30.11.2021     група № 9      геометрія

Тема уроку: Перпендикулярність прямої і площини 

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=C_D40UwH1Gw

2. Дайте відповіді на запитання

1) Чи існують такі прямі a, b і c, що пряма а перпендикулярна до прямої b, пряма b перпендикулярна до прямої c і пряма а перпендикулярна до прямої c?

2) Чи правильно, що через будь-яку точку прямої у просторі можна провести перпендикулярну до неї пряму?

3) Чи можливо, що одна з двох перпендикулярних прямих паралельна заданій площині і друга пряма паралельна цій площині?

4) Чи можливо, що одна з двох перпендикулярних прямих паралельна заданій прямій, а друга пряма перпендикулярна до цієї прямої?

5) Чи правильно, що через будь-яку точку простору можна провести пряму, перпендикулярну до заданої прямої?

6) Чи може пряма, перпендикулярна до прямої, що паралельна площині, бути паралельною цій площині?

3. Виконайте вправи письмово

Скориставшись рисунками, доповніть речення так, щоб утворилось правильне твердження.

1) Якщо на рисунку 1 ∠SAB = 90° і ∠SAC = 90°, то пряма... і площина... перпендикулярні, оскільки...

2) Якщо на рисунку 2 ABCD — ромб, S — точка поза площиною ромба, SB = SD (див. рисунок на дошці), то пряма BD перпендикулярна до площини ..., оскільки...

______________________________________________

 30.11.2021      група № 4      і       група № 9         факультатив

Тема уроку:   Розв'язування задач з теми  "Дії з многочленами"

1.Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=IDbMg5tkpQk

2. Виконайте вправи

1. Перетворіть вираз у багаточлен:

1) (5х2 + 6х – 3) – (2х2 – 3х – 4);

2) (7х2 – 4х + 8) – (4х2 + х – 5);

3) 3х(х3 – 4х + 6);

 4) -5а(а4 – 6а2 + 3);

5) (х + 3)(2х – 1).

6) (х + 4)(3х – 2).

 2. Розкладіть на множники:

1) 5а2 – 20ab;           2)18ху – 6х2;

3)7х3 – 14х5 + 21х2;             4)15а6 – 3а4 + 9а2;

5)3а – 3b + ах – bх.                6)4х – 4у + сх – су.

 3. Спростіть вираз та обчисліть його значення:

1) 4m(3 + 5m) – (m + 1)(m – 2)   при m = -0,2.    

 2) 7b(2b + 3) – (b + 6)(b – 5)         при b = -0,1.

 30.11.2021        група № 4          алгебра  (23 - 24)

Тема уроку:  Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Розв'язання задач і вправ. Самостійна робота.

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=WsliUuNHUok

2. Законспектувати в зошиті  і вивчити

Областю визначення синуса і косинуса є множина всіх дійсних чисел. Областю визначення тангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел 

Областю визначення котангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел 

Областю значень синуса і косинуса є проміжок [-1;1].

Областю значень тангенса і котангенса є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 1. Чи існує таке значення х, при яких виконується рівність:

Розв’язання. 1) Оскільки  то існує таке значення х, при якому 

2) Оскільки - < -1, то не існує значення х, при якому соsx = -.

Приклад 2. Знайдіть область значень функції:

Розв’язання. 1) Маємо -1 ≤ cos x ≤ 1. Віднімемо від усіх частин цієї подвійної нерівності число 3. Маємо  тобто  Отже, областю значень функції є проміжок [-4;-2].

2) Зрозуміло, що sin² x ≥ 0. 3 іншого боку  Додамо до усіх частин цієї нерівності число 1. Маємо  тобто  Отже, областю значень функції є проміжок [1;2].

Синус кута а є ординатою точки Р _α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та II чвертях у > 0, а у III та IV чвертях у < 0. Тому sin α > 0, якщо α — кут І або II чверті, і sin α < 0, якщо α — кут III або IV чверті.

Косинус кута α є абсцисою точки Р _α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та IV чвертях х > 0, а у II та III чвертях х < 0. Тому cos α > 0, якщо α — кут І або IV чверті, і cos α < 0, якщо α — кут II або III чверті.

Оскільки  то tg α і сtgα залежать від знаків sin α і cos α. У І та III чвертях sin α і cos α мають однакові знаки, а у II та IV чвертях різні. Тому tg α > 0 і сtgα > 0, якщо α — кут І або III чверті, і tg α < 0 і сtgα < 0, якщо α — кут II або IV чверті.

Знаки тригонометричних функцій у кожній з чвертей подано 

на малюнку 21.

Приклад. Порівняти з нулем: 1) соs152°; 2) tg 3 ∙ sіn4.

Розв’язання. 1) Оскільки 152° — кут II чверті, то соs152° < 0.

2) 3 радіани ≈ 3 ∙ 57° = 171°, тому 3 радіани — кут II чверті і tg3 < 0.

4 радіани ≈ 4 ∙ 57° = 228°, тому 4 радіани — кут III чверті і sіn4 < 0. Остаточно маємо tg 3 ∙ sіn4 > 0.

Косинус — функція парна; синус, тангенс і котангенс — непарні:

Приклади.

Періодом функцій косинус і синус є 360° (2π радіан), а функції тангенс і котангенс — 180° (π радіан).

У вигляді формул це можна записати наступним чином:

        

   

            

Зважимо, що в усіх формулах k — ціле число, а у формулах для тангенса і котангенса розглядаються лише допустимі значення α і х.

Приклади.

  3. Виконати самостійно вправи

1)  Обчисліть:

                    

2)  Спростіть вираз

3)  Знайдіть найменший додатний період функції:

4) Знайдіть значення виразу:

 Якими властивостями тригонометричних функцій можна при цьому скористатися?

5) Відомо, що sinx = a, tgx = b. Чому дорівнює значення виразу

 sin(2π + x) + tg(π + x)?

6) Відомо, що cosx = a, ctgx = b. Чому дорівнює значення виразу

 cos(2π + x) - ctg(2π + x)?

7)  Скориставшись графіком функції y = f(x), зображеним на рисунку:

1) назвіть проміжки зростання і спадання та нулі функції;

2) знайдіть f(-5); f(-1); f(0); f(1).

 29.11.2021   група   №  6             факультатив

Тема уроку: Розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=4yaBQUsquYE

2. Розв'яжіть вправи 

Розв’язання рівняння виду  де а - число,  та подібні доцільно починати з ОДЗ рівняння. Далі можна скористатись одним із двох наступних способів розв’язання.

І спосіб. Забезпечуємо невід’ємність лівої і правої частини рівняння (якщо необхідно, то для цього переносимо доданки з однієї частини рівняння в іншу). Підносимо ліву і праву частини отриманого рівняння до квадрата. Оскільки вони невід’ємні, то таке перетворення рівняння є рівносильним. Після спрощень дістаємо один із раніше розглянутих типів рівнянь.

Приклад. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою  з якої дістаємо х ≥ 2.

Перенесемо радикал у праву частину рівняння:  Ліва і права частини отриманого рівняння - невід’ємні. Піднесемо до квадрата ліву і праву частини рівняння: 

Оскільки х = 3 належить ОДЗ початкового рівняння, то є його єдиним коренем.

Відповідь: х = 3.

II спосіб полягає в тому, що після знаходження ОДЗ рівняння ліву і праву його частини підносять до квадрата, не вимагаючи їх невід’ємності. Але такий спосіб може привести до появи сторонніх коренів. Тому можна запропонувати два підходи. Перший полягає в тому, що отримані корені треба перевірити, підставивши у початкове рівняння. Але якщо отримані корені - ірраціональні числа, така перевірка є досить громіздкою. Другий підхід полягає у тому, щоб перейти до системи, рівносильної даному рівнянню. Таку систему можна отримати, якщо доповнити рівняння, в якому записані ліва і права частини, піднесені до квадрата, нерівністю, що забезпечує однаковий знак лівої і правої частин.

Приклад. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою  тобто х ≥ -3.

Ліва і права частини заданого рівняння невід’ємні, тому їх можна підносити до квадрат, але це призводить до громіздких обчислень (перевірте це самостійно). Тому раціональніше один з коренів (наприклад, ) перенести у праву частину. Маємо  Піднесемо ліву і праву частини рівняння до квадрата. Оскільки права частина останнього рівняння може бути як додатною, так і від’ємною, то таке перетворення не є рівносильним, тому отриманий корінь слід перевірити.

Перевірка:  Отже, х = 1 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь. х = 1.

Приклад. Розв’язати рівняння: 

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою

 з якої дістаємо 

Піднесення невід’ємних лівої і правої частин заданого рівняння призводить до громіздких обчислень. Краще радикал перенести у праву частину:  Отримане рівняння можна розв’язати тим самим способом, що й попереднє, а можна підійти до розв’язування інакше. Ліва частина отриманого рівняння - невід’ємна, тому невід’ємною має бути і права частина. Отже, рівняння рівносильне системі:

Перше рівняння має корені  Але лише другий задовольняє як умову х ≥ -3, так і ОДЗ. Оскільки всі перетворення рівняння є рівносильними, то перевірка не є обов’язковою. Отже, х = -1/2 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь, х = -1/2.