02.12.2021     група  № 4           геометрія

Тема уроку:  Двогранний кут. Вимірювання кутів між площинами.

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=BwTp_2CNq0E

2. Законспектуйте в зошитах

Двогранним кутом називають фігуру, утворену двома півплощинами тільною прямою, що їх обмежує.

На малюнку 418 двогранний кут, півплощини, що утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

Площина α, перпендикулярна ребру а двогранного кута, перетинає грані двогранного кута по променях АВ і АС (мал. 419). Кут ВАС називають лінійним кутом двогранного кута.

Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута.

Приклад. Двогранний кут дорівнює 60º. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані 6 см від ребра двогранного кута. Знайти відстань від цієї точки до другої грані.

Розв’язання. 1) Нехай точка А належить одній із граней двогранного кута з ребром а, АС  а; АВ - перпендикуляр до другої грані двогранного кута (мал. 420).

2) За теоремою про три перпендикуляри ВС  а.

3) Тому а  АВС за ознакою перпендикулярності прямої і площини.

4)  АСВ - лінійний кут двогранного кута, за умовою

  ACB = 60°.

5) АС=6см. У трикутнику АВС: 

 Якщо дві площини паралельні, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює 0°. Якщо дві площини перетинаються, то воно утворюють чотири двогранні кути зі спільним ребром (мал. 440).

Величину меншого з утворених при перетині двох площин двогранного кута називають кутом між площинами.

Зрозуміло, що кут між площинами φ задовольняє умові 0° ≤ φ ≤ 90°. Якщо φ = 90°, то площини називають перпендикулярними.

Якщо згадати яким чином дається означення лінійного кута двогранного кута, то можна дати інше означення кута між площинами.

Кутом між площинами, що перетинаються, називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину.

На малюнку 441 площини α і β перетинаються по прямій m. В площині α проведено пряму а таку, що а  m, а в площині

β пряму b таку, що b  m; прямі а і b перетинаються. Якщо кут між прямими а і b дорівнює φ, то кут між площинами α і β також дорівнює φ.

Приклад. Квадрат ABCD, площа якого дорівнює 9 см², і прямокутник ABC ₁D ₁, площа якого дорівнює 24 см², мають спільну сторону, а кут між їх площинами дорівнює 60°. Знайти відстань між точками D і D ₁. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язання. Оскільки AD  АВ і AD ₁  АВ ₁, то за кут між площинами можна взяти менший із кутів, утворених при перетині прямих AD і AD ₁ (мал. 442). Менший з цих кутів за умовою дорівнює 60°. Тому кут DAD ₁ може дорівнювати 60° або 120°.

Звідси висновок: задача може мати два розв’язки.

4) Якщо  DАD ₁ = 60°, то в ∆АDD ₁ за теоремою косинусів:

Якщо  DАD ₁ = 120°, то 

Отже, відстань між точками D і D ₁ дорівнює 7 см або см.

3. Розв'яжіть задачі

1) OD — перпендикуляр до площини прямокутника ABCD. Побудуйте лінійний кут двогранного кута між площинами

OBC і ABC   і   OAB і ABC.

2) На одній із граней двогранного кута позначено точку M, із якої проведено перпендикуляр MA до ребра кута і перпендикуляр MB до другої грані. Обчисліть градусну міру цього кута, якщо: а) MA = 8 см, MB = 4 см;

б) MA = √3 см, MB = 2 см.

3) Кут між площинами трикутників ABC і DBC дорівнює 60°. Знайдіть довжину відрізка AD, якщо AB = 15 см, BC = 14 см, AC = 13 см, DB = DC = 9 см.

Відповідь. √7 см.