01.12.2021   група № 2          геометрія

Тема уроку: Формули дя обчислення довжини вектора, кута між векторами. Розв'язування                             задач і вправ.

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=rIWRAAZ75yY

2. Законспектуйте в зошитах

Якщо у просторі ввести систему координат, то кожний вектор можна задати трійкою чисел - координатами вектора у просторі.

Координатами вектора з початком А(х₁; у ₁; z ₁) і кінцем В(х₂; у₂; z ₂) називають числа х = х₂ – х ₁; у = у₂ – у ₁; z = z ₂ – z ₁.

Нагадаємо, що записують вектор, вказуючи його координати наступним чином (х;у;z). Наприклад,  тощо.

Приклад 1. Знайти координати вектора, якщо А(-5; 2; -3), B(7; -1; 0).

Розв’язання.  (7 - (-5);-1 - 2;0 - (-3)) ,отже (12;-3;3).

Координати вектора можуть бути будь-які дійсні числа. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю(0;0;0).

Як і на площині,

рівні вектори мають відповідно рівні координати, і навпаки: якщо у векторів відповідно рівні координати, то вектори рівні.

Приклад 2. Дано точки А(-1;3;4), В(0;5;-1), С(х;2;z), D(1;у;-2). Знайти х, у, z, якщо =.

Розв’язання.

3) Оскільки =, то маємо 1 - х = 1; у - 2 = 2; -2 - z = -5.

Отже, маємо х = 0; у = 4; z = 3.

Модуль вектора(х;у;z) дорівнює 

Приклад 3. Знайти модуль вектора: 

Розв’язання.

Приклад 4. Відомо, що модуль вектора ( -4;у; ) дорівнює 5. Знайти y.

Розв’язання. 

За умовою  

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними, тобто  де φ - кут між векторами  і .

Скалярний добуток векторів дає можливість знайти косинус кута між векторами  , що задані координатами.

Оскільки  де φ - кут між векторами  і  , то 

Оскільки  то маємо

Якщо відомим є косинус кута між векторами, то можна знайти цей кут (за таблицями або за допомогою калькулятора).

Приклад 1. Знайти градусну міру кута С трикутника АВС, якщо А(3;5;2), В(4;5;1), С(3;4;1).

Розв’язання. 1) (мал. 520). Кут С трикутника АВС збігається з кутом між векторами  і .

2) Маємо  тобто  

 тобто 

3) Тоді 

 Звідси,  С = 60°.

Приклад 2. Дано вектори  кут φ між векторами  і  дорівнює 120°. Знайти 

Розв’язання. Оскільки  то

3. Розв'яжіть вправи в зошиті

Варіант 1

1) Чому дорівнює скалярний добуток векторів 

А. 6. Б. 22. В. 16. Г. -6.

2) Задано вектори  При якому значенні x 

А. 3. Б. 0. В. 7/4. Г. -3.

3) Чому дорівнює кут між векторами 

А. 0°. Б. 60°. В. 90°. Г. 120°.

Варіант 2

1) Чому дорівнює скалярний добуток векторів 

А. 1. Б. -11. В. 11. Г. -7.

2) Задано вектори  При якому значенні у 

А. 5. Б. 4. В. 0. Г. 5/2.

3) Чому дорівнює кут між векторами 

А. 0°. Б. 60°. В. 90°. Г. 120°.

Відповіді

Варіант 1. 1) В. 2) А. 3) Б.

Варіант 2. 1) А. 2) Б. 3) Г.