25.11.2021     група  № 9   геометрія

Тема уроку:  Перпендикуляр і похпла до площини

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=fGor_tvwymM

2. Законспектуйте в зошиті

Кут між прямою та площиною. Перпендикуляр до площини.

Теорема про три перпендикуляри

Кутом між прямою та площиною називається кут між прямою та її проекцією на площину (рис. 1). Якщо  — кут між прямою та площиною, то 0° ≤  ≤ 90°.

Кутом між похилою та площиною називаємся кут між похилою та її проекцією на дану площину (рис. 2). Якщо  — кут між похилою та площиною, то 0° <  < 90°.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у цій площині.

Перпендикулярність прямої а та площини а позначається так: а ⊥ а. На рис. З зображено пряму а, перпендикулярну до площини а.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Властивості перпендикулярних прямої та площини

1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то ці прямі паралельні. Якщо a ⊥ a та b ⊥ a, то а || b (рис. 4).

2. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо a ⊥ a та а || b, то b ⊥ а (рис. 4).

3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо а || , та a ⊥ a, то a ⊥  (рис. 5).

4. Якщо дві різні площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то ці площини паралельні. Якщо a ⊥ а, та а ⊥ , то a ||  (рис. 5). Перпендикулярам, проведеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка який лежить у площині, називається основою похилої.

Відрізок, який з’єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину.

На рис. 6 АВ — перпендикуляр до площини а, АС — похила до площини а, ВС — проекція похилої АС на площину а, В — основа перпендикуляра С — основа похилої.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Якщо з даної точки проведено перпендикуляр та похилу, то перпендикуляр коротший за похилу.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до самої проекції на цю площину.

На рис. 7 зображено: АО — перпендикуляр, АВ — похила, ОВ — проекція похилої, с — пряма площини. Якщо ОВ ⊥ с, то А В ⊥ с, і навпаки: якщо с ⊥ AB, то ОВ ⊥ C. Зазначимо, що пряма с на рис. 7 може і не перетинатися з похилою АВ.

Рис. 7

3. Виконайте вправи  (в дужках другий варіант)

Варіант 1 [2]

Відрізок KC [KA] перпендикулярний до площини прямокутного трикутника ABC, ∠ACB = 90° [∠BAC = 90°], CM [AM] — медіана цього трикутника, AC = 3 см [AC = 8 см], BC = 4 см [AM = 8,5 см], KC = 1,5 см [KA = 0,5 см] (див. рис. 1 [2]).

Знайдіть:

1) кут між прямими CK і CM [AK і AM];

2) довжину гіпотенузи AB [BC];

3) довжину медіани [катета] CM [AB];

4) довжину відрізка KM;

5) довжину відрізка BK;

6) площу трикутника CKM [AKM].

3. Знайдіть відповіді на запитання

1. Сформулюйте означення кола, описаного навколо трикутника.

2. Як визначити центр кола, описаного навколо трикутника?

3. Сформулюйте означення кола, описаного навколо многокутника.

4. Як визначити центр кола, описаного навколо многокутника?

5. Знайдіть радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, сторона якого дорівнює b.

6. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює с.

7. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата, сторона якого дорівнює а.

8. Сформулюйте означення та властивості перпендикуляра і похилої, проведених до прямої.

4. Розв'яжіть задачі

1) Із точки A до площини γ проведено перпендикуляр AD і похилу AE. Знайдіть:

а) проекцію похилої AE на площину γ, якщо AD = 8 см, AE = 17 см;

б) довжину перпендикуляра AD, якщо AE = 8√3 см, ∠AED = 60°.

2) Із точки A до площини β проведено перпендикуляр AD та похилі AE і AF. Знайдіть:

а) довжину перпендикуляра AD та довжину проекції похилої AE на площину β, якщо AE = 13 см, AF = √106 см, а довжина проекції похилої AF на площину β дорівнює 12 см;

б) довжини проекцій похилих AE і AF на площину β, якщо різниця цих проекцій дорівнює 12 см, AE = 17 см, AF = 25 см.

3) Точка S віддалена від усіх вершин прямокутника на відстань 13 см, а довжина перпендикуляра, проведеного з точки S до площини цього прямокутника, дорівнює 12 см. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 28 см.

4) Точка B віддалена від усіх вершин рівностороннього трикутника на відстань 5 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки B до площини цього трикутника, якщо його площа дорівнює 4√3 см².