математика МПТУ

група №2 факультатив

15.03.2023

Тема уроку: Циліндр

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=xe3IUL4JuBs

2. Законспектуйте та вивчіть. Приклади запишіть.

Циліндром називають геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо осі, що містить одну з його сторін.

На малюнку 483 прямокутник ОО₁А₁А обертається навколо прямої, що містить сторону OO₁ цього прямокутника. Пряма OO₁ є віссю циліндра, утвореного в результаті цього обертання. Сторони прямокутника ОА і О₁А₁ описують рівні круги, що лежать в паралельних площинах. Ці круги називають основами циліндра, їх радіус - радіусом циліндра, діаметр - діаметром циліндра. На малюнку 483: ОА і О₁А₁ - радіуси циліндра.

Поверхню, утворену обертанням сторони прямокутника АА₁, яка паралельна осі циліндра, називають бічною поверхнею циліндра. Кожний відрізок цієї поверхні (а також його довжину), що паралельний і дорівнює відрізку АА₁, називають твірними циліндра. На малюнку 483: АА₁, ВB₁, СС₁ - твірні циліндра. Відстань між площинами основ, яка дорівнює твірній циліндра, називають висотою циліндра.

Зауважимо, що природно позначати радіус циліндра буквою r, а висоту - h.

Приклад. Прямокутник, діагональ якого дорівнює 10 см, а одна із сторін на 2 см менша за іншу, обертається навколо більшої сторони прямокутника. Знайти радіус та висоту отриманого циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай прямокутник АОО₁А₁ обертається навколо осі OO₁, OO₁ > ОА (мал. 483).

2) Позначимо ОА = х см, тоді OO₁ = (х + 2) см. За умовою O₁А = 10 см. Маємо х² + (х + 2)² = 10²; 2x² + 4x - 96 = 0; x² + 2x - 48 = 0; x₁ = 6; х₂ = -8. Враховуючи х > 0, маємо х= = 6 см.

3) Отже, радіус циліндра ОА = 6 см, а висота АА₁ = OO₁ = 6 + 2 = 8 (см).

Переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь, називають осьовим перерізом циліндра (мал. 484). Осьовий переріз циліндра — прямокутник, одна із сторін якого дорівнює діаметру циліндра, а інша - його висоті. На малюнку 484 прямокутник АВВ₁А₁ - осьовий переріз циліндра; АВ - діаметр циліндра; АА₁ - твірна, що дорівнює висоті циліндра. Якщо осьовим перерізом циліндра є квадрат, його інколи називають рівнобічним (або рівнобедреним або рівностороннім).

Приклад 1. Довжина кола основи циліндра дорівнює 12 π см, а діагональ осьового перерізу - 13 см. Знайти твірну циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай А₁В - діагональ осьового перерізу циліндра (мал. 484); А₁В = 13 см.

2) Позначимо радіус циліндра - r. Тоді за умовою 2πr = 12π, звідси 2r = 12 (см). Тому АВ = 2r = 12 см.

Приклад 2. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи дорівнює 4 см і утворює з площиною основи кут 45°. Знайти площу осьового перерізу циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай O₁С - відрізок, що з’єднує центр верхньої основи - точку О₁ з точкою С кола нижньої основи (мал. 485). O₁С = 4 см.

2) ОС - проекція O₁С на площину нижньої основи, тому O₁CO - кут, що утворює відрізок O₁С з площиною нижньої основи. За умовою О₁СО = 45°.

4) АА₁В₁В - осьовий переріз, АА₁ = ОО₁ = 4 см; АВ = 2 ∙ АО = 4 ∙ 2 = 8 (см).

5) Тому площа діагонального перерізу S_AA ₁_B₁_B = АВ ∙ АА₁ = 8 ∙ 4 = 32 (см²).

Переріз циліндра площиною, яка є паралельною до площини основ - круг, що дорівнює кругу основи циліндра (мал. 486). Радіус перерізу А₂ O₂ дорівнює радіусу циліндра АО.

Перерізом циліндра площиною, паралельної осі циліндра є прямокутник.

На малюнку 487 прямокутник АА₁В₁В - переріз циліндра площиною, паралельної осі циліндра ОО₁.

Дві його сторони: АА₁ і ВВ₁ - твірні циліндра, а дві інші: АВ і А₁В₁ - паралельні і рівні хорди основ.

Приклад 3. Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу 60º. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а висота - 5 см. Знайти периметр отриманого перерізу.

Розв’язання. 1) Нехай АВВ₁А₁ - переріз, що задано в умові (мал. 487), АО = ОВ = 6 см, АА₁ = 5 см, AOB = 60°.

2) Оскільки АО = ОВ, то ∆АОВ - рівнобедрений, Тому ∆АОВ - рівносторонній, АВ = ОА = 6 см.

3) Отже, периметр перерізу Р_ABB₁_B₁_B= 2(АА₁ + АВ) = 2(5 + б) = 22 (см).

Площа бічної поверхні циліндра S_6іч радіус основи якого дорівнює r, а висота h обчислюється за формулою

Щоб знайти площу повної поверхні циліндра S_повн необхідно до площі його бічної поверхні додати площі двох його основ. Оскільки основою є круг, площа якого дорівнює πr² , то маємо

Приклад. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 4 см і утворює кут 60º із площиною основи. Знайти площу бічної поверхні циліндра.

Розв’язання. 1) На малюнку 484 зображено осьовий переріз циліндра - прямокутник АВВ₁А₁, діагональ якого А₁В = 4 см, A₁BA = 60°.

Об’єм циліндра V дорівнює добутку площі його основи S на висоту h:

Якщо радіус циліндра дорівнює r, а висота h, то об’єм циліндра:

Приклад. У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом 120º. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою даної хорди дорівнює 4 см і утворює кут 60° із площиною нижньої основи. Знайти об’єм циліндра.

Розв’язання. 1) На малюнку 488 зображено заданий в умові циліндр, ВОА = 120°, К - середина АВ, О₁К = 4 см, O₁KO = 60°.