06.12.2021   група  № 7     геометрія

Тема уроку: Об'єм піраміди

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=vorVJD3K_5s

2.Законспектуйте в зошиті

Об’єм піраміди V дорівнює третині добутку площі її основи на висоту:

де S _осн - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

Приклад 1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть об’єм піраміди.

Розв’язання. 1) (мал. 472). Нехай QАВС - задана в умові піраміда; ∆АВС - правильний; ВС = 6 см; QК - висота піраміди;  QВК = 45°.

2) Площа основи  де а = ВС = 6 см - сторона основи. Маємо 

3) Оскільки К - центр трикутника, то КВ = R - радіус кола, описаного навколо основи: 

 Тому ∆QКВ - рівнобедрений і QК = К В = 2 (см).

5) Об’єм піраміди 

Приклад 2. В основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом 30º. Знайти об’єм піраміди, якщо середнє за величиною бічне ребро піраміди дорівнює 4 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - задана в умові піраміда; АВСD - квадрат; бічні грані QАD і QАВ перпендикулярні площині основи (мал. 473).

2) Оскільки бічні грані QАD і QАВ перпендикулярні площині основи, то бічне ребро по якому перетинаються ці грані, також перпендикулярне до основи. Тому QА = h - висота піраміди.

3) АD  DС, тому за теоремою про три перпендикуляри QD  DС. А отже QАD  DС. Тому  QDA - кут, що утворює бічна грань QDС із площиною основи.  QDA = 30° (за умовою).

4) Оскільки ∆QАD - прямокутний ( A = 90°), то QD > QА. ∆QDC - прямокутний ( QDC = 90°), тому QD < QС. Враховуючи також QD = QВ (з рівності трикутників QAD і QАВ) матимемо, що саме QD - середнє за величиною бічне ребро. За умовою QD = 4 см.

5) В ∆QАО: QА = 4/2 = 2 (см), використовуючи властивість катета, що лежить проти кута 30°.

6) Площа основи 

7) Об’єм піраміди 

Приклад 3. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 4 см, 5 см і 6 см. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60º. Знайти об’єм піраміди.

Розв’язання. 1) Нехай QАВС - задана в умові піраміда, АВ = 4 см, АС = 5 см, ВС = 6 см (мал. 474).

2) За відомою властивістю: точка К - основа висоти QК є центром кола, описаного навколо ∆АВС. АК = R - радіус описаного кола.

3)  QАК = 60° (за умовою).

5) Оскільки  де S – площа трикутника, то маємо 

3. Розв'яжіть задачі

1. Вкажіть число ребер восьмикутної піраміди.

2. Яка фігура є бічною гранню правильної шестикутної піраміди?

3. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 2 см, а апофема 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.

4. Сторони основ правильної зрізаної чотирикутної піраміди дорівнюють 3 см і 5 см, а апофема - 4 см. Знайти площу повної поверхні піраміди.

5. Знайти суму всіх плоских кутів трикутної піраміди.

6. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5 см, а висота - 6 см. Знайти площу діагонального перерізу цієї піраміди.

7. Знайти об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а висота - 8 см.

8. Об’єм правильної трикутної піраміди дорівнює 15 см³, а висота - 5 см. Знайти сторону основи піраміди.

9. Як зміниться об’єм піраміди, якщо кожну сторону збільшити у 3 рази, а висоту - зменшити у 3 рази?

10. Знайти об’єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, у якої сторони основ дорівнюють 4 см і 5 см, а висота - 6 см.

11. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 4 см. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайти висоту піраміди (у см).

12. Основою піраміди є прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 6 см і 8 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Знайти (у см³) об’єм піраміди.