математика МПТУ

12.11.2021 - 17.11.2021 група №2 факультатив

Тема уроку: Розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=PuhVVWXz6VQ

2. Повторіть теорію та розгляньте приклади розв'язання рівнянь

Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin²х + 4cos х = 2,75.

Розв’язання

Замінивши sin² х на 1 - cos² х, маємо:

1 - cos²х + 4cos х - 2,75 = 0,

- cos² x + 4cos x - 1,75 = 0,

cos² x - 4cos x + 1,75 = 0.

Нехай x = 1, тоді t² - 4t + 1,75 = 0. Звідси t₁ = , t₂ = > 1.

Оскільки t₂ > 1, то cos x = — розв’язків немає.

Оскільки t₁ = , то cosx = , х = ± + 2n, n∈Z.

Відповідь: ± + 2n, n∈Z.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння tg + 3ctgx = 4.

Розв'язання

tgх + 3ctg x = 4, tgх + = 4.

Нехай tg x = t, тоді t + , = 4, t² - 4t + 3 = 0, t₁ = 1 і t₂ = 3.

Маємо: 1) tgx = 1, х = + n, n∈Z; 2) tgx = 3, x = arctg 3 + n, n∈Z.

Відповідь: + n, arctg3 + n, n∈Z.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f (х) g (х) = 0

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Розглянемо приклади.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 1 + cosx - 2cos = 0.

Розв'язання

Урахувавши, що 1 + cosx= 2cos² маємо:

2cos² — 2 cos = 0; 2cos(cos -1 ) = 0.

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому: 1) cos = 0; = + n, n ∈ Z = + 2n, n ∈ Z;

2) cos = 1; = 2n, n ∈ Z; х = 4n, n ∈ Z.

Відповідь: + 2n, 4n, n ∈ Z.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння sin 2х - sin х = 0.

Розв'язання

sin 2х - sin х = 0; 2 sin cos = 0; 2sincos = 0.

1) sin = 0; = n, х = 2 n, n ∈ Z;

2) cos = 0; = + n, х = + , n ∈ Z.

Відповідь: 2 i + , n ∈ Z.

Однорідні тригонометричні рівняння

Розглянемо рівняння виду asin х + bcos х = 0 (однорідне рівняння 1 -го степеня), де а і b не дорівнюють нулю.

Значення х, при яких cos х дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin х теж дорівнював би нулю, a cos х і sin х не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos х.

Маємо + = 0; atgx + b = 0; tgx = -; x = -arctg + n, n ∈ Z.

Рівняння виду asin² х + bsin xcos х + ccos² x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня. Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння нacos²x(aбo на

sin² х). (У даному рівнянні cos² х ≠ 0, бо у протилежному випадку sin² х теж дорівнював би нулю, a cos х і sinx не можуть одночасно дорівнювати нулю.) Тоді + + = 0.

Розв’язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

Рівняння виду a_nsinⁿ х + а_n-1 sin^n-1 xcos х + ...+ a₁sin xcos^n-1 х + a₀ cosⁿ x = 0 називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.

Якщо жоден із коефіцієнтів а_n, а_n-1, .... а₁, а₀ не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosⁿx, одержимо рівняння n-го степеня відносно tgx.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів а_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на cosⁿx, слід довести, що cosⁿх ≠ 0, тобто, cos х ≠ 0.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння cos² х - 2cos xsin х = 0.

Ділити обидві частини на cos²x не можна, бо cos²x = 0 є розв'язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати у такі способи.

І спосіб (винесення множника)

cos² х - 2cos xsin х = 0; cos х (cos х - 2sin х) = 0.

Звідси cos х = 0 або cos х - 2sin х = 0.

1) cosx = 0;x = + n, n ∈ Z;

2) cosx - 2sinx = 0; - = 0;