математика МПТУ

06.12.2021 група № 7 алгебра

Тема уроку: Тригонометричні вирази (повторення)

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=QRLlNkcxicQ

2. Повторіть теоретичний матеріал та законспектуйте

Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу sin²а + cos²а = 1, а∈R; tga ∙ ctga = l, а ≠ , n ∈ Z;

1 + tg² а = , а ≠ + n, n∈Z; l + ctg²a = , а ≠ n, n∈Z.

Приклад 1. Знайдіть cos a, tg a, ctg a, якщо sin a = - , < a < .

Розв'язання

Оскільки cos² a = 1 - sin² a, то cos = = = = = .

Оскільки кут a лежить у III координатній чверті, то cos a < 0.

Отже, cosa = -.

tga = = - : (-) = = ; ctga = = .

Відповідь: -; ; .

Формули додавання

sin(a±) =sinacos + cosasin; cos(a±P) = cosacos +sinasin;

tg(a±) = , a, , a + ≠ + n, n ∈ Z.

Формули подвійного кута

sin2a = 2sinacosа; cos2a = cos² a - sin² a;

tg2a = , a ≠ + , a ≠ + n, n ∈ Z.

Формули пониження степеня

sin²a = ; cos²a = ;

(sina + cosa)² = 1 + sin²a.

Формули половинного кута

|cos| = ; |sin| = ; tg = = , a ≠ k, k∈Z;

ctg = = , a ≠ k, k∈Z; |tg| = , a ≠ k, k∈Z.

Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток

sina + sin = 2sincos; sina - sin = 2sincos;

cosa + cos = 2coscos; cosa - cos = 2sinins;

tga + tg = , a, ≠ + n, n∈Z; tga — tg , a, ≠ + n, n∈Z;

ctga + ctg = , a, ≠ n, n∈Z; ctga — ctg , a, ≠ n, n∈Z;

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

sinasin = (cos(a - ) - cos(a + )); cos acos = (cos(a - ) + cos(a + ));

sinacos = (sin(а + ) + sin(a - )).

Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного кута

sina = , a≠ + n, n∈Z; cosa = , a≠ + n, n∈Z;

tga = , a≠ + n, a≠ + 2, n∈Z; ctga = , a≠ , n∈Z;

Формули зведення

Формули зведення запам’ятовувати необов’язково. Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким правилом:

1) у правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < а < ;

2) якщо в лівій частині формули кут дорівнює a, a, то синус замінюється на косинус, тангенс— на котангенс і навпаки. Якщо кут дорівнює k ± а, то заміна не виконується.

Розглянемо приклади.

Приклад 2. Виразимо tg( - а) через тригонометричну функцію кута а. Якщо вважати, що а — кут І чверті, то - а буде кутом ІІ чверті. У II чверті тангенс від’ємний, отже, у правій частині рівності слід поставити знак «мінус». Для кута k - а назва функції «тангенс» зберігається. Тому tg ( - а) = - tg а.

За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого числа

можна звести до знаходження значень тригонометричних функцій чисел від 0 до .

Приклад 3. Знайдіть значення sin .

Маємо: sin = sin(2 + ) = sin = sin ( - ) = sin = .

Кут\ Функція	- а	+ a	- a	+ a	- а	+ а	2 - a	2 + a
sinx	cos а	cosa	sina	-sina	-cosa	-cosa	-sina	sina
cosx	sin a	-sina	-cosa	-cosa	-sina	sina	cosa	cosa
tgx	ctg a	-ctga	-tga	tga	ctga	-ctga	-tga	tga
ctgx	tg a	-tga	-ctga	ctga	tga	-tga	-ctga	ctga