група   № 4    факультатив

29.03.2023

Тема уроку: Властивості показникової функції 

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=Rsr6TWBnzPM

2. Законспектувати і вивчити

Функцію, задану формулою у = а^х (де а > 0, а ≠ 1) називають показниковою функцією.

Приклади показникових функцій:

 тощо.

Розглянемо функцію у = 2^х. Складемо таблицю значень функції для кількох цілих значень аргументу.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

Зауважимо, що 2^х > 0 для всіх значень х, тому графік функції у = 2^х не перетинає вісь абсцис. Графік функції у = 2^х зображено на малюнку 85. При всіх значеннях а > 1 графік функції у = а^х схожий на графік функції у = 2^х.

Розглянемо функцію у = (1/2)^x. Складемо таблицю значень для кількох цілих значень аргументу.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8

Оскільки (1/2)^x > 0 для всіх значень х, то графік функції у = (1/2)^x не перетинає вісь абсцис. Графік функції зображено на малюнку 86. При всіх значеннях 0 < а < 1 графік функції у = а^х схожий на графік функції у = (1/2)^x.

  

Сформулюємо основні властивості показникової функції.

1. Область визначення — множина R дійсних чисел.

2. Область значень — множина R+ всіх додатних дійсних чисел.

3. При a>1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0<a<1 функція спадає на множині R.

ax1<ax2, якщо x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, якщо x1<x2,(0<a<1)

4. При будь-яких дійсних значеннях x і y справедливі рівності  

axay=ax+y

  Графіки показникових функцій зображені на малюнках:

1) для випадку a>1

 

 

 

2) для випадку 0<a<1 

 

 

Побудуємо графіки функцій y=2x і y=(12)x, використавши розглянуті властивості і знайшовши кілька точок, що належать графіку.

Приклад:

Відзначимо, що графік функції y=2x проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

Якщо х спадає, тоді графік швидко наближається до осі Ox (але не перетинає її);

якщо x>0 х зростає, тоді графік швидко піднімається вгору.

Приклад:

Графік функції y=(12)x також проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

 

Якщо x>0 х зростає, тоді графік швидко наближається до осі Ox (не перетинаючи її);

якщо x<0 х спадає, тоді графік швидко піднімається вгору.

  

Поазникові функції займають певну роль у житті людини. Наприклад, вони є математичними моделями таких процесів: зміна популяції протягом певного часу; зміна радіоактивності з плином часу.