математика МПТУ

група №7 алгебра і початки аналізу

16.03.2023

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ. Самостійна робота.

1. Опрацюйте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=SGONDKxzmp4

2. Повторіть теорію та проаналізуйте розв'язання вправ

Показникова функція у = а^х, а > 0, а ≠ 1

Функцію виду у = а^х де а > 0, а ≠ 1, називають показниковою.

Основні властивості

1. Область ви значення — множина всіх дійсних чисел R.

2. Область значень — (0; +∞).

3. Якщо х = 0, то у = 1.

4. Функція не є ні парною, ні непарною.

5. Якщо а > 1, тоді функція у = ах зростає; якщо 0 < а < 1, то функція спадає.

6. При а > 1 і х > 0, а^х > 1; при х < 0, а^х < 1. При 0 < а < 1 а^х < 1, якщо х > 0; а^х > 1 при х < 0.

7. Графік функції у = а^х зображено на рис. 1.

Рис. 1

Показникові рівняння

Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

Наприклад: рівняння 2^х + 3 = 0; 3^х+1 - 3^х - 1 = 0 є показниковими.

Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння ax = b, де а > 0, а ≠ 1.

Оскільки множина значень функції у = а^x — множина додатних чисел, то рівняння а^x = b:

1) має один корінь, якщо b > 0 (рис. 2);

2) не має коренів, якщо b ≤ 0 (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Для того щоб розв’язати рівняння а^x = b, де а > 0, а ≠ 1, b > 0, треба b подати у вигляді b = а^c, тоді будемо мати а^x = a^c, звідси х = с.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5^x = 125.

Розв'язання

Оскільки 5^х = 125, а 125 = 5³, то маємо 5^х = 5³, звідси х = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ()^x = 49.

Оскільки 49 = 7² = ()^-2, то ()^x = ()^-2 звідси x = -2.

Відповідь: -2.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 15^x2-5x+6 = 1.

Розв'язання

Оскільки 1 = 15⁰, то 15^х2-5х+6 = 15⁰, x² — 5X + 6 = 0, звідси x₁ = 2, X₂ = 3.

Відповідь: 2; 3.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння 2^х-2 = -2.

Розв'язання

Оскільки 2^х-2 > 0 при всіх знаменнях x, то рівняння коренів не має.

Відповідь: немає коренів.

Розглянемо деякі способи розв’язування показникових рівнянь.

І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння

a^f(x) = а^g(х).

Як відомо, показникова функція y = a^x > 0 i а ≠ 1 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності a^f(x) = a^g(x) випливає, що f(х) = g(x).

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2^х ∙ 5^х = 0,1(10^х-1)3.

Розв'язання

2^х∙ 5^х = 0,1(10^х-1)³; 10^х = 10^-1∙ 10^3х-3; 10^х = 10^3х-4; х = 3х - 4; х = 2.

Відповідь: 2.

ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 3^х - 2 ∙ 3^х-2 = 63.

Розв'язання

3^x - 2 ∙ 3^x-2 = 63; 3^х-2 (3² - 2) = 63; 3^х-2∙ 7 = 63; 3^х-2 = 9; x - 2 = 2; x = 4.

Відповідь: 4.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 5^2x-1 — 5^2x + 2^2x + 2^2x+2 = 0.

Розв'язання

2^2x + 2^2x+2 = 5^2x - 5^2x-1; 2^2x (1 +2²) = 5^2x(1 - 5^-1);

2^2x ∙ 5 = 5^2x ∙ ; = ; ()^2x = ()² : 2x = ; x = 1.

Відповідь: 1.

IІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння 49x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0.

Розв'язання

49^x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0; (7²)^x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0; (7^x)²- 8 ∙ 7^x + 7 = 0.

Нехай 7^х = t, тоді t² - 8t + 7 = 0; t₁ = 7; t₂ = 1.

Отже. 1)7^x = 7; х = 1; 2) 7^x = 1; 7^x = 7⁰; x = 0.

Відповідь: 1; 0.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння 3 ∙ 16^x + 2 ∙ 81^x = 5 ∙ 36^x.

Розв'язання

3 ∙ 4^2x + 2 ∙ 9^2x = 5 ∙ 4^x ∙ 9^x; + = ; 3 ∙ ()^2x — 5 ∙ ()^x + 3 = 0.

Заміна ()^x = у, тоді 3у² - 5у + 2 = 0, звідси у, = ; y₂ = 1.

Отже, 1) ()^x = ; ()^2x = ; 2x = 1; x = ;

2) ()^x = 1; x = 0.

Відповідь: 0; .

IV спосіб. Графічний спосіб розв’язування показникових рівнянь.

Приклад 6. Розв’яжіть графічно рівняння ()^x = х +1.

Розв'язання

Побудуємо графіки функцій у = ()^x, у = х + 1 в одній системі координат.

Графіки функцій у = ()^x і у = х + 1 перегинаються в точці, абсциса якої х = 0 (рис. 4).

Відповідь: х = 0.

Рис 4

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба

пам'ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений

корінь єдиний.

Системи показникових рівнянь

При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються

традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам

способи розв’язування систем рівнянь.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Розв’яжіть систему рівнянь

Розв'язання

Зробимо заміну 3x = а, 7y = b, тоді матимемо систему:

Розв’яжемо систему рівнянь:

Отже,

Відповідь: (2; 1).

Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання

або або

Отже, і є розв’язками системи.

Відповідь: (1; 2), (2; 1).

Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання

Перемножимо і розділимо рівняння системи, тоді одержимо:

Відповідь: (2; 1).

Показникові нерівності

Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей а^x > a^b (а^x ≥ a^b) або а^x < a^b (а^x ≤ а^b). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

Розглянемо приклади.

Приклад 10. Розв’яжіть нерівність 3^x < 27.

Розв’язання

Запишемо дану нерівність у вигляді 3^x < 3³. Оскільки 3 > 1, то функція у = 3^t є зростаючою. Отже, при х < 3 виконується нерівність 3^x < 27.

Відповідь: (-∞; 3).

Приклад 11. Розв’яжіть нерівність ()^x > .

Розв'язання

Запишемо дану нерівність у вигляді ()^x > ; ()^x > .

Оскільки у = ()^x — спадна функція, то х < - .

Відповідь: (-х; - ).

Приклад 12. Розв’яжіть графічно нерівність 2^х ≤ 3 - х.

Розв’язання

Побудуємо графіки функцій у = 2^х і у = 3 - х (рис. 5). Із рисунка видно, що 2^х ≤ 3 - х при x ≤ 1. Отже, розв’язком нерівності 2^х ≤ 3 - х є проміжок (-∞; 1 ]. Відповідь: (-∞; 1].

Рис. 5

Приклад 13. Розв’яжіть нерівність 6^x2+2х > 6³.

Розв’язання

Показникова функція у = 6t зростає, тому дана нерівність рівносильна нерівності х² + 2x > 3. Розв’язуємо нерівність x² + 2X - 3 >0 методом інтервалів (рис. 6).

Маємо X∈ (-∞; -3)(1; +∞).