група №2 геометрія (повторення)
01.03.2023
Тема уроку: Системи координат на площині та в просторі
1. Повторіть теорію
Визначення декартових координат у просторі
Декартова система координат у просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей (вісь ОХ— вісь абсцис, ОУ — вісь ординат, OZ— вісь аплікат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб уздовж осей.
Кожній точці простору за певним правилом ставиться у відповідність трійка чисел — абсциса, ордината та апліката (х; у, z), які називаються декартовими координатами точки. Ці координат визначаються в такий спосіб: через точку А проводимо три площини, паралельні координатним площинам YOZ;XOZ;XOУ. Із координатними осями ОХ, ОУ і OZплощини перетнуться в точках xA,yA, zA. Число х, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка ОХA, називається абсцисою точки А. Це число буде додатним, якщо х належить додатній пів осі ОХ, і від’ємним, якщо лежить на від’ємній півосі.
Аналогічно визначаються ордината у та апліката z точки А.
Декартові координати в просторі записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А (х; у; z). причому першою завжди стоїть абсциса, другою — ордината, третьою — апліката
Для точок площини ХОУ апліката z дорівнює нулю, для точок площини XOZ — ордината у дорівнює нулю, для точок
площини YOZ — абсциса х дорівнює нулю.
На рис. 1 точка А має координат 2; 3; 3, що записується так: А (2; 3; 3).
Будь-якій трійці чисел х, y, z відповідає лише одна точка простору А (х, у, z).
Рис. 1
Приклад 1. Задано точки A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(1; 0; 0), D(1; 0; 2). Які із цих точок лежать: 1) у площині XOZ: 2) на осі ОХ; 3) у площині УOZ?.
Розв'язання
1. Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата y дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1; 0; 0), D (1; 0; 2).
2. Якщо точка лежить на осі ОХ. то координат у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка 0(1; 0; 0).
3. У площині УOZ лежить точка 5(0; 1; 2).
Відповідь: 1) С, D; 2) С; 3) 5.
Відстань між двома точками
Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць однойменних координат.
Відстань між двома точками в просторі
d = 
.
де d — відстань (рис. 2) між точкою А1, із координатами (х1; у1; z1) і точкою А2 із координатами (х2; у2; z2).
Рис. 2
Приклад 2. Задано точки А (1; 2; 3), В (2; 3; 1), С (3; 1; 2). Знайдіть периметр трикутника AВС.
Розв’язання
Оскільки АВ = 
= 
, AC = 
= , BC = 
= .
то Р∆АВС = АВ +ВС +АС = 3 .
Відповідь: 3 .
Координати середини відрізка
Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.
Координати середини підрізка в просторі
Координати (хС; уС; zС.) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами
xC = 
; xC = 
; xC = 
.
де (x1; y1; z1) і (x2; у2; z2) — координати точок А1 і А2, що є кінцями відрізка (рис. 3).
Рис. 3
Приклад 3. Знайдіть координати точки С — середини відрізка АВ, якщо А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1).
Розв’язання
Оскільки А (1; 2; 3), В (-3; 2; 1) і АС = СВ, то
xC = 
= 
= -1; yC = 
= 
= 2; zC = 
= 
= 2;
Отже, С (-1; 2; 2).
Відповідь: С (-1; 2; 2).
Рівняння сфери
Якщо в просторі задано деяку точку з координатами С (а; b; с), що є центром сфери, а також радіус R (рис. 4), то рівняння сфери має вигляд
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2.
Якщо центром сфери є початок координат (рис. 5), то маємо
x2 + y2 + z2 = R2
Рис. 4
Приклад 4. Складіть рівняння сфери з центром у точці В (1; 1; 3), якщо відомо, що сфера проходить через точку М (2; 0; -1).
Розв’язання
Знайдемо радіус R сфери
R = BM = 
= 
.
Рис. 5
Ураховуючи, що центр сфери міститься в точці В(1; 1; 3), а радіус R сфери дорівнює , матимемо рівняння сфери (х - 1 )2 + (у - 1 )2 + (z - 3)2 =18.
Відповідь: (x - 1 )2 + (x - 1 )2 + (x - 3)2 = 18.
2. Виконайте вправи
1. Знайдіть відстань від точки А (1; 2; 3) до початку координат.
2. Дано точку М(-1; 2; 3). Укажіть координати точки К, симетричної точці М відносно точки N (2; 5; 4).
3. Ортогональну проекцію відрізка з кінцями у точках А (-1; 0; 5) і В (-1; 0; 8) на координатну площину XY є ....
4. Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки Е (-3; 5; 7) і
F (-9; 6; 1).
5. Знайдіть відстань від точки А (2; 3; -6) до координатної площини XY.
6. Задано точки А (1; 2; 3), В (2; 3; 1), С(3; 1; 2). Знайдіть периметр трикутника АВС.
7. Задано точки М(-4; 7; 0) і N (0; - 1; 2). Знайдіть відстань від початку координат до середини відрізка MN.
8. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо координати трьох інших його вершин відомі: А (1; 3; 2), В (0; 2; 4), С (1; 1; 4).
R.
Маємо х -1 - (Зх - 12) = 7; х = 2.
Маємо х - 1 + 3х - 12 = 7; х = 5. Число 5 входить у розглядуваний проміжок (4;+∞), тому є коренями початкового рівняння.
Отже, 
Отже, на проміжку (-∞;-1] маємо систему
Отже, 
