математика МПТУ

16.11.2021 група № 4 алгебра

Тема уроку: Синус, косинус, тангенс, котангенс кута

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=B-dkDuYi1Ww

2. Законспектуйте в зошиті

3 курсу геометрії нам уже відомо, що таке синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°. У цьому параграфі ознайомимося з поняттями синуса, косинуса і тангенса довільного кута, а також з поняттям котангенса кута.

1. Кути довільної величини

Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (мал. 7.1). Позначимо на додатній півосі абсцис точку А, яка належить колу.

Радіус ОА будемо називати початковим радіусом.

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОВ. Кут АОВ, який при цьому утворився, називають кутом повороту. У нашому випадку кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° у напрямку руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОС. У цьому випадку кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 7.1 стрілками вказано кути повороту 50° і -50° та напрям повороту. Узагалі,

7.1

при повороті початкового радіуса проти руху годинникової стрілки кут повороту вважають додатним, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 7.1).

Кут повороту може бути будь-яким числом. На малюнку 7.2 маємо кути повороту 120° і -170°.

7.2

7.3

7.4

Покажемо кут повороту 225°. Оскільки 225° = 180° + 45°, повернемо початковий радіус ОА в додатному напрямі на 180°, а потім у тому ж напрямі ще на 45° (мал. 7.3). Якщо початковим радіусом виконати повний оберт проти руху годинникової стрілки, то отримаємо кут повороту 360° (мал. 7.4). Початковий радіус можна повернути і більш ніж на повний оберт, наприклад, на малюнку 7.5 маємо кут повороту 440°.

Якщо початковий радіус повернути за рухом годинникової стрілки на 330°, тобто у від’ємному напрямі, отримаємо кут повороту -330° (мал. 7.6).

7.5

7.6

7.7

Нехай при повороті на 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 7.7). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Із цього можна дійти висновку, що радіус ОА переходить у радіус ОВ як при повороті на кут 40° + 360° = 400°, так і при повороті на кут 40° - 360° = -320°, та й узагалі при повороті на кут 40° + 360°k, де k - будь-яке ціле число, тобто k ∈ Z.

Очевидно, що й будь-який кут а можна подати у вигляді а = а₀ + 360°k, де 0 ≤ а₀ ≤ 360°, k ∈ Z. Наприклад, 1100° = 20° + 360° ∙ 3, а -640° = 80° + 360° ∙ (-2).

Задача 1. Серед кутів повороту 460°, -270°, 810°, -660° знайти ті, при повороті на які початковий радіус прийме те саме положення, що й при повороті на кут 90°.

Розв’язання. Оскільки 460° = 100° + 360° ∙ 1;

-270° = 90° + 360° ∙ (-1); 810° = 90° + 360° ∙ 2;

-660° = 60° + 360° ∙ (-2), то такими є кути -270° і 810°.

Відповідь. -270° і 810°.

Нагадаємо, що координатні осі ділять координатну площину на чотири чверті (мал. 7.8). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, тоді кут а називають кутом тої чверті, у якій міститься радіус ОВ. Так, наприклад,

а = 50° - кут першої чверті (мал. 7.1),

а = 120° - кут другої чверті (мал. 7.2),

а = 225° - кут третьої чверті (мал. 7.3),

а = -50° - кут четвертої чверті (мал. 7.1).

7.8

Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°; … не належать жодній чверті.

Задача 2. Кутом якої чверті є кут: 1) 1999°; 2) -2010°?

Розв’язання.

1) 1999° = 199° + 360° ∙ 5, тому 1999° - кут III чверті.

2) -2010° = 150° + 360° ∙ (-6), тому -2010° - кут II чверті.

Відповідь. 1) кут III чверті; 2) кут II чверті.

2. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, причому точка В має координати (х; у) (мал. 7.9).

Синусом кута а називають відношення ординати точки В до довжини радіуса: sin а = .

Косинусом кута а називають відношення абсциси точки В до довжини радіуса: cos а = .

Тангенсом кута а називають відношення ординати точки В до її абсциси: tga = (якщо х ≠ 0).

Котангенсом кута а називають відношення абсциси точки В до її ординати: ctgа = (якщо у ≠ 0).

Зауважимо, що вказані означення не суперечать означенням синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°, раніше введеним у геометрії.

Мал. 7.9

7.10

3. Одиничне коло

Як відомо з курсу геометрії, значення sin a, cos a і tg a, де 0° ≤ a ≤ 180°, залежить лише від градусної міри кута а і не залежить від довжини радіуса R. Тому зручно розглядати коло з радіусом R = 1 і центром у початку координат (мал. 7.10). Таке коло називають одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ переходить у радіус ОР_а, де точка Р_а має координати (х; у) (мал. 7.10). Кажуть, що куту а відповідає точка Р_а одиничного кола. Тоді

синусом кута а називають ординату точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у;

косинусом кута а називають абсцису точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто cos а - х;

тангенсом кута а називають відношення ординати точки Р_а(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто tga = (якщо х ≠ 0);

котангенсом кута а називають відношення абсциси точки Р_а(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто ctga = (якщо у ≠ 0).

Означення тангенса можна сформулювати й так:

тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса.

Справді, оскільки у = sin a, a, х = cos а, то де cos а ≠ 0. Аналогічно:

котангенсом кута а називають відношення косинуса цього кута до його синуса.

Справді, де sin а ≠ 0.

Вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого значення а. Вираз tga має зміст, коли х ≠ 0, тобто коли а ≠ ±90°, ±270°, ±450°, … , оскільки для цих кутів абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю. Вираз ctga має зміст, коли у ≠ 0, тобто коли а Ф 0°, ±180°, ±360°, … , оскільки для цих кутів ордината відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю.

Отже, кожному допустимому значенню кута а відповідає єдине значення sin a, cos a, tga, ctga. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута а. їх називають тригонометричними функціями кута.

4. Тригонометричні значення деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів 0°, 90°, 180°, 270°, 360° за означенням.

На одиничному колі (мал. 7.11) позначимо точки Р_а для а = 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Матимемо:

Р_0°(1; 0), тому sin0° = 0; cos0° = 1; tg0° = 0; ctg0° - не існує.

Р_90°(0; 1), тому sin 90° = 1; cos 90° = 0; tg90° - не існує; ctg90° = 0.

Р_180°(-1; 0), тому sin180° = 0; cos 180° = -1; tg 180° = 0; ctg180° - не існує.

Р_270°(0;-1), тому sin270° = -1;

cos_270° = 0; tg270° - не існує; ctg270° = 0.

Точка Р₃₆₀° має такі самі координати, як і точка Р₀°, тому sin 360° = sin 0° = 0; cos 360° = cos0° = 1; tg360° = tg0° = 0;

ctg360° - не існує.

Мал. 7.11

Подамо отримані значення у вигляді таблиці, доповнивши її значеннями синуса, косинуса і тангенса гострих і тупих кутів, відомих нам з курсу геометрії. Невідомі значення тангенса і котангенса для цієї таблиці обчислимо відповідно за формулами

Кути а першого рядка цієї таблиці ще називають табличними кутами. Маємо:

Обчислити: ctg135° + sin²30°.

• Розв’язання. Кути 135° і 30° є табличними. Отже,

Відповідь. -0,75.

3. Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

7.1. (Усно.) Куту а на одиничному колі відповідає точка Назвіть значення sin а і cos а.

7.2. Куту β на одиничному колі відповідає точка Рβ (0,8; 0,6). Запишіть значення sinβ і cosβ.

Знайдіть (7.3-7.4):

7.3. 1) sin45°; 2) cos90°; 3) tg30°; 4) ctg135°;

5) cos 120°; 6) sin 180°; 7) ctg60°; 8) tg0°.

7.4. 1) sin120°; 2) cos30°; 3) tg45°; 4) ctg90°;

5) cos270°; 6) sin0°; 7) ctg120°; 8) tg60°.

Накресліть коло із центром у початку координат і позначте на ньому, використовуючи транспортир, кут повороту (7.5-7.6):

7.5. 1) 60°; 2) 210°; 3) -40°; 4) -320°.

7.6.1)110°; 2) 300°; 3)-130°; 4)-200°.

Запишіть кут а у вигляді а = а₀ + 360°k, де 0° ≤ а₀ < 360°, k ∈ Z, якщо (7.7—7.8):

7.7. 1) а = 420°; 2) а = 765°; 3) а = -320°; 4) а = -1060°.

7.8. 1) а = 730°; 2) а = 395°; 3) а = -710°; 4) а = -770°.

Кутом якої чверті є кут градусної міри (7.9—7.10):

7.9. 1) 190°; 2) -190°; 3) 105°; 4) -105°;

5) 89°; 6) -89°; 7) 320°; 8) -320°?

7.10. 1) 95°; 2) -95°; 3) 210°; 4) -210°;

5) 20°; 6) -20°; 7) 280°; 8) -280°?

7.11. Відомо, що

Знайдіть tgy і ctgy.

7.12. Відомо, що

Знайдіть tg β і ctgβ.

Обчисліть (7.15—7.16):

7.15. 1) cos90° + sin0°; 2) 3cos180° ∙ sin90°;

3) 2tg180° - 4ctg90°; 4) ctg270° - cos 270° + sin270°.

7.16. 1) 5sin360° + cos360°; 2) tg0° + sinl80° - cos0°.

Знайдіть значення виразу (7.17—7.18):

7.17.

7.18.

___________________________________________________

__________________________________________________

16.11.2021 група № 4 геометрія

Тема уроку: Перпендикулярність прямої і площини

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=C_D40UwH1Gw

2. Дайте відповіді на запитання

1) Чи існують такі прямі a, b і c, що пряма а перпендикулярна до прямої b, пряма b перпендикулярна до прямої c і пряма а перпендикулярна до прямої c?

2) Чи правильно, що через будь-яку точку прямої у просторі можна провести перпендикулярну до неї пряму?

3) Чи можливо, що одна з двох перпендикулярних прямих паралельна заданій площині і друга пряма паралельна цій площині?

4) Чи можливо, що одна з двох перпендикулярних прямих паралельна заданій прямій, а друга пряма перпендикулярна до цієї прямої?

5) Чи правильно, що через будь-яку точку простору можна провести пряму, перпендикулярну до заданої прямої?

6) Чи може пряма, перпендикулярна до прямої, що паралельна площині, бути паралельною цій площині?

3. Виконайте вправи письмово

Скориставшись рисунками, доповніть речення так, щоб утворилось правильне твердження.

1) Якщо на рисунку 1 ∠SAB = 90° і ∠SAC = 90°, то пряма... і площина... перпендикулярні, оскільки...

2) Якщо на рисунку 2 ABCD — ромб, S — точка поза площиною ромба, SB = SD (див. рисунок на дошці), то пряма BD перпендикулярна до площини ..., оскільки...