Знайти твірну циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай А ₁В - діагональ осьового перерізу циліндра (мал. 484); А ₁В = 13 см.

2) Позначимо радіус циліндра - r. Тоді за умовою 2πr = 12π, звідси 2r = 12 (см). Тому АВ = 2r = 12 см.

Приклад 2. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи дорівнює 4 см і утворює з площиною основи кут 45°. Знайти площу осьового перерізу циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай O ₁С - відрізок, що з’єднує центр верхньої основи - точку О₁ з точкою С кола нижньої основи (мал. 485). O₁С = 4 см.

2) ОС - проекція O ₁С на площину нижньої основи, тому  O ₁CO - кут, що утворює відрізок O ₁С з площиною нижньої основи. За умовою  О ₁СО = 45°.

4) АА ₁В ₁В - осьовий переріз, АА ₁ = ОО ₁ = 4 см; АВ = 2 ∙ АО = 4 ∙ 2 = 8 (см).

5) Тому площа діагонального перерізу S_{AA 1 B 1 B} = АВ ∙ АА ₁ = 8 ∙ 4 = 32 (см²).

Переріз циліндра площиною, яка є паралельною до площини основ - круг, що дорівнює кругу основи циліндра (мал. 486). Радіус перерізу А₂ O ₂ дорівнює радіусу циліндра АО.

Перерізом циліндра площиною, паралельної осі циліндра є прямокутник. На малюнку 487 прямокутник АА ₁В ₁В - переріз циліндра площиною, паралельної осі циліндра ОО ₁.

Дві його сторони: АА ₁ і ВВ ₁ - твірні циліндра, а дві інші: АВ і А ₁В ₁ - паралельні і рівні хорди основ.

Приклад 3. Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу 60º. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а висота - 5 см. Знайти периметр отриманого перерізу.

Розв’язання. 1) Нехай АВВ ₁А ₁ - переріз, що задано в умові (мал. 487), АО = ОВ = 6 см, АА ₁ = 5 см,  AOB = 60°.

2) Оскільки АО = ОВ, то ∆АОВ - рівнобедрений,  Тому ∆АОВ - рівносторонній, АВ = ОА = 6 см.

3) Отже, периметр перерізу Р _{ABB 1 B 1 B}= 2(АА ₁ + АВ) = 2(5 + б) = 22 (см).