математика МПТУ

15.11.2021 група №4 геометрія

Тема уроку: Перпендикулярність прямої і площини

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=bkFiAQmX8q0

2. Законспектуйте в зошиті

Означення перпендикулярності прямої і площини

Уявлення про пряму перпендикулярну до площини дають вертикально поставлені стовпи — вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, яка проходить через основу стовпа і лежить у площині землі.

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

На рис. 137 пряма с перпендикулярна до площини α. Пишуть: сα. З означення випливає, що сa, сb.

Дайте відповіді:

1. Укажіть в оточуючому просторі моделі прямих і площин, які перпендикулярні.

2. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини, то вона не перпендикулярна ні до жодної прямої, яка лежить в цій площині?

3. Що означає твердження: пряма не перпендикулярна до площини?

4. Пряма SA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Укажіть перпендикулярні прямі (рис. 138).

(Відповідь. SAAB; SAAC; SAAD)

Ознака перпендикулярності прямої і площини

Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це питання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину даної прямої і площини, а досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих, які лежать у площині і проходять через точку перетину прямої і площини. Це випливає з теореми, що виражає ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Теорема.

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

3. Розв'яжіть задачі

1. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Довести, що:

а) АА1(АВС);

б) AD(DCC1);

в) B1D1(A1C1C);

г) А1В1ВС1;

д) ΔAB1C1 — прямокутний;

е) AB1C1D — прямокутник.

2. Дано: ABCD — паралелограм; МА = МС, MB = MD. Довести, що МО(АВС) (рис. 140).

3. Дано: ABCD — квадрат; MB = MD (рис. 141). Довести, що BD(MAO).

__________________________________________________________________________________________________________

15.11.2021 група № 7 алгебра

Тема уроку: Цілі і дробові раціональні вирази (повторення)

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=VyGdLf4Hjw0

2. Дайте відповіді на запитання

1. Як формулюється основна властивість дробу?

2. Що відбудеться зі знаком дробу, якщо замінити знак його чисельника; знаменника; чисельника і знаменника?

3. Як додати дроби з однаковими знаменниками?

4. Як виконати віднімання дробів з однаковими знаменниками?

5. Як додати дроби з різними знаменниками? Розкажіть на прикладі дробів: а) і ; б) і .

6. Як виконати множення двох дробів?

7. Яке, ви знаєте правило піднесення дробу до степеня?

8. Сформулюйте правило ділення дробів.

9. Розкажіть про порядок перетворення виразів: а) ; б) ; в) .

3. Розв'яжіть самостійно

1) Виконайте дії:
а)

; б)

; в)

; г)

2) Спростіть вираз:

; ; ;

;

__________________________________________________

15.11.2021 група № 6 факультатив

Тема уроку: Розв'язування задач з теми "Раціональні рівняння і нерівності"

1. Законспектуйте в зошиті

Розв'язування раціональних нерівностей методом інтервалів

Щоб розв’язати нерівність f(x) > 0 (f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0), де f(x) = треба:

1) зобразити числа а₁, а₂,..., а_n на числовій прямій (ці числа розташовані в порядку зростання і поділяють числову пряму на декілька проміжків, на яких функція f(х) зберігає свій знак, тобто якщо а_t і a_k — сусідні точки, то для х є (a_t : a_k функція зберігає знак);

2) визначити знаки функції f (х) на кожному з проміжків;

3) записати відповідь, ураховуючи знак нерівності, даної в умові.

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність < 0.

Розв'язання

Позначимо на числовій прямій точки: х = - 4, х = - 2, х = 1, х = 3 та знайдемо знак функції f(x) = на кожному проміжку (рис. 3).

Рис. 3

Відповідь: (-4;-2)(1; 3).

Метод інтервалів (узагальнений)

Використовується для розв’язування нерівностей f(х) > 0 (f(х) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0). Метод грунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю (але може й не змінювати) (рис. 4).

Щоб розв’язати нерівність методом інтервалів, потрібно:

1) знайти область визначення функції у = f (х);

2) знайти значення х, при яких функція дорівнює нулю (знайти нулі функції): f(х) = 0;

3) розбити область визначення на проміжки, у яких кожний із кінців є коренем рівняння f(х) = 0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції у = f(х);

4) визначити знак f(х) на кожному з утворених проміжків;

5) об'єднати проміжки, на яких функція f (х) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.

Рис. 4

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність ≥ 0.

Розв'язання

Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники й одержимо ≥ 0.

Позначимо на числовій прямій точки 3; -1; 1; - 4, у яких чисельник або знаменник дробу перетворюється на нуль. Ці точки поділяють числову пряму на п’ять проміжків (рис. 5). При х > 3 усі множники чисельника і знаменника дробу додатні, тому дріб є додатним.

Рис. 5

При переході від одного проміжку до іншого дріб змінює знак, тому можна розставити знаки, як показано на рис. 5. Значення х = -1, х = 3 задовольняють дану нерівність, а прих = 1, х = -4 дріб не має змісту. Таким чином, дана нерівність має розв’язок (-∞; - 4)[-1; 1)[3; +∞).

Відповідь: (-∞; - 4)[-1; 1 )[3; +∞).

2. Виконайте тест

1. Скільки коренів має рівняння = 0?